пїњ

 ќ—ћќЋќ√»„≈— ќ≈ ”— ќ–≈Ќ»≈ ¬ ћќƒ≈Ћя’ — ƒ»Ќјћ»„≈— »ћ -„Ћ≈Ќќћ Ќј ћЌќ√ќќЅ–ј«»» Ћ»–џ

”ƒ  530.12:531.51; 524.834
¬.  . ўиголев
 ќ—ћќЋќ√»„≈— ќ≈ ”— ќ–≈Ќ»≈ ¬ ћќƒ≈Ћя’ — ƒ»Ќјћ»„≈— »ћ Ћ -„Ћ≈Ќќћ Ќј ћЌќ√ќќЅ–ј«»» Ћ»–џ
јннотаци€. јктуальность и цели. ћодели с динамическим космологическим членом Ћ^) привлекли к себе внимание с тех пор, как проблема космологической посто€нной получила реальное подтверждение уменьшени€ Ћ(^) со временем. ÷елью насто€щей работы €вл€етс€ построение и исследование космологических моделей в геометрии Ћиры в предположении минимальности взаимодействи€ материи с полем вектора смещени€ и динамическим Ћ -членом. ћатериалы и методы. ƒл€ вывода модифицированных уравнений ‘ридмана однородных и изотропных космологических моделей в геометрии Ћиры используетс€ предположение о временной зависимости космологического члена. ƒл€ получени€ точных решений примен€ютс€ математические анзацы и феноменологические законы эволюции космологического члена. –езультаты. ѕолучены новые динамические уравнени€ и их точные решени€ в космологических модел€х на многообразии Ћиры. Ќайдены точные решени€ уравнений динамики модели при различных уравнени€х состо€ни€ материи, заполн€ющей ¬селенную, и определенных предположени€х относительно эволюции космологического члена. ѕоказано, что взаимодействие пол€ динамического космологического члена с вектором смещени€ способно сохранить уравнени€ неразрывности дл€ обычной материи в неизменном виде. ”становлена возможность ускоренного расширени€ в наших модел€х. ¬ыводы. ѕолученные результаты обнаруживают новые свойства космологических моделей с динамическим Ћ -членом на многообразии Ћиры по сравнению со стандартными модел€ми и открывают новые возможности в исследовании феномена ускоренного расширени€ ¬селенной в современную эпоху. ѕредполагаемыми област€ми применени€ полученных результатов €вл€ютс€ теоретическа€ космологи€ и астрофизика.
 лючевые слова: космологические модели, геометри€ Ћиры, космологический член, ускоренное расширение ¬селенной.
V. K. Shchigolev
COSMOLOGICAL ACCELERATION IN MODELS WITH DYNAMIC Ћ -MEMBER FOR THE LYRA DIVERSITY
Abstract. Background. Models with a dynamic cosmological Ћ(г') member have attracted scientistsТ attention since the cosmological constant problem received a valid confirmation of Ћ(г') decline with time. The purpose of this paper is to construct and study cosmological models in the Lyra geometry assuming the minimal interaction of matter with the displacement vector field and dynamic Ћ -member. Materials and methods. To derive the modified Friedmann equations of homogeneous and isotropic cosmological models in the Lyra geometry, the assumption of the time dependence of the cosmological member is used. Mathematical ansatze and phenomenological laws of the cosmological member evolution are applied to obtain the exact solutions. Results. New dynamic equations and their exact solutions in cosmological models for the Lyra diversity are obtained. Exact solutions of the equations of model dynamics under different equations of the state of the matter filling the universe
and certain assumptions regarding the cosmological member evolution are found. It is shown that the interaction of the dynamic cosmological member with the displacement vector is able to preserve the continuity equations for the ordinary unchanged matter. The possibility of accelerated expansion in our models is established. Conclusions. The obtained results show the new properties of cosmological models with dynamic Ћ -member for the Lyra diversity compared to standard models and open up new possibilities in the study of the accelerated universe expansion phenomenon in the modern era. The results are expected to be used in theoretical cosmology and astrophysics.
Key words: cosmological model, the Lyra geometry, the cosmological member, the accelerated universe expansion.
¬ведение
ћодели с динамическим космологическим членом Ћ^) привлекли
к себе внимание с тех пор, как проблема космологической посто€нной получила реальное подтверждение уменьшени€ Ћ^) со временем. —уществует значительное число данных наблюдений дл€ определени€ космологической посто€нной Ёйнштейна, Ћ или материальной компоненты ¬селенной, медленно мен€ющейс€ со временем и, таким образом, действующей подобно Ћ .  роме того, последние наблюдени€ сверхновых звезд типа Ia [1, 2], анизотропии космического микроволнового фона, исследовани€ галактик и гравитационного линзировани€ свидетельствуют в пользу ненулевой космологической Ђпосто€ннойї с относительной плотностью ^Ћ = Ћ / 3Ho ~ 0,6 Ч 0,7. Ёта величина не могла бы оставатьс€ посто€нной при длительном наблюдении. Ѕолее того, последние исследовани€ нелокальных эффектов, кротовых нор, инфл€ционных механизмов и космологических возмущений свидетельствуют в пользу убывающего со временем эффективного космологического члена.
¬месте с тем формальное введение динамического Ћ -члена в уравнение Ёйнштейна общей теории относительности (ќ“ќ) приводит к нарушению закона сохранени€ энергии-импульса дл€ материи, который следует из этого уравнени€ в силу тождества Ѕианки дл€ тензора кривизны –имана в случае, если космологический член посто€нен или равен нулю. –анее р€д авторов исследовали космологические модели в геометрии Ћиры (G. Lyra), €вл€ющейс€ обобщением римановой геометрии, путем введени€ калибровочной функции, котора€ устран€ет неинтегрируемость длины вектора при параллельном переносе, характерную дл€ теории ¬ейл€ (см., например, [3] и приведенные там ссылки). Ѕыло отмечено, что космологи€, основанна€ на многообразии Ћиры с посто€нным калибровочным вектором, либо подобна —-полевой теории ’ойла - Ќарликара, либо содержит некоторое вакуумное поле, которое вместе с полем калибровочного вектора можно рассматривать как космологический член. —кал€рно-полевые космологические модели в геометрии Ћиры исследованы в [4]. “ам же было отмечено, что свободное от взаимодействи€ с материей поле вектора смещени€, зависимое от времени, не нарушающее закон сохранени€ энергии-импульса материи, может служить физическим аналогом только идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состо€ни€. ќднако можно предположить, что одновременный учет динамического Ћ -члена и пол€ смещени€ может не только предотвра-
тить нарушение закона сохранени€ энергии-импульса материи, но и значительно обогатить теорию, допуска€ законы эволюции, согласующиес€ с наблюдательными данными.
÷елью насто€щей работы €вл€етс€ построение космологических моделей в геометрии Ћиры при условии минимальности взаимодействи€ материи с полем вектора смещени€ и динамическим Ћ -членом. ћы находим точные решени€ уравнений динамики такой модели при различных уравнени€х состо€ни€х материи, заполн€ющей ¬селенную, и определенных предположени€х относительно эволюции космологического члена.  роме того, мы анализируем возможность ускоренного космологического расширени€ в рамках рассматриваемых моделей на основе точных решений.
”равнени€ Ёйнштейна с Ћ -членом на многообразии Ћиры имеют вид
где фу - вектор смещени€, гравитационна€ посто€нна€ 8€G = 1, а остальные символы имеют обычные значени€. “ензор энергии-импульса материи может быть выражен обычным образом через лагранжиан. –ассматрива€ материю как некоторую эффективную идеальную жидкость, можем записать:
введен дл€ упрощени€ записи последующих уравнений. ѕространственновременна€ метрика ‘ридмана - –обертсона - ”окера (‘–”) записываетс€
¬селенной, ^(r) = sin r, r, sinh r в соответствии со знаком кривизны
k = +1,0,Ч1. — учетом этой метрики и выражений (2), (3) уравнени€ пол€ (1) свод€тс€ к следующей системе уравнений:
где Ќ = а / а - параметр ’аббла, а точка над символом здесь и далее означает производную по времени ^.
 ак следствие уравнений (4) можно записать уравнение неразрывности дл€ эффективной материи:
1. ќсновные уравнени€ модели
1 3 3
Rik- 2 gikR-M-k + 2 ‘≥ - 4 gik ф‘у = Tik,
(1)
Tik (pm + pm )uiuk pmgik,
(2)
причем и^и1 = 1 и в сопутствующих координатах и; = (1,0,0,0). ѕредставим далее ф; в виде времени-подобного векторного пол€ смещени€:
(3)
где в = e(t) - функци€, завис€ща€ только от времени, а коэффициент 2/ \/3
2 2 2 2 2 2 в виде: ds = dt - a (t)(dr +^ (r)dѕ ), где a(t) - масштабный фактор
3H2 + ÷--в2 =pm +Ћ, 2H + 3H2 +\ + в2 =-pm +Ћ, (4)
a
a
рm +Ћ + 2вв + 3H pm + pm + 2^ = ∞.
(5)
»звестно, что дл€ анализа возможности ускоренного режима расширени€ ¬селенной полезен так называемый параметр замедлени€ q, определ€емый как
аа , Ќ
q=-о? ~С-н*- (6)
„тобы продвинутьс€ дальше в исследовании модели, необходимо определитьс€ с типом зависимости космологического члена (или пол€ вектора смещени€) от времени или типом взаимодействи€ геометрических полей между собой и с материей. ƒалее дл€ простоты мы будем рассматривать пространственно плоскую космологию ‘–” с к = 0 . «апишем основные уравнени€ модели (4) в следующем виде:
3Ќ2 =рт +Ћ + в2, 2Ќ = -(рм + рт + 2в2), (7)
причем уравнение неразрывности (5) остаетс€ в том же виде и следует из системы (7).
ќсновное предположение относительно нашей модели заключаетс€ в минимальности взаимодействи€ материи с полем вектора смещени€ и космологическим членом на многообразии Ћиры, выражающеес€ в том, что между ними нет пр€мого взаимодействи€, а таковое осуществл€етс€ только через гравитационное поле. Ёто позвол€ет избежать нарушени€ закона сохранени€ энергии-импульса материи с минимальными допущени€ми относительно вектора смещени€. ƒействительно, из общековариантного уравнени€
сохранени€ энергии-импульса “кк = 0 и тождества ќк-к = 0 дл€ тензора
Ёйнштейна основное уравнение (1) приводит к следующему соотношению дл€ космологического члена и пол€ смещени€:
Ћ;i - 2^фуфк - -28кфф, ^ = 0. (8)
¬ отсутствие космологического члена или его посто€нства, когда
Ћ. у = 0, уравнение (8) приводит к интерпретации пол€ смещени€ как аналога
предельно жесткой идеальной жидкости с уравнением состо€ни€ =+1.
ѕредположение о неисчезающем и завис€щем от времени космологическом члене позвол€ет значительно расширить возможности модели в описании реальных процессов, происход€щих во ¬селенной.
”словие минимальности взаимодействи€ означает, что в уравнении неразрывности (5) соответствующий закон сохранени€ энергии-импульса дл€ материи выполн€етс€ независимо от присутстви€ Ћ(^) и –(^):
рт + 3Ќ(рт + рт ) = ∞. (9)
ѕри этом оставша€с€ часть уравнени€ (5), т.е. уравнение (8), имеет вид
Ћ + 2(30 + 6Ќр2 = 0. (10)
ќпредел€юща€ динамику модели система уравнений (7), (9), (10) должна быть дополнена теми или иными услови€ми до замкнутой. Ќаиболее реали-
стичные услови€ заключаютс€ в задании некоторого уравнени€ состо€ни€ материи, т.е. pm = wmpm, и некоторого темпа эволюции космологического члена Ћ(?), соответствующего современным наблюдательным данным. –азумеетс€, этим случаем не ограничиваютс€ возможности рассмотрени€ точных решений в рамках исследуемой модели, но в насто€щей работе мы ограничимс€ именно этим случаем, поскольку при этом мы не строим каких-либо предположений относительно не имеющей наблюдательных данных зависимости P(t).
Ѕудем считать, что заполн€юща€ ¬селенную матери€ может рассматриватьс€ как баротропна€ жидкость с посто€нным уравнением состо€ни€: Ч1 < wm < 1. “огда уравнение (9) легко интегрируетс€ и дает
Pm =–0 ∞Ч3(1+Wm), (11)
где р0 суть константа интегрировани€. ѕри этом остальные уравнени€ системы (7) записываютс€ в следующем виде:
3H2 = р0аЧ3(1+wm) +ј + р2; (12)
2 H = -(1 + Wm )р0∞ _3(1+Wm) Ч 2–2, (13)
а уравнение (10) не измен€етс€ и €вл€етс€ дифференциальным следствием уравнений (12), (13), в чем легко убедитьс€ пр€мым вычислением.
“аким образом, задача свелась к решению системы уравнений (12), (13) либо дл€ H(t) и P(t) при некоторых заданных функци€х Ћ^), либо дл€ H (t) и Ћ^) при заданной функции P(t). ѕоскольку отсутствует кака€-либо информаци€ о возможной зависимости P(t), мы рассматриваем модели с заданными феноменологическими зависимост€ми Ћ^), предполага€ две возможные функции, имеющие наблюдательное обоснование и широко обсуждаемые в литературе, а именно:
(0 ли) =-2, t2
(ii) Ћ^) =fH (t).
ѕри этом следует отдельно остановитьс€ на случа€х wm =Ч1 и wm *Ч1
2. ћодели с квазивакуумным состо€нием материи: wm = Ч1
¬ этом случае из уравнени€ (11) следует обычное свойство квази-вакуумного состо€ни€: pm = Ч pm =Ч pv = const. “огда уравнени€ (12), (13) могут быть переписаны в виде
H + 3H2 =pv +Ћ, в2 =ЧH. (14)
¬идно, что посто€нна€ плотность энергии вакуум-подобной материи р0 может быть отнесена к космологическому члену. ќбознача€
Ће= –” +Ћ, имеем из (14): Ќ + 3Ќ = Ћ^ . –ассмотрим отдельно два случа€ зависимости Ћ^ (г), отмеченные выше.
ƒл€ закона (г) получаем как результат решени€ уравнений (14)
2
с Ће^- = а / г следующие выражени€:
H (t) =Ч≥ 1 + Ђа tanh
6t I
у ln(t / to)
(15)
1/б
a(t) = ao
cosh
1/3
na ln
2
в2(t)=^2 12t2
1 + na tanh
f Lл
vt0/. 2
-f ln(t / to)
2

+1 - Ђа
(16)
(17)
где па = л/“ + 12а . √рафики функций а(г) и Ќ (г) дл€ этих решений при двух значени€х константы св€зи а представлены на рис. 1.
–ис. 1. ћасштабный фактор а(г) и параметр ’аббла Ќ (г) дл€ заполненной вакуумом ¬селенной в случае Ће^ = а / г2 при двух значени€х константы св€зи а и г0 = 1
Ћегко найти, что параметр замедлени€ (6) в силу выражени€ (15) равен
√рафики функции д(^) дл€ различных значений константы св€зи а показаны на рис. 2.
¬идно, что дл€ каждого значени€ а существует конечное положительное значении гсг, при котором параметр замедлени€ равен отрицательной бесконечности. Ёто значение гсг можно найти из равенства знаменател€ дроби в формуле (18). ¬месте с тем из уравнени€ (17) следует, что поле смещени€ становитс€ вещественным только начина€ с некоторого момента времени , который можно найти из услови€ в = 0 . “аким образом,
q(t) = 2 - 3
na -1
(18)
q(t) ----- a= 1.0 Ч a = 4.0-----a=2.0
–ис. 2. «ависимость от времени г параметра замедлени€ q в модели = а / г2 при различных значени€х константы св€зи а
%-1+ ” ѕ2 -1 ѕа
(19)
откуда следует, что гг- = 0 только дл€ па = 1, т.е. дл€ а = 0. »з сравнени€ формул (19) видно, что за исключением тривиального случа€ а = 0 всегда гг- > гсг . ѕри этом дл€ 0 <а< 1/12 имеем гг- < (0, а дл€ а> 1/12 всегда гг- > (0 . Ёти оценки позвол€ют предположить, что реальный характер пол€ смещени€ с бесконечностью ускорени€ расширени€ рассматриваема€ модель приобретает с момента г > гг-, когда не возникает проблем с вещественностью.
ƒл€ случа€ (и) мы получаем из (14) следующее уравнение дл€ параметра ’аббла:
Ќ + 3Ќ2 =- Ќ, (20)
г
решение которого можно легко найти в виде
Ќ (г) = а(1 +а) (г / „ )а , (21)
3г* 1 + а(г / гг- )а+1
где гI суть константа интегрировани€.
»нтегриру€ (21) относительно а(г), находим зависимость масштабного фактора от космологического времени в виде
г а+111/3
а(г) = а0 1 + а(г / гг-) , (22)
где а0 - константа интегрировани€. »спользу€ второе уравнение из (14) и выражение (21), можно найти дл€ пол€ смещени€ зависимость следующего вида:
р2 (г) = а(1 +2а) (г / ц )а+1а+12 (г / )а-1. (23)
3г2 [1 + а(г / гг- )а+1]2
2 2 »з этой зависимости р от времени г видно, что поле р измен€ет
знак в некоторый момент времени гг- > 0 . ѕринима€ во внимание выражение
дл€ параметра ’аббла (21), в результате простых вычислений получаем дл€
параметра замедлени€ (6):
q(t) = -1 + 3
1 + а
,а+1
1- t
(24)
Ёволюци€ масштабного фактора а(і) и параметра ’аббла Ќ(і) дл€ этого случа€ графически представлена на рис. 3, а зависимость q(t) показана на рис. 4.
3. ћодель с уравнением состо€ни€ материи wm ‘Ч1
”множа€ уравнение (12) на (1 + wm) ‘ 0 и складыва€ его с уравнением (13), получаем одно из независимых уравнений системы в виде
2 Ќ + 3(1 + Wm ) Ќ2 = (1 + Wm )Ћ Ч (1 Ч Wm )–2. (25)
–ис. 3. Ёволюци€ масштабного фактора а(і) и параметра ’аббла Ќ(і) дл€ случа€ Ћ^ = (а / і)Ќ при і≥ = 1
–ис. 4. ѕараметр замедлени€ q в модели Ћ^ = (а / г)Ќ при различных значени€х константы св€зи а и = 1
¬ качестве второго независимого уравнени€ возьмем уравнение (10). ƒл€ этого случа€ заменим предположени€ о характере зависимости космологического члена от времени его пропорциональностью инварианту
пол€ вектора смещени€, реализу€ высказанную ранее идею о возможной роли пол€ смещени€ в качестве эффективного Ћ -члена в уравнении Ёйнштейна. ѕреобразованием к новой переменной
x = ln [a(t)/ a (tin)]
H (t) = -x,
(2б)
совпадающей с числом е-фолдов (e-folds), которое означает расширение ¬селенной в ex раз к данному моменту времени при значении масштабного фактора ai = a(tin) в начальный момент времени tin , уравнение (10) можно переписать в виде Ћ/ + (в2)/ + б(в2) = 0. “очные решени€ этого уравнени€ можно найти, реализу€ сделанное выше предположение относительно св€зи космологического члена с инвариантом вектора смещени€ в подстановке вида
Ћ/ = у(в2)/- бп(в2), где у и п - произвольные положительные константы. ¬ результате находим, что
-б1+1 x
.......................... (27)
Ћ(x) = Ћ0 e 1+Y , в2(x) = Ћ01 1
Y + 1
где Ћд суть посто€нна€ интегрировани€. ¬идно, что вещественность пол€ вектора смещени€ соответствует убывающему характеру поведени€ Ћ -члена и самого пол€ вектора смещени€ р2 при (1 Ч п)/(1 + у)>0. «аметим, что
в силу (26) из (27) следует зависимость Ћ(г) ^ а(г)Ч№ с № > 0 , которую ранее рассматривали, например, в [5].
ѕодстановка выражений (27) приводит уравнение (25) к следующему
виду:
ЧH 2
+ 3(1 + wm )H2 =Ћ0
Чx
(1 + wm ) - (1 - wm )
1 -1 Y+1
б1-1 -^“Ч1 x 1+Y
Х e
ќбщий интеграл данного уравнени€ может быть записан как
2
H2 =|Чx I =
A -e-bx + Ce-Bx,
B - b
(28)
(29)
где
A = Ћ
(1 + "Wm ) (1 wm )
1 -1 Y + 1.
B-b б-b :
B = 3(1 + wm), b =
1 + y
(30)
— - суть посто€нна€ интегрировани€. ѕри этом, как видно из решени€, предполагаетс€, что ¬ ‘ № , т.е. w ‘ wmo = (1 Ч у Ч 2п) / (1 + у) . ¬ противном случае, т.е. дл€ w = wmo о ј = 0, решение уравнени€ (28) можно записать в виде
H2
= f = —е-3(1 + Wm )’
(31)
где — > 0 . ѕринима€ во внимание определение (26), просто убедитьс€, что решение уравнени€ (31) относительно а(^) воспроизводит решение стандартной модели ‘–”: а^) ^ t2/3(1+мТт).
¬ случае м ‘ мто общее решение уравнени€ (29) относительно а^) может быть записано только в не€вном виде:
a(t)/a-
B
-1
. = +
B-b
1
3
Y +1
Y + n
\
t + Ci
(32)
где —о = —(¬ Ч №) / ј - безразмерна€ константа; — - посто€нна€ интегрировани€; равенство ј /(¬ Ч №) = Ћо(1 + у)/3( у + п) справедливо в силу (30). »нтеграл в формуле (32) дл€ а^) может быть найден дл€ целого р€да значений ¬ и № , определ€емых выражени€ми (30) через уравнение состо€ни€ материи м>т и констант св€зи у, п. “ак, скажем, дл€ у + 8п = 7 ^ № = 3/4 из (32) имеем:
wm = 0:
B = 3
a(t) = ао sinh
2/3

21
3 Ч2
q(t) = Ч1 +Чcosh 2
8Ћ0
21
где — = 0, откуда видно, что в начальный момент времени д(0) = 1/2 > 0, а затем в некоторый момент tо, определ€емый из услови€ q(tо) = 0, замедленное расширение смен€етс€ ускоренным: q(t > tо) < 0 . ¬месте с тем можно проанализировать модель на наличие ускоренного режима расширени€ в общем случае, записыва€ параметр замедлени€ (6) с помощью уравнени€ (25) и решени€ (27), (29) в следующем виде:
(¬ Ч №)е( ¬Ч№) х
/ ч , B
q( x) = Ч1+ЧЧ
22
—о + е
(BЧb) x
(33)
где ¬ ‘ № о м ‘ мто . »з этого выражени€ видно, что параметр замедлени€ эволюционирует от значени€ qi = q(-Чx>) = Ч1 + ¬ /2 в начале расширени€ до qf = q(+тс) = Ч 1 + № / 2 к насто€щему времени при условии ¬ > № , но от qf до qi при ¬ < № . «наменатель дроби в формуле (33) неотрицателен, как это следует из правой части уравнени€ (29), записанного как Ќ = = [Ћо(1 + у)/3(у + п)]е~¬х[—о +е(¬Ч№)х] >0. ѕоскольку последнее должно выполн€тьс€ дл€ всех значений х е (ЧЂ, +^), то —о > 0. Ќа рис. 5 представлены графики зависимости q(х) согласно уравнению (33) дл€ р€да значений м>т и —о = 1. ќтметим, что при частном значении константы св€зи п = 0 модель исследовалась ранее в работе автора [6].
I
«аключение
“аким образом, нами построены и исследованы космологические модели в геометрии Ћиры в предположении минимальности взаимодействи€ материи с полем вектора смещени€ и динамическим Ћ -членом. ѕолучены точные решени€ уравнений динамики модели дл€ случаев wm = Ч1 и wm ‘ Ч 1 при различных предположени€х относительно эволюции космологического члена. »нтересной особенностью моделей с квазивакуумным состо€нием материи, наблюдаемой на рис. 2 и 4, €вл€етс€ то, что эти модели начинают расшир€тьс€ сверхускор€€сь, но затем приход€т к состо€нию либо посто€нного ускорени€, либо не ускоренного расширени€ q > 0 в зависимости от значени€ констант св€зи у и п . ћожно предполагать, что такие модели имеют пр€мое отношение к инфл€ционному периоду эволюции ¬селенной.
 осмологическа€ модель, рассмотренна€ в последнем разделе работы в предположении пропорциональности космологического члена инварианту пол€ смещени€, демонстрирует тенденцию перехода от замедленного расширени€ к ускоренному, что можно наблюдать на рис. 5. “акое поведение модели позвол€ет предположить ее отношение к феномену позднего ускоренного расширени€ ¬селенной, надежно подтвержденного наблюдательными данными [1, 2].
----------------1---------------о^---------------------'-----------------
Wm =-1/2------------Wm= - 1/3 ------------ Wm =1/3------------Wm = 0
–ис. 5. Ёволюци€ параметра замедлени€ в модели л/ = у(–2)/- 6^(–2) дл€ некоторых wm ф -1 при b = 1 и —0 = 1
—писок литературы
1. Riess, A. G. Results from the High-z Supernova Search Team / A. G. Riess et al. // Astron. J. - 1998. - Vol. 116. - P. 1009.
2. Perlmutter, S. Measurements of Q and A from 42 High-Redshift Supernovae / S. Perlmutter, et al. // Astrophys. J. - 1999. - Vol. 517. - P. 565.
3. Singh, T. Lyra's Geometry and Cosmology: A Review / T. Singh, G. P. Singh // Fortschritte der Physik/Progress of Physics. - 1993. - Vol. 41. - P. 737-764.
4. URL: http://arxiv.org; article-id: arXiv:[gr-qc] 1203.0917.
5. URL: http://arxiv.org; article-id: arXiv: [gr-qc] 1204.0774.
6. Shchigolev, V. K. Cosmological Models with a Varying A-Term in Lyra's Geometry / V. K. Shchigolev // Mod. Phys. Lett. A. - 2012. - Vol. 27. - P. 125064.
References
1. Riess A. G. et al. Astron. J. 1998, vol. 116, p. 1009.
2. Perlmutter S. et al. Astrophys. J. 1999, vol. 517, p. 565.
3. Singh T., Singh G. P. Fortschritte der Physik/Progress of Physics. 1993, vol. 41, pp. 737-764.
4. Available at: http://arxiv.org; article-id: arXiv:[gr-qc] 1203.0917.
5. Available at: http://arxiv.org; article-id: arXiv: [gr-qc] 1204.0774.
6. Shchigolev V. K. Mod. Phys. Lett. A. 2012, vol. 27, p. 125064.
ўиголев ¬иктор  онстантинович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики, ”ль€новский государственный университет (–осси€, ”ль€новск, ул. Ћьва “олстого, 42)
E-mail: vkshch@yahoo.com
Shchigolev Viktor Konstantinovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of theoretical physics, Ulyanovsk State University (42 Lva Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)
”ƒ  530.12:531.51; 524.834 ўиголев, ¬.  .
 осмологическое ускорение в модел€х с динамическим Ћ -членом на многообразии Ћиры / ¬.  . ўиголев // »звести€ высших учебных заведений. ѕоволжский регион. ‘изико-математические науки. - 2013. -є 3 (27). - —. 146-158.

пїњ