Диплом: Когомологии де Рама

Министерство образования Российской Федерации. Саратовский Государственный Университет имени Н.Г.Чернышевского. кафедра геометрии. Когомологии де Рама. Дипломная работа Студентки 5 курса механико-математического факультета, группы № 522, **************************************************************** Научный руководитель: ************* Зав. кафедрой: ***************** Саратов, 2004 Оглавление. Введение................................3 1. Цепи и интегрирование........................4 1.1 р-мерные симплексы и их свойства..............4 1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы....7 1.3 Интегралы по р-мерным цепям................11 1.4 Теорема Стокса.....................13 2. Нульмерные и n-мерные когомологии...............15 2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии...16 2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.....19 Литература..........................24

Введение.

Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные когомологии обоих типов для n-мерных многообразий. Данная дипломная работа состоит из двух разделов. Первый раздел состоит из четырех пунктов, второй – из двух. В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства. В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также – интеграл от р-формы по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса. Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 – когомологии с компактным носителем на многообразии.

Раздел 1. Цепи и интегрирование.

1.1 р-мерные симплексы и их свойства.

Определение: p-мерным симплексом в р-мерном пространстве будем называть объект, определенный неравенствами , . Рассмотрим примеры р-мерного симплекса. р=1, тогда получаем - то есть отрезок [0,1] р=2, тогда , и x1+ x2=1, то есть, получаем треугольник р=3, тогда , и x1+ x2 +x3=1, то есть, получаем тетраэдр. Для удобства введем в симплексе так называемые барицентрические координаты, которые определяются следующими формулами , тогда Определение. Отображение симплекса в определяется формулой

(1.1)

, где - барицентрические координаты в . По определению , то формула (1.1) действительно определяет отображение . Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого отображения симплекса в пространстве в пространство . Рассмотрим образы симплекса в симплексе при данном отображении: Симплекс задается неравенствами , и y0+ y1=1. Тогда при отображении получаем следующее: Таким образом, получаем следующее отображение Сравним отображения и при условии . Если - барицентрические координаты в , то Так как , то можно переписать это в виде: С другой стороны получаем Отсюда получаем, что при условии

1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы.

Пусть М – n-мерное многообразие класса со счетной базой. В дальнейшем будем считать дифференцируемое отображение – дифференцируемым отображением класса . Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М называется отображение , которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой окрестности симплекса в в многообразие М. Дифференцируемой р-цепью называется конечная линейная комбинация (с вещественными коэффициентами) сингулярных р-симплексов. Бесконечной дифференцируемой р-цепью называется бесконечная сумма сингулярных р-симплексов, то есть такое отображение множества дифференцируемых сингулярных р-симплексов в вещественную прямую, что множество (где - множество тех s, для которых ) локально конечно. Другими словами, дифференцируемой р-цепью называется комбинация , где , причем - локально конечно, что значит - окрестность x, такая, что U имеет непустое пересечение с конечным числом . Лемма:1.1 На компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь является конечной. Доказательство: Пусть М – компактное пространство, то есть хаусдорфово пространство, любое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. Тогда - окрестность x, такая, что имеет непустое пересечение с конечным числом . Так как М – компактное, то существует конечное число окрестностей , которые покрывают все пространство М. Перебрав все окрестности, каждая из которых имеет непустое пересечение с конечным числом , получим , что на компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь имеет не более конечного числа ненулевых коэффициентов, то определение бесконечной дифференцируемой р-цепи совпадает с определением дифференцируемой р-цепи. Лемма доказана. Множество всех р-цепей образует векторное пространство относительно сложения цепей и умножения на скаляр. Определим эти операции. Суммой р-цепей будем называть линейную комбинацию сингулярных р-симплексов, коэффициенты которой получены из суммы коэффициентов при соответствующих р-симплексах (при умножении на скаляр – соответствующие коэффициенты умножаются на скаляр). Множество всех р-цепей будем обозначать (множество бесконечных р-цепей ). Если f – дифференцируемое отображение М1 в М 2 , то есть получаем Полагая для симплексов и продолжая отображение по линейности получим линейное отображение . Для бесконечных цепей на f накладываются дополнительные условия. Отображение f называется собственным, если компактно для любого компактного . Пусть – собственное отображение и – цепь на , то есть , где . Положим , где , (1.2) причем , если ни для какого s. Покажем, что сумма (1.2) конечна. Так как – симплекс на , то – сингулярный симплекс на , тогда . Учитывая возможность того, что такие, что , и приводя подобные члены, получаем, что сумма (1.2) конечна. Множество симплексов t, для которых , локально конечно. Поэтому формула (1.2) определяет бесконечную р-цепь на . Пусть s – р-симплекс, тогда - (р-1) – симплекс. Определим границу симплекса s формулой . То есть граница р- симплекса определяется (р-1)-симплексами, а знак указывает направление обхода границы. В качестве примера рассмотрим 2-симплекс:
+

-

+

Продолжим по линейности до отображения . Для бесконечных цепей отображение определяется аналогично: , . То есть для каждой р-цепи с (р-1)-цепь сопоставляет (р-1)-мерному сингулярному симплексу t число . Тогда и в случае конечных и в случае бесконечных цепей имеет место соотношение . Из определения р-цепи следует, что равенство достаточно доказать для любого симплекса, тогда оно верно и для любой цепи. Пусть s есть q-мерный симплекс. Если , то доказывать нечего. Если , то . Так как , то в нашем случае получим , если . Тогда положим . Таким образом, равенство доказано.

1.3 Интегралы по р-мерным цепям.

Определение. р-цепь с, удовлетворяющая условию называется циклом; р-цепь вида , где d – некоторая (р+1)-цепь называется границей. Равенство говорит о том, что пространство границ есть подпространство пространства циклов. Определение. Факторпространство пространства циклов по пространству границ называется р-мерной группой гомологий и обозначается . Для бесконечных цепей р-мерная группа гомологий обозначается Из определения следует, что если , то отображение перестановочно с . Поэтому переводит циклы в циклы, границы в границы. Теперь рассмотрим дифференциальные формы и операцию внешнего дифференцирования Определение. Носителем формы ω называется наименьшее замкнутое множество, вне которого она равна нулю. Определение. Дифференциальная р-форма ω называется замкнутой, если и точной, если . Замкнутые формы будем называть коциклами, точные – кограницами. Из равенства следует, что пространство кограниц есть подпространство пространства коциклов. Определение. Факторпространство замкнутых р-форм по точным р-формам называется р-мерной группой когомологий (де Рама) многообразия М и обозначается Определение. Факторпространство замкнутых р-форм с компактным носителем по точным р-формам с компактным носителем называется р-мерной группой когомологий с компактным носителем многообразия М и обозначается Заметим, что для компактного многообразия носитель формы всегда является компактным множеством. Тогда группа когомологий совпадает с группой когомологий с компактным носителем. Определим интеграл от р-формы по р-цепи: Определение. Пусть s – сингулярный р-симплекс, а – дифференциальная форма степени р. Форма определена в некоторой окрестности евклидова р-симплекса . Допустим, что, где - стандартные координаты в . Положим по определению, (1.3) Продолжим (1.3) на любую конечную р-цепь по линейности. В общем случае нельзя интегрировать произвольную р-форму по бесконечной р-цепи, так как это может привести к расходящемуся бесконечному ряду. Если ω – форма с компактным носителем, то для любой бесконечной цепи сумма имеет только конечное число ненулевых членов и поэтому определена. Пусть - собственное дифференцируемое отображение. Из определения следует, что , так как и .

1.4 Теорема Стокса.

Теорема Стокса. Для любой р-цепи с и (р-1)-формы (соответственно бесконечной р-цепи с и (р-1)-формы с компактным носителем) справедливо равенство Доказательство. Благодаря линейности по с обеих частей формулы достаточно рассмотреть случай , где - сингулярный р-симплекс. В этом случае наша формула сводится к равенству , (1.4) где , а рассматривается как сингулярный (р-1)-симплекс в . По определению . Достаточно доказать формулу (1.4) для каждого члена этой суммы. Таким образом, задача сводится к проверке равенства . (1.5) Так как , то в правой части останутся только члены с и . Пусть – евклидовы координаты в . Тогда и . В соответствии с определениями (1.5) сводится к равенству . Из равенства следует, что интегралы точной формы по циклу и замкнутой формы по границе равны нулю. Таким образом, справедливы следующие следствия: Следствие 1. Билинейное отображение ,определяемое интегралом , индуцирует билинейное отображение . То есть отображение является билинейным и не зависит от выбора представителя. Рассмотрим замкнутую р-форму ω и р-цикл с, такие что и . Тогда . Аналогично следствию 1 получаем: Следствие 2. Билинейное отображение ,определяемое интегралом , индуцирует билинейное отображение .

Раздел 2. Нульмерные и n-мерные когомологии.

Согласно определению, не существует нульмерных кограниц. Поэтому нульмерная группа когомологий совпадает с группой коциклов. Но 0-форма есть просто функция, а 0-коцикл есть такая функция f, что , то есть локально постоянная функция. Таким образом, является пространством всех локально постоянных вещественных функций на М . Поскольку любая локально постоянная функция постоянна на связных компонентах многообразия М, то , где Со(М) есть множество компонент в М. В частности, если М связно, то . Функция f является компактным коциклом, если она локально постоянна и supp f компактен. Это означает, что на некомпактных компонентах многообразия М. Поэтому , где есть множество компактных компонент многообразия М. В частности, если М связно, то для компактного многообразия М и для некомпактного М.

2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии.

Рассмотрим в шар радиуса r. Тогда можно вычислить для всех р. Именно, справедлива Теорема 2.1 (лемма Пуанкаре). Пусть w - форма степени , определенная на , и пусть . Тогда существует такая форма W, определенная на , что . Докажем теорему индукцией по размерности n. Для можно считать ; все другие случаи тривиальны. Если , то достаточно положить , где . Сделаем следующее замечание: Лемма 2.1. Если =0 и , то , где и . Действительно, , где остальные члены не содержат . Перейдем к доказательству теоремы. Пусть – декартовы координаты в , и пусть - отображение, задаваемое формулами , , где - декартовы координаты в . Тогда для и . Пусть р – отображение шара на , определяемое формулой для . Имеем . По предположению индукции для некоторой формы на . Положим . Где и - формы от . Определим форму W следующими условиями: 1. 2. W=0, 3. В терминах координат условие 2. означает, что форма W может быть записана в виде Условие 1. означает, что Условие 2. означает, что , если . Отсюда видно, что существует единственная форма W, удовлетворяющая условиям 1,2,3, которая может быть найдена с помощью интегрирования по . Мы утверждаем, что . Действительно, . Но есть дифференциальная форма, не содержащая . Поэтому , где не зависит от . Поскольку , мы можем применить лемму 2.1. Таким образом, , где и . С другой стороны, . Значит, и . Другими словами, , что и доказывает теорему 2.1. Следствие 2.1. для . В доказательстве теоремы 2.1. коэффициенты формы W из коэффициентов формы w интегрированием. Поэтому, если коэффициенты формы w дифференцируемо зависят от некоторых дополнительных параметров, то форма W также дифференцируемо зависит от этих параметров. Следствие 2.2. Если в теореме 2.1. форма w дифференцируемо зависит от параметров, то есть , где – дифференцируемые функции от и (оператор d берется по ), то , где , причем - дифференцируемые функции всех n+l переменных.

2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.

Мы хотим вычислить для любого многообразия М. Лемма 2.2. Пусть w - такая n-форма, определенная на , что 1. supp, где - куб 2. . Тогда мы можем найти такую (n-1)-форму W, что 3. supp, 4. . Доказательство: Доказательство проведем с помощью индукции. Для любой k-формы p, выраженной через , обозначим символом максимум абсолютных значений ее коэффициентов в . Мы будем говорить, что семейство форм дифференцируемо зависит от t, если каждый коэффициент есть дифференцируемая функция от . Здесь t обозначает s-мерный параметр, . Наше индуктивное предположение состоит в следующем: Пусть - семейство форм на , дифференцируемо зависящее от t. Предположим, что для каждого значения t форма удовлетворяет условиям 1. и 2. Тогда существует такое дифференцируемое семейство форм , удовлетворяющее условию 3., что и 5. , где зависит только от n и r Для мы можем написать . Определим функцию равенством .Очевидно, что есть дифференцируемое семейство 0-форм, удовлетворяющих условиям 3., 4. и 5. Допустим, что предположение индукции выполнено для n-1. Пусть . И пусть есть положительная форма на , такая, что supp и . Рассмотрим формы на (зависящие от параметров ), определяемые формулой . (2.1) Они образуют дифференцируемое семейство -форм, удовлетворяющее предположению индукции. Кроме того, , если . Поэтому мы можем написать (2.2) Пусть , где – дифференцируемые функции на . Определим форму равенством , так что , где есть вложение , заданное формулами . При вычислении формы встретятся два типа членов: содержащие частные производные по содержащие частную производную по . Умножением на мы избавимся от членов, содержащих , и, значит для каждого значения будем иметь , где р есть проекция вдоль . Положим . Тогда . Положим . (2.3) Имеем . Но , поскольку p есть (n-1)-форма на . Поэтому . (2.4) Далее, формы p и , а значит, и форма обращаются в нуль при . Если или , то последний интеграл также обращается в нуль, поскольку . Форма обращается в нуль, если , так как по индуктивному предположению 5. при . Наконец, формы встречающиеся в правой части формулы (2.3), очевидно образуют дифференцируемое семейство форм и удовлетворяют оценке 5., где зависят от и от выбора j. Лемма доказана. С помощью леммы 2.2. доказывается Лемма 2.3. Если М – связное n-мерное многообразие, то есть либо R, либо {0} (то есть не более чем одномерно). Пусть - такой атлас на М, что каждая окрестность имеет вид . Пусть W - такая n-форма, что supp и . Лемма будет доказана, если для любой n-формы w с компактным носителем мы найдем такое вещественное число с, что , (2.5) где есть (n-1) -форма с компактным носителем. Пусть - разбиение единицы, подчиненное покрытию . Тогда - конечная сумма, и достаточно провести доказательство для каждого слагаемого в отдельности. Поэтому можно считать, что supp для некоторого j. Пусть р – точка из , а q – из . Пусть – такая кривая, что и . Покроем конечным числом окрестностей . Изменив, если потребуется, их нумерацию, мы можем считать, что это окрестности , причем Æ Пусть – такие формы, что supp, . Положим . Рассмотрим формы и на с носителями в . Поскольку , существуют константы такие, что . По лемме 2.2. , (2.6) причем supp. Форма определена в и имеет носитель в . Определим на М форму , полагая вне и на . Тогда равенство (2.6) можно переписать в виде . (2.7) Складывая с подходящими весами равенства (2.7) при , мы получим равенство (2.5) , где .

Литература.

1. Александров П.С. "Введение в теорию множеств и общую топологию", Москва 2. Александров П.С., Пасынков Б.С. "Введение в теорию размерности", Москва 3. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. "Риманова геометрия", Санкт- Петербург, Наука, 1994 4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. "Современная геометрия", Москва 5. Келли Дж. "Общая топология", Москва 6. Колмогоров А.Н., Фомин В.С "Элементы теории функций и функционального анализа", Москва 7. Погорелов А.В. "Дифференциальная геометрия", Москва, Наука, 1969 8. Понтрягин Л.С. "Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий", Москва, Наука, 1984 9. Постников М.М. "Группы Ли", Москва 10. Стернберг 11. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. "Курс гомотопической топологии", Москва, Наука, 1989