Оценка времени жизни кольца Плутона в атмосфере планеты. Реферат 

Тема: Оценка времени жизни кольца Плутона в атмосфере планеты

  • Вид работы: Реферат
  • Предмет: Математика

Оценка времени жизни кольца Плутона в атмосфере планеты

Н.И. Перов

Введение

На основании 60-летних наблюдений астрономов Главной астрономической обсерватории РАН периодических изменений блеска системы Плутон-Харон, происходящих с периодом 7,8 лет [3], в работе [2] , с использованием модели движения частицы в рамках дважды осреднённой ограниченной задачи трёх тел, с учётом сжатия Плутона, было сделано предположение о существовании вблизи Плутона на расстоянии 2510-2520 км гипотетического кольца, состоящего из частиц с характерным радиусом Rr. Поскольку радиус Плутона составляет RPl =1137 км [4], то естественно ожидать, что атмосфера Плутона будет ограничивать космогонический срок жизни такого кольца. Для состава атмосферы Плутона и величины давления на его поверхности получены приближённые оценки. В частности, в работе [4] утверждается, что атмосфера Плутона состоит в основном из азота, окиси углерода и примеси метана, а давление (p0) на поверхности планеты составляет всего несколько микробар при температуре (T) 35-45 K.

Поставим задачу определения космогонического времени жизни (τ) спутникоподобного объекта радиуса Rr, плотности ρr, который в начальный момент времени находится на круговой орбите на расстоянии rr от центра Плутона и движется в атмосфере планеты. Примем, что плотность атмосферы Плутона (ρ), при неизменной температуре, изменяется по экспоненциальному закону, при изменении ускорения свободного падения (g) с высотой. Вследствие торможения радиус орбиты объекта будет уменьшаться, и по истечении времени (τ) этот объект упадёт на поверхность Плутона (поверхность Плутона на 70% состоит из скальных пород и на 30% - из льда).

Основные уравнения

Известно [1], что объект, движущийся со скоростью V относительно окружающей его атмосферы, подвержен воздействию аэродинамических сил, которые можно разложить на две компоненты: сопротивление D, действующее в направлении, противоположном V, и силу в плоскости, перпендикулярной V. Выражение для D записывают в аэродинамике [1] обычно в виде

ρVVSCD , (1)

где

ρ - плотность окружающей среды,

S - характерная площадь объекта (обычно - это площадь сечения объекта плоскостью, перпендикулярной направлению движения).

В дальнейшем будем предполагать отсутствие сил в направлении, перпендикулярном движению (если бы они действовали, возникла бы компонента по направлению движения, изменяющая D и делающая изложенную ниже теорию несостоятельной).

Значение CD примем равным 2,2 в соответствии с монографией [1] , где показано, что для искусственных спутников Земли самой разнообразной формы и находящихся на различных высотах над поверхностью Земли CD (2,1 ; 2,35).

Плотность атмосферы Плутона зависит от многих факторов (расстояния Плутона от Солнца, солнечной активности, температуры дневного и ночного полушарий Плутона). Учитывая изменение ускорения свободного падения (g) с высотой (h), плотность (ρ) изотермической атмосферы Плутона представим в виде

, (2)

где μ - молярная масса (азота), RPl - радиус Плутона, - универсальная газовая постоянная, G - гравитационная постоянная, MPl - масса Плутона.

Величина V в формуле (1) в общем случае является скоростью движения объекта относительно окружающей среды (атмосферы Плутона). Если обозначить через v скорость движения объекта относительно центра масс Плутона, а через VA - скорость движения атмосферы планеты (вследствие осевого вращения Плутона с периодом PPl), то

V=v-VA (3)

С учётом возмущений от сопротивления атмосферы Плутона дифференциальное уравнение, описывающее орбитальную эволюцию частицы массы mr гипотетического кольца планеты, примет следующий вид

d2r/dt2 = - rr + D/mr (4)

В уравнении (4) второе слагаемое - ускорение, обусловленное торможением в среде - должно быть существенно меньше первого члена - гравитационного ускорения. При малых значениях величины |D/mr| скорость |v| приближённо будет совпадать со скоростью движения объекта по невозмущённой орбите

(5)

Здесь a - большая полуось орбиты частицы-спутника Плутона.

Рассматривая круговые (rr=a), экваториальные орбиты объектов (лежащие в плоскости экватора Плутона), выражая h через a и RPl,

h=a-RPl, (6)

Выражая S и mr через Rr и ρr (для сферических частиц) ,

S =πRr2; mr=Rr3ρr, (7)

От уравнений (1) - (7) (дифференцируя (5) по времени (t) и используя (4)) , перейдём к уравнению изменения большой полуоси орбиты (a) с течением времени (t) - da/dt

(8)

В уравнении (8) знак "-" соответствует одинаковым направлениям скоростей объекта и атмосферы Плутона, а знак "+" - противоположным . Для больших полуосей орбит мелких спутников Плутона, удовлетворяющих условию a10 м) и плотные (ρr>1000 кг/м3 ) тела выпадают на поверхность планеты.

Разделяя в уравнении (8) переменные a и t, используя новую переменную ξ=1/ и интегрируя в пределах от ξн=6,299·10-4 м-1/2 до ξк=8,648·10-4 м-1/2, получим окончательную формулу для определения времени жизни τ объектов, образующих кольцо Плутона

(9)

Таким образом, при сделанных предположениях, время жизни спутникоподобных тел вблизи Плутона прямо пропорционально произведению радиусов этих тел и их плотности и обратно пропорционально давлению у поверхности планеты. Это время жизни также зависит сложным образом от других параметров, как атмосферы (μ, T), так и планеты (MPl, RPl).

ПРИМЕРЫ:

Для численных оценок определим время жизни: 1) "короткоживущих" и 2) "долгоживущих" частиц в атмосфере Плутона. Примем следующие значения параметров Плутона и его атмосферы [4]:

G=6,672·10-11 Нм2/кг2,

μ=28·10-3 кг/моль,

RPl=1137000 м,

MPl=1,27·1022 кг,

=8,31 Дж/(К·моль),

aн=2520000 м, ξн=6,299·10-4 м-1/2,

aк=1337000 м, ξк=8,648·10-4 м-1/2,

СВ=2,2.

Результаты вычислений для различных частиц и условий приведены в таблице (I - значение интеграла (9), вычисленного по методу Симпсона при 2m=200)

N