Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте

Скачайте в формате документа WORD


Анализ и решение проблемы переноса энергии волнами электромагнитного поля

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ ВОЛНАМИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ

ВОЛНАМИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Сидоренков В.В.

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Застарелый, возрастом уже более века парадокс существования синфазных волн компонент электромагнитного поля и их способности переноса энергии этого поля, наконец, успешно и весьма нетривиально разрешен, а сами результаты проведенных исследований представляют собой серьезное концептуальное развитие основных физических представлений о структуре и свойствах электромагнитного поля в классической электродинамике.

Концепция электромагнитного (ЭМ) поля является центральной и основополагающей в классической электродинамике, поскольку считается [1], что с помощью этого поля осуществляется взаимодействие разнесенных в пространстве электрических зарядов. При этом полагают все явления электромагнетизма физически полно представленными указанным полем, свойства которого исчерпывающе описываются системой электродинамических уравнений Максвелла:

(a) <0x01 graphic
, (b) 0x01 graphic
(0), (1) >

(c) <0x01 graphic
, (d) 0x01 graphic
, >

где <0x01 graphic
- постоянная времени релаксации заряда в среде за счет ее электропроводности. Эти уравнения рассматривают области пространства, где присутствует ЭМ поле, структурно реализуемое, согласно уравнениям (1а) и (1c), посредством динамически неразрывно связанных между собой двух векторных взаимно ортогональных полевых компонент: электрической 0x01 graphic
и магнитной 0x01 graphic
напряженности. Следующее уравнение (1b) описывает результат явления электрической поляризации в виде отклика материальной среды на наличие в данной точке стороннего электрического заряда (0x01 graphic
- объемная плотность стороннего заряда) либо на воздействие на среду внешнего электрического поля (0x01 graphic
). Соответственно, уравнение (1d) характеризует явление магнитной поляризации.>

Важнейшим фундаментальным следствием уравнений Максвелла служит тот факт, что компоненты <0x01 graphic
и 0x01 graphic
ЭМ поля распространяются в пространстве в виде электродинамических волн. Например, из (1а) и (1c) получим волновое уравнение для поля электрической напряженности 0x01 graphic
: >

<0x01 graphic
. >

Аналогично можно получить волновое уравнение для магнитной напряженности <0x01 graphic
. Видно, что скорость распространения этих волн определяется только лишь электрическими и магнитными параметрами пространства: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, в частности, в отсутствие поглощения (0x01 graphic
) 0x01 graphic
. >

С целью ответа на вопрос, что переносят эти волны, и как они возбуждаются, обратимся к закону сохранения энергии, аналитическую формулировку которого можно получить при совместном решении уравнений Максвелла (1) в виде так называемой теоремы Пойнтинга:

<0x01 graphic
. (2)>

Согласно (2), поступающий извне поток ЭМ энергии, определяемый вектором Пойнтинга <0x01 graphic
, идет на компенсацию в данной точке среды джоулевых (тепловых) потерь в процессе электропроводности и на изменение электрической и магнитной энергий, либо наоборот, указанные процессы вызывают излучение наружу потока электромагнитной энергии. >

Проанализируем параметры распространения ЭМ поля в виде плоской линейно поляризованной волны в однородной изотропной материальной среде. С точки зрения большей общности при анализе характеристик распространения указанного поля обычно значительно удобней использовать не волновые уравнения, а напрямую - сами уравнения системы (1), являющиеся по сути дела первичными уравнениями ЭМ волны. С этой целью рассмотрим волновой пакет, распространяющийся вдоль оси x с компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
, которые представим комплексными спектральными интегралами: >

<0x01 graphic
и 0x01 graphic
, где 0x01 graphic
и 0x01 graphic
- комплексные амплитуды. Подставляя их в уравнения Максвелла (1a) и (1c), приходим к соотношениям 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. В итоге получаем для уравнений системы (1) выражение: 0x01 graphic
.>

В конкретном случае среды идеального диэлектрика (<0x01 graphic
) с учетом формулы 0x01 graphic
из 0x01 graphic
следует обычное дисперсионное соотношение 0x01 graphic
[1], описывающее однородные плоские волны ЭМ поля. При этом связь комплексных амплитуд в волновых решениях системы уравнений (1) представится в виде 0x01 graphic
, а сами волновые решения описывают ЭМ волну, компоненты поля 0x01 graphic
и 0x01 graphic
которой синфазно (0x01 graphic
) распространяются в пространстве.>

Поскольку суть электромагнетизма - это взаимодействие ЭМ поля с материальной средой, то его анализ обычно сводится к стремлению описать энергетику ЭМ явлений. Обратимся и мы к закону сохранения энергии, который, согласно (2), для среды идеального диэлектрика запишется в виде:

<0x01 graphic
. (3) >

Для анализа нам вполне достаточно рассмотреть, как выполняется выражение (3) для плоской монохроматической ЭМ волны, полевые компоненты которой, согласно волновым решениям уравнений Максвелла, в свободном пространстве без потерь при распространении совершают синфазные колебания: <0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Подставляя эти выражения в соотношение (3), окончательно получаем: >

<0x01 graphic
. (4)>

Здесь весьма странно то, что, согласно <0x01 graphic
, равные по величине электрическая 0x01 graphic
и магнитная 0x01 graphic
энергии хотя и распространяются совместно, но без какой-либо видимой связи друг с другом. А потому необходимо напрашивается вывод об объективности существовании именно чисто электрической и магнитной энергий, но при явном отсутствии физических оснований их взаимосвязанного единства в виде ЭМ энергии. При этом из проведенного анализа совершенно не ясно, каким же образом реализуется волновой перенос всех этих видов энергии.>

Итак, решение уравнений электродинамики Максвелла (1) для ЭМ волны не отвечает обычным физическим представлениям о распространении энергии посредством волн в виде процесса взаимного преобразования во времени в данной точке пространства энергии одной компоненты поля в энергию другой его компоненты. Следовательно, электродинамические уравнения (1) описывают необычные, более чем странные волны, которые логично назвать псевдоволнами, поскольку с одной стороны, синфазные волны в принципе не способны переносить ЭМ энергию, а с другой - перенос энергии реально наблюдается, более того это, явление широко и всесторонне используется на практике, определяя многие аспекты жизни современного общества.

Таким образом, имеем парадокс, и как это ни странно, существующий уже более века. Здесь поражает то, что традиционная логика обсуждения переноса ЭМ энергии такова, что проблемы как бы и нет, всем все понятно. Например, в нашем случае из соотношения для комплексных амплитуд в волновых решениях уравнений системы (1) <0x01 graphic
формально следует, что для ЭМ энергии 0x01 graphic
, хотя эту энергию, как показано выше, посредством синфазных волн ЭМ поле переносить не способно в принципе. Правда, изредка делаются попытки действительно разобраться в этом вопросе, но эти объяснения (например, [2]), на наш взгляд, не выдерживают критики, поскольку обсуждаются не сами уравнения Максвелла или их прямые следствия, а то, что эти уравнения не учитывают характеристики реальных ЭМ излучателей или некую специфику взаимодействия материальной среды с ЭМ полем при распространении его волн. Это, по мнению авторов, создает сдвиг фазы колебаний между компонентами на 0x01 graphic
. >

В этой связи напомним основные физические представления о переносе энергии посредством волнового процесса, например, рассмотрим распространение волн от брошенного в воду камня. Частицы воды массой <0x01 graphic
, поднятые на гребне волны на высоту 0x01 graphic
, имеют запас потенциальной энергии 0x01 graphic
, а через четверть периода колебаний, когда гребень волны в данной точке пространства спадает, в соответствии с законом сохранения энергии потенциальная энергия частиц воды переходит в кинетическую энергию их движения 0x01 graphic
, где скорость частиц воды 0x01 graphic
. Наличие взаимодействия молекул воды и приводит к возбуждению механической поверхностной поперечной волны, которая переносит в волновом процессе механическую энергию так, что 0x01 graphic
. Физически логично считать, что механизм переноса энергии ЭМ волнами в главном должен быть аналогичен, как и у других волн иной физической природы, возможно обладая при этом, исходя из электродинамических уравнений Максвелла, определенной спецификой и даже уникальностью.>

Для большей убедительности наших аргументов чисто формально рассмотрим энергетику распространения некой гипотетической ЭМ волны, у которой имеется сдвиг фазы колебаний между ее компонентами на <0x01 graphic
: 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Физически очевидно, что подставлять эти компоненты в соотношение (3) не имеет смысла, поскольку, согласно уравнениям Максвелла, теоремы Пойнтинга (2) для них нет, да и представленные волновые решения принципиально никак не следуют из уравнений (1). И все же интересно вычислить для ЭМ волны с такими компонентами объемную плотность потока вектора Пойнтинга в данной точке. Тогда с учетом 0x01 graphic
и 0x01 graphic
(где 0x01 graphic
) чисто математически получим >

<0x01 graphic
. >

Усредняя это выражение по времени (по периоду колебаний), имеем <0x01 graphic
, то есть мы приходим здесь к физически разумному результату, когда посредством обсуждаемой гипотетической волны в пространстве без потерь переносится ЭМ энергия 0x01 graphic
, не зависящая от времени и точек пространства. Следовательно, при таком волновом процессе, как и должно быть, имеем закон сохранения энергии. К сожалению, как мы убедились выше, это невозможно в принципе, поскольку, согласно уравнениям Максвелла (1), ЭМ волн с такими характеристиками в Природе нет. >

Итак, проблема с выяснением физического механизма переноса энергии волнами ЭМ поля объективно существует, и для ее разрешения требуется, по всей видимости, весьма нестандартный эвристический подход. Однако в наличии у нас имеется только система уравнений электродинамики Максвелла, а потому для разрешения обсуждаемого здесь парадокса ничего не остается, как продолжить критический анализ именно уравнений (1) с целью поиска новых (скрытых) реалий в их физическом содержании. И, действительно, такие реалии в уравнениях (1) были обнаружены [3], а их суть заключена в соотношениях первичной взаимосвязи ЭМ поля с компонентами электрической <0x01 graphic
и магнитной 0x01 graphic
напряженности и поля ЭМ векторного потенциала с электрической 0x01 graphic
и магнитной 0x01 graphic
компонентами: >

(a) <0x01 graphic
, (b) 0x01 graphic
, (5)>

(c) <0x01 graphic
, (d) 0x01 graphic
. >

Соотношение (5a) вводится с помощью уравнения (1d), поскольку дивергенция ротора произвольного векторного поля тождественно равна нулю. Соответственно, (5b) следует из уравнения (1b) при <0x01 graphic
, справедливого для сред с локальной электронейтральностью. Далее подстановка (5a) в (1а) дает (5c), а подстановка (5b) в (1c) приводит к (5d). Здесь два (даже три) представленных соотношения достаточно известны [1], а соотношение (5d), по-видимому, просто не сочли достойным должного внимания. >

Однако объединение полученных соотношений в систему (5) оказалось весьма конструктивным, поскольку в этом случае возникает система дифференциальных уравнений, описывающих значительно более сложное и необычное с точки зрения общепринятых воззрений вихревое векторное поле в виде совокупности функционально связанных между собой четырех вихрево-полевых компонент <0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, которое физически логично назвать реальным электромагнитным полем. >

Объективность существования указанного четырехкомпонентного вихревого поля иллюстрируется нетривиальными следствиями из полученных выше соотношений, поскольку подстановки (5c) в (5b) и (5d) в (5a) приводят к системе новых электродинамических уравнений, структурно полностью аналогичной системе традиционных уравнений Максвелла (1), но уже для поля ЭМ векторного потенциала с электрической <0x01 graphic
и магнитной 0x01 graphic
компонентами: >

(a) <0x01 graphic
, (b) 0x01 graphic
, (6)>

(c) <0x01 graphic
, (d) 0x01 graphic
. >

Чисто вихревой характер компонент поля векторного потенциала обеспечивается условием кулоновской калибровки посредством дивергентных уравнений (6b) и (6d), которые при этом представляют собой начальные условия в математической задаче Коши для уравнений (6a) и (6c), что делает эту систему уравнений замкнутой.

Соответственно, математические операции с соотношениями (5) позволяют получить [3] еще две других системы уравнений:

для электрического поля с компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
>

(a) <0x01 graphic
, (b) 0x01 graphic
, (7)>

(c) <0x01 graphic
, (d) 0x01 graphic
, >

и для магнитного поля с компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
:>

(a) <0x01 graphic
, (b) 0x01 graphic
, (8)>

(c) <0x01 graphic
, (d) 0x01 graphic
. >

Кстати, если считать соотношения (5) исходными, то из них подобным образом следуют и уравнения системы (1), справедливые для локально электронейтральных сред (<0x01 graphic
). Таким образом, система уравнения (5) первичной взаимосвязи компонент ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала, безусловно, фундаментальна. >

Далее, как и должно быть, из этих систем электродинамических уравнений непосредственно следуют (аналогично выводу формулы (2)) соотношения баланса:

судя по размерности, для потока момента ЭМ импульса из уравнений (6)

<0x01 graphic
(9)>

для потока электрической энергии из уравнений (7)

<0x01 graphic
(10)>

и, наконец, для потока магнитной энергии из уравнений (8)

<0x01 graphic
. (11)>

Все это действительно подтверждает и объективно доказывает, что, наряду с ЭМ полем с векторными компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
, в Природе существуют и другие поля: поле ЭМ векторного потенциала с компонентами 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, электрическое поле с компонентами 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, магнитное поле с 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Следовательно, структура конкретного электродинамического поля из двух векторных взаимно ортогональных компонент реализует способ его объективного существования, делает принципиально возможным его перемещение в пространстве в виде потока соответствующей физической величины. >

Можно убедиться, следуя логике рассуждений вывода волнового уравнения для поля электрической напряженности <0x01 graphic
, что форма и структура представленных систем уравнений (1), (6)-(8) говорят о существовании волновых решений для всех четырех компонент реального электромагнитного поля. Тем самым описываются волны конкретных вышеперечисленных двухкомпонентных полей посредством одной из парных комбинаций четырех указанных волновых уравнений. В итоге возникает физически очевидный вопрос: что это за волны, и каковы характеристики их распространения?>

Поскольку структурная симметрия уравнений систем (1) и (6) математически тождественна, а волновые решения уравнений (1) выше уже проанализированы, то далее анализ условий распространения плоских электродинамических волн в однородных изотропных материальных средах проведем, прежде всего, для уравнений систем (7) и (8). Их необычные структуры между собой также тождественны, а волновые решения уравнений в традиционной литературе не рассматривались.

Итак, рассмотрим волновой пакет плоской линейно поляризованной электрической волны с компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
для системы (8) либо магнитной волны с компонентами 0x01 graphic
и 0x01 graphic
для системы (9), которые представим комплексными спектральными интегралами. Тогда, проводя аналогичные рассуждения, как и для рассматриваемого выше пакета плоской ЭМ волны, получим соотношения для волн электрического поля 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Соответственно, для волн магнитного поля 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Таким образом, для обеих систем (8) и (9) имеем общее для них выражение: 0x01 graphic
. >

В конкретном случае среды идеального диэлектрика (<0x01 graphic
) из 0x01 graphic
с учетом формулы 0x01 graphic
следует обычное дисперсионное соотношение 0x01 graphic
[1], описывающее однородные плоские волны электрического или магнитного полей. При этом связь комплексных амплитуд компонент указанных волновых полей имеет специфический вид: >

<0x01 graphic
и 0x01 graphic
. >

Специфика состоит в том, что при распространении в диэлектрической среде компоненты поля сдвинуты между собой по фазе на <0x01 graphic
, то есть характер поведения компонент поля такой волны в любой точке пространства аналогичен кинематическим параметрам движения (смещение и скорость) классической частицы в точке устойчивого равновесия поля потенциальных сил. Конечно, данный результат математически тривиален, поскольку компоненты ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала связаны между собой посредством производной по времени (см. соотношения (5)). Однако концептуально, с физической точки зрения такой факт весьма примечателен.>

Справедливости ради уместно сказать, что впервые о реальности магнитной поперечной волны с двумя ее компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
, сдвинутыми при распространении по фазе колебаний на 0x01 graphic
, еще в 1980 году официально заявил в виде приоритета на открытие Докторович [5], и свое заявление он с удивительным упорством, достойным лучшего применения, безуспешно пытается донести до других все эти долгие годы. Весьма печально, ибо только Время - высший судья, и именно оно расставит всех по своим местам! >

Полностью аналогичные рассуждения для пакета плоской волны векторного потенциала с компонентами <0x01 graphic
и 0x01 graphic
в системе (7) дают 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, откуда снова получаем известное выражение 0x01 graphic
А потому для среды идеального диэлектрика (0x01 graphic
) дисперсионное соотношение для уравнений (7) есть 0x01 graphic
при комплексных амплитудах в волновых решениях этой системы: 0x01 graphic
, где сами решения описывают плоские однородные волны, компоненты поля которых, как и в случае ЭМ волн, синфазно (0x01 graphic
) распространяются в пространстве. >

Как видим, именно уравнения поля ЭМ векторного потенциала (6) описывают волны, переносящие в пространстве поток момента импульса, которые со времен Пойнтинга безуспешно пытаются описать с помощью уравнений ЭМ поля (1) (см. анализ в [5]). В этой связи укажем на пионерские работы [6], где обсуждается неэнергетическое (информационное) взаимодействие векторного потенциала со средой при передаче в ней потенциальных волн и их детектирование с помощью эффекта, аналогичного эффекту Ааронова-Бома.

Согласно соотношениям (5), синфазные между собой компоненты волны поля ЭМ векторного потенциала имеют сдвиг по фазе колебаний на <0x01 graphic
относительно также синфазных между собой компонент волны ЭМ поля, тем самым, приводя к вышеуказанной специфике в поведении компонент полей электрической и магнитной волн. Система соотношений (5) иллюстрирует также другой непреложный факт, что существование и распространение поля ЭМ векторного потенциала невозможно без сопутствующего ему ЭМ поля, причем, как установлено выше, перенос синфазными компонентами указанных полей потока соответствующей физической величины посредством обычного волнового процесса принципиально невозможен, он реализуется опосредованно в виде так называемых псевдоволн. >

Для проводящей среды в асимптотике металлов (<0x01 graphic
), как показал анализ [7], распространение волн всех четырех электродинамических составляющих реального электромагнитного поля подчиняется теоретически хорошо изученному закону для плоских волн ЭМ поля в металлах [1], где все волновые решения имеют вид экспоненциально затухающих в пространстве плоских волн со сдвигом фазы между компонентами на 0x01 graphic
.>

Однако вернемся к анализу энергетики распространения составляющих реального электромагнитного поля в виде плоских волн в диэлектрической среде без потерь (<0x01 graphic
). Вначале обратимся к закону сохранения электрической энергии, соотношение которого согласно (10) запишется как: >

<0x01 graphic
. (12)>

Выясним, выполняется ли это выражение для плоской монохроматической электрической волны, полевые компоненты которой, согласно волновым решениям уравнений системы (7), обладая сдвигом фазы на <0x01 graphic
, имеют следующий вид: 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Тогда, подставляя их в соотношение (12), приходим к соотношению:>

<0x01 graphic
.>

Такой результат вполне удовлетворяет закону сохранения энергии, поскольку усреднение по времени этого соотношения дает

<0x01 graphic
, (13)>

а потому электрическая волна действительно переносит в пространстве чисто электрическую энергию: <0x01 graphic
, не зависящую от времени и точек пространства.>

Соответственно, для магнитного поля, распространяющегося в однородной среде без потерь, закон сохранения магнитной энергии согласно (11) запишется в виде соотношения:

<0x01 graphic
. (14)>

Рассмотрим, как выполняется этот закон для плоской монохроматической магнитной волны, полевые компоненты которой, согласно волновым решениям уравнений (8), имеют следующий вид: <0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Подставляя их в соотношение (14) и проводя аналогичные рассуждения как при выводе формулы (13), получаем в итоге:>

<0x01 graphic
. (15)>

Итак, в случае магнитного поля снова приходим к физически здравому результату, когда в пространстве без потерь посредством магнитной волны переносится чисто магнитная энергия <0x01 graphic
, не зависящая от времени и точек пространства. Следовательно, распространение магнитной волны также удовлетворяет закону сохранения энергии. >

Таким образом, аргументированно установлено, что в Природе объективно существует сравнительно сложное и необычное с точки зрения традиционных представлений вихревое четырехвекторное поле в виде совокупности функционально связанных между собой четырех вихрево-полевых компонент <0x01 graphic
, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Это поле, условно названное реальным электромагнитным полем, реализуется четверкой составляющих его электродинамических полей, состоящих из пар вышеуказанных компонент: электрическое поле с 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, магнитное поле с 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, электромагнитное поле с 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, наконец, поле векторного потенциала с 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Причем способностью к непосредственному распространению в пространстве в виде волн, отвечающих обычным физическим представлениям о волновом процессе, обладают только электрическое и магнитное поля за счет наличия у этих волн сдвига фазы на 0x01 graphic
между их компонентами 0x01 graphic
и 0x01 graphic
, соответственно, 0x01 graphic
и 0x01 graphic
. Реализация же собственно волн ЭМ поля и ЭМ векторного потенциала невозможна в принципе, хотя сами эти поля, как показано выше, существуют и распространяются опосредованно в виде псевдоволн, поскольку их синфазные компоненты являются составной частью компонент электрической и магнитной волн, распространяющихся обычным образом. Именно тем самым все составляющие реального электромагнитного поля объективно перемещаются в пространстве совместно в виде единого волнового процесса. >

К сожалению, в настоящее время существующими методами регистрации электродинамических полей реально можно наблюдать лишь псевдоволны “обычного” ЭМ поля, компоненты <0x01 graphic
и 0x01 graphic
которых синфазно распространяются в пространстве. И хотя конкретное наблюдение волн остальных обсуждаемых здесь составляющих реального электромагнитного поля только начинается (например, в [7] экспериментально исследованы условия возбуждения и распространения в металлах поперечных чисто магнитных волн), объективность их существования и неоспоримая практическая значимость подтверждается принципиальной невозможностью без их посредства реализации ряда физических характеристик и свойств ЭМ поля, в частности, его способности переноса ЭМ энергии. >

Как видим, застарелый парадокс существования волн ЭМ поля и их способности переноса энергии этого поля, наконец, успешно и весьма нетривиально разрешен, а результаты проведенных исследований представляют собой серьезное концептуальное развитие основных физических представлений о структуре и свойствах ЭМ поля в классической электродинамике. Кстати, как представляется, методически серьезных проблем не должно возникнуть, если обсуждаемое здесь поле сохранит за собой и традиционное в электромагнетизме нынешнее название - электромагнитное поле с учетом проведенной модернизации физических воззрений и его нового содержания.

Литература

1. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980.

2. Пирогов А.А. // Электросвязь. 1993. №5. С. 13-14.

3. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 1. С. 28-37; // Материалы IX Международной конференции «Физика в системе современного образования». Санкт-Петербург: РГПУ, 2007. Секция “Профессиональное физическое образование”. С. 127-129; // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 11. С. 75-82.

4. Докторович З.И. // Заявленное открытие "Магнитные поперечные волны" приоритетная справка 32-ОТ №10247, дата поступления 5 мая 1980 г.; // http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/4797.html

5. Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175-190.

6. Чирков А.Г., Агеев А.Н. // ФТТ. 2002. Т. 44. Вып. 1. С. 3-5; 2007. Т. 49. Вып. 7. С. 1217-1221.

7. Сидоренков В.В. // ссылка более недоступнаrus/catalog/pages/8935. html.

4