пїњ

»Ќ“≈√–ј÷»я √≈ќћ≈“–»», ѕ–ќ√–јћћ»–ќ¬јЌ»я » »Ќ‘ќ–ћј÷»ќЌЌџ’ “≈’ЌќЋќ√»… ѕ–» »«”„≈Ќ»» √≈ќћ≈“–»„≈— »’ —ѕЋј…Ќќ¬

 ќЌ“ тнгтт
Ѕушмелева Ќ. ј. »нтеграци€ геометрии, программировани€ и информационных технологий при изучении геометрических сплайнов //  онцепт. - 2012. -є 8 (август). - ART 12111. - 0,3 п. л. - URL: http://
научно-методический электронный журнал W*W c0C77Oki9965OnCestN2∞3104 120X1. ~ ^ ^
ART 12111 ”ƒ  378.147:004.925.8 л - - . ' .
Ѕушмелева Ќаталь€ јлександровна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики ‘√Ѕќ” ¬ѕќ Ђ¬€тский государственный гуманитарный университетї, г.  иров naf@vshu.kirov.ru
»нтеграци€ геометрии, программировани€ и информационных технологий при изучении геометрических сплайнов
јннотаци€. —тать€ посв€щена вопросу интеграции учебных дисциплин в практике вузовского преподавани€. ≈е целью €вл€етс€ демонстраци€ возможностей использовани€ различных информационных технологий при изучении классической дисциплины.
 лючевые слова: интеграци€, геометри€, крива€, аппроксимаци€, сплайн, Ѕезье.
Ќа зан€ти€х геометрии на направлени€х физико-математического профил€ достаточно подробно изучаютс€ классические виды кривых: эллипс, гиперболу, параболу и др. и их свойства, которые часто встречаютс€ в практической жизни и де€тельности. Ќасто€ща€ работа посв€щена кривым, без которых немыслима никака€ современна€ графическа€ система, даже всем известный стандартный графический редактор Paint.
«ададимс€ следующим вопросом: как изобразить в графическом редакторе кривые различной формы и убедитьс€, что дл€ того, чтобы создать нужную форму, надо знать принципы построени€ произвольных кривых, а также их аналитические описани€.
ѕрактически невозможно дать точное описание произвольной кривой, но можно подобрать функцию, аппроксимирующую имеющуюс€ кривую, то есть такую функцию, котора€ бы задавала другую кривую, но проход€щую через заданные точки и максимально близкую к ней. «аметим, что таких функций может быть и несколько.
‘ункции, используемые дл€ аппроксимации произвольных гладких кривых, называютс€ математическими сплайнами. “ермин Ђсплайнї происходит от английского spline, что означает гибкую полоску стали, которую примен€ли чертежники дл€ проведени€ плавных кривых, например, дл€ построени€ обводов или самолетов. —войства таких функций описываютс€ следующими требовани€ми: 1) функци€ должна проходить через все заданные точки; 2) функци€ должна иметь непрерывную вторую производную на всей области определени€.
 роме этого, значени€ искомой функции должны сравнительно легко вычисл€тьс€.
–азумнее искать описание кривой в параметрическом виде. ѕреимущества параметрического описани€ заключаютс€ в том, что с их помощью легко описываютс€ кривые и поверхности, отвечающие неоднозначным функци€м. ќписание можно сделать таким образом, что формула не будет существенно измен€тьс€ при поворотах и масштабировании.
ќдним из способов задани€ сплайновой кривой €вл€етс€ указание координат ключевых точек. ≈го придумал француз ѕьер Ѕезье. ќн предложил разбить кривую на части, каждую из которых задавать четырьм€ контрольными точками. “акие серии по четыре контрольные
–ис. 1.  рива€ с контрольными точками
f\j Ћ пи
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm
Ѕушмелева Ќ. ј. »нтеграци€ геометрии, программировани€ и информационных технологий при изучении геометрических сплайнов //  онцепт. - 2012. -є 8 (август). - ART 12111. - 0,3 п. л. - URL: http://
научно-методический электронный журнал W*W.CoC77Ok^996k5O7C7StN2∞31041l20X1. ~ ^ ^
ART 12111 ”ƒ  378.147:004.925.8 л - ' . ' .
точки в разной мере определ€ют направление данной кривой. ѕри этом совершенно необ€зательно условие прохождени€ кривой через все контрольные точки (рис. 1). Ќа нем: P0, –3 - начальна€ и конечна€ точки, P-i, P2 - ключевые точки, определ€ющие направление кривой (возможен случай, когда Pi = P2).
“акие кривые получили название сплайнов Ѕезье. –ассмотрим их подробнее.  вадратична€ крива€ Ѕезье [1].
«аданы три контрольные точки Po, P1 и P2 (рис. 2).
ѕрименим процедуру делени€ отрезков, использу€ параметр t - число от 0 до 1 (например, t = 0,75):
1) ¬ычислим точку P1(1) на отрезке P0P1 по следующей формуле: P1(1) = (1 - t) Х P0 + t Х P1.
2) ¬ычислим точку P2(1) на отрезке P1P2 по формуле: P2(1) = (1 - t) Х P1 + t Х P2.
3) ¬ычислим точку P2(2) на отрезке формуле: P2(2) = (1 - t) Х P1(1) + t Х P2(1).
4) ќбозначим P(t) = P2(2).
–ассмотрим эту процедуру с точки зрени€ использовани€ параметров.  ажда€ из точек P1(1), P2(1) и P2(2) зависит от параметра t, и P2(2) принимает значение, соответствующее значению параметра t. “аким образом, P(t) €вл€етс€ функциональным представлением кривой Ѕезье.
p1d)p2d)
по
–ис. 2.  вадратична€ крива€ Ѕезье
«апишем это алгебраически: P(t) = P2(2)(t) = (1 - t) Х P1(1)(t) + t Х P2(1)(t),
где –1(1) = (1 - ÷ Х –о + t Х –1, –2(|) = (1 - ÷ Х –1 + I Х –2.
«аметим, что мы обозначили –1(1), –2(1) как функции от t.
ѕодставив эти два выражени€ в исходное, получим
–^) = (1 - ^ Х ((1 - ^ Х –о + t Х –1) + t Х ((1 - ^ Х –1 + t Х –2) =
= (1 - t) Х ((1 - √) Х –о + t Х –1) + t Х ((1 - t) Х –1 + t Х –2) =
= (1 - t)2 Х –о + (1 - ^ Х [ Х –1 + [ Х (1 - ^ Х –1 + /2 Х –2 =
= (1 - t)2 Х –о + 2 Х { Х (1 - √) Х –1+^2 Х –2.
Ёто многочлен второй степени (или линейна€ комбинаци€ квадратичных многочленов), следовательно, он задает параболическую кривую. ќна и получила название квадратичной кривой Ѕезье.
—войства квадратичной кривой.
1) –(о) = –о и –(1) = –2, крива€ проходит через контрольные точки –о и –2.
2) ‘ункци€ –(^ €вл€етс€ непрерывной, и все ее производные так же непрерывны (это следует из свойств многочленов).
3) ѕродифференцируем –(^ по t и получим:
–(√) = -2 Х (1 - √) Х –о + (-2 Х t + 2 Х (1 -t )) Х –1 + 2 Х t Х –2 = 2 Х ((1 -√) Х + t Х (–2 - –1)).
“аким образом, –Т(0) = 2 Х (–1 - –о), при t = 0 и –Т(1) = 2 Х (–2 - –1) при t = 1.
Ёто означает, что наклон кривой при t = 0 такой же, как и у вектора 2 Х (–1 - –о) , а наклон кривой при t = 1 такой же, как и у вектора 2 Х (–2 - –1).
4) ‘ункции (1 - ^2, 2 Х t Х (1 - V) и I2 €вл€ютс€ полиномами Ѕернштейна 2-й степени. —ами функции и их сумма неотрицательны:
(1 - √)2 + 2 Х t Х (1 - √) + ? = 1 - 2 Х t + I2 + 2 Х t - 2 Х f2 + f2 = 1.
5)  рива€ лежит внутри треугольника –о–1–2.
(1) -
ЂVI ќ (Xї
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm
 ќЌ“ тнгтт
Ѕушмелева Ќ. ј. »нтеграци€ геометрии, программировани€ и информационных технологий при изучении геометрических сплайнов //  онцепт. - 2012. -є 8 (август). - ART 12111. - 0,3 п. л. - URL: http://
научно-методический электронный журнал W*W c0C77Oki9965OnCestN2∞3104 120X1. ~ ^ ^
ART 12111 ”ƒ  378.147:004.925.8 л - - . ' .
P(t) €вл€етс€ аффинной комбинацией точек Pq, P1 и P2. “аким образом, P(t) будет лежать в выпуклой области контрольных точек при всех t е [0; 1], а выпукла€ область треугольника и есть сам треугольник.
6) ≈сли точки Pq, Pi, P2 коллинеарны, то крива€ есть пр€ма€ лини€. ≈сли точки лежат на одной пр€мой, то выпуклой областью €вл€етс€ пр€ма€, и, следовательно, квадратична€ крива€ будет пр€мой линией.
¬ывод.
1. √еометрический метод построени€ квадратичной кривой Ѕезье:
P(t) = P2(2)(t),
√ƒе P(jї(() = j(1~ f>' >' j > 0 .
2. јналитический метод построени€ квадратичной кривой Ѕезье:
P(t) = (1 - t)2 Х Pq + 2 Х t Х (1 - t) Х Pi + t2 Х P2.
 убическа€ крива€ Ѕезье [2].
«аданы четыре контрольные точки Pq, P1,
P2, P3 (рис. 3) .
ѕусть Pi(1)(t) = t Х Pi+(1 - t) Х Pq,
P2(1)(t) = t Х P2 + (1 - t) Х P1,
= t Х P3+(1 - t) Х P2,
= t Х P2(1)(t) + (1 - t) Х P1(1)(t),
= t Х P3(1)(t) + (1 - t) Х P2(1)(t),
= t Х P3(2)(t) + (1 - t) Х P2(2)(t).
P3(1)(t P23(2)(t)
P32(2)(t)
–ис. 3.  убическа€ крива€ Ѕезье
P3(3)(t)
ќбозначим P3(3)(t) как P(t).
‘ормулы аналитического представлени€ точек кривой Ѕезье:
3
F(t) =Z P Х Ѕ, (t),
i=0
где Bo(t > = (1 -1 )3, B,(t > = 3. t- (1 -1 >2, B2(t > = 3. t2-(1 -1 >, B3(t > = t3.
 убическа€ крива€ имеет свойства, схожие со свойствами квадратичной кривой. ¬ывод.
1.√еометрический метод построени€ квадратичной кривой Ѕезье:
«адав точки Pq, P1, P2, P3 и выбрав значение t из [0,1] сгенерировать точку P(t)
на кривой Ѕезье P(t) = P3(3)(t) , где р(J >(t) =
j( J)/
(1 -1 ) F_i(J-1)(t) + t'F(J-1)(t), J > 0 P .J = 0
(J-1)/
2.јналитический метод построени€ квадратичной кривой Ѕезье:
3
P(t) =Z P Х Bi (t),
i=o
где B0(t) = (1 -1)3, B1(t) = 3^ t^ (1 -1)2, B2(t) = 3^ t2 41 -1), B3(t) = t3- полиномы Ѕернштейна третьей степени, а te[0; 1].
 убические сплайны наход€т самое большое применение в практике [3], так как треть€ степень - наименьша€ из степеней, позвол€ющих описать форму любой
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm
 ќЌ“ тнгтт
научно-методический электронный журнал ART 12111 ”ƒ  378.147:004.925.8
Ѕушмелева Ќ. ј. »нтеграци€ геометрии, программировани€ и информационных технологий при изучении геометрических сплайнов //  онцепт. - 2012. -є 8 (август). - ART 12111. - 0,3 п. л. - URL: http:// www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm. - √ос. рег. Ёл є ‘— 77- 49965. - ISSN 2304-120X.
√ 60 80 100 |120 140 160 |18р |20р 220 240 260 |28р 300
со — ¬
1 I" a 1
о: ќ.  вадратичный
о: CN «ѕЋ…»Ќ
"о: Ai
ќ: /л— J // ~ -\   уб и че с кии.
1 if сплайн
о; со V *
I L 2
о; о —'√ ј ' I
сложности, и при стыковке различных сплайнов можно обеспечить непрерывную первую производную (крива€ или поверхность будет без изломов в местах стыка).
ћожно дл€ аппроксимации использовать и квадратичные кривые. ќни гораздо проще, чем кубические сплайны, но тогда дл€ аппроксимации произвольных линий таких кривых понадобитс€ больше.
“ак, например, дл€ построени€ эллипса с хорошей точностью достаточно четырех кубических сплайнов, а квадратичных надо как минимум 10-12 (рис. 4).
Ќа рисунке эллипс - светло-сера€ крива€ - практически невозможно отличить от кубического сплайна (тонка€ черна€ крива€), построенного по точкам ј, ј1, ¬-| и ¬.  онтрольные точки ј1 и ¬1 подбирались так, чтобы в точках ј и ¬ совпадали радиусы кривизны сплайна и исходной кривой (эллипса).
 вадратичный сплайн (крива€ Ѕезье второго пор€дка, построенна€ по точкам ј, — и ¬), как видно на рисунке, в точках ј и ¬ касаетс€ исходной кривой, но в промежутке между этими точками существенно от нее отклон€етс€.
«адание дл€ практической работы студентов.
1. Ќаписать программу построени€ кривой Ѕезье на экране компьютера. ѕри этом необходимо предусмотреть работу программы в следующих режимах:
- построение кубической кривой по заданным параметрам;
- аппроксимаци€ заданной кривой с кубической путем подбора параметров.
2. ѕолучить формулы аналитического представлени€ точек кривой Ѕезье в общем виде и частном случае:
- –о(-30; 10), –1(-30; -20), –2(20; 30), –з(-20; -10);
- –0(-30; 10), –1(0; -20), –2(20; 30), –з(20; -10).
3. ѕроверить точность аппроксимации в рамках реализованного алгоритма.
»сходными данными на выполнение работы €вл€ютс€: метод аппроксимации
и вид кривой (рис. 5, 6). Ќеобходимо аппроксимировать заданную кривую с помощью кубической.
–ис. 4. ѕостроение эллипса с помощью квадратичной и кубической кривых Ѕезье
–ис. 5. ¬ид кривой
–ис. 6. ¬ид кривой
гм yj nj
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm
 ќЌ“ тнгтт
научно-методический электронный журнал ART 12111 ”ƒ  378.147:004.925.8
–езультаты работы: значени€ параметров построенной кубической кривой, графики промежуточных результатов и график конечного результата.
«амечание. ƒл€ выполнени€ третьего задани€ можно воспользоватьс€ средствами табличного процессора MS Excel (рис. 7). Ќеобходимо задать координаты контрольных точек. ƒл€ каждого значени€ параметра t Ї [0; 1] вычислить значени€ координат точек кривой (в данном случае их 19) и построить кривую. »змен€€ значени€ координат контрольных точек, подобрать параметры сплай-новой кривой, наиболее точно представл€ющей заданную кривую.
Ѕушмелева Ќ. ј. »нтеграци€ геометрии, программировани€ и информационных технологий при изучении геометрических сплайнов //  онцепт. - 2012. -є 8 (август). - ART 12111. - 0,3 п. л. - URL: http:// www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm. - √ос. рег. Ёл є ‘— 77- 49965. - ISSN 2304-120X.
A в с D E F G H ≥ j к L
1 t X Y xO v0
2 0 Х5,00 3,00 -5 3
3 0,05 -3,60 3,95 x1 yi
4 0,1 -2,67 4,73 6 10
5 0,15 -2,15 5,33 x2 V2
6 0,2 -1,97 5,78 -18 4
7 0,25 -2,08 6,09 x3 уз
8 0,3 -2,42 6,28 2 3
9 0,35 -2,93 6,34
10 0,4 -3,54 6,31  убическа€ крива€ Ѕезье
11 0,45 -4,21 6,19
12 0,5 -4,88 6,00 -,nn
13 0,55 -5,47 5,75 - ^ t
14 0,6 -5,94 5,45 у I
15 0,65 -6,22 5,12
1Ѕ 0,7 -6,25 4,76
17 0,75 -5,98 4,41
18 0,8 -5,35 4,06
19 0,85 -4,30 3,73
2D 0,9 -2,76 3,43
21 0,95 -0,68 3,19 -¬,00 -¬.Ў -4,00 -2,GO 0.00 2,00 4,00 X
22 1 2,00 3,00
–ис. 7. –езультаты вычислени€ координат точек кривой Ѕезье
»сторическа€ справка.
ѕьер Ётьен Ѕезье родилс€ 1 сент€бр€ 1910 г. в ѕариже в семье потомственных инженеров. ќкончил колледж точных наук и, год спуст€, получил степень инженера-электрика. ¬ возрасте 23 лет Ѕезье поступил на службу в компанию Ђ–еної, где и проработал почти всю свою жизнь. Ќачинал он простым техником, потом постепенно подн€лс€, участву€ в разработке и проектировании поточных линий автомобильного производства.
¬ начале 70-х годов он вычерчивал на компьютере новые корпуса будущих машин - и именно тогда предложил руководству свои уравнени€, описывающие его Ђкривыеї. ѕринцип построени€ линий, основанный на кривых Ѕезье, тут же подхватили другие автомобильные фирмы, а также и другие инженеры из самых разных сфер.
  80-ти годам ѕьер Ѕезье стал профессором и членом многих инженерных академий в разных странах, написал несколько книг и массу статей. ј в свободное врем€ занималс€ математикой со своими одиннадцатью внуками.
”мер в 1999 г.
—сылки на источники
1. ѕорев ¬. Ќ.  омпьютерна€ графика. - —ѕб.: Ѕ’¬-ѕетербург, 2002. - 432 с.
2. Ќикулин ≈. ј.  омпьютерна€ геометри€ и алгоритмы машинной графики. - —ѕб: Ѕ’¬-ѕетербург, 2003. - 560 с.
3. ‘окс ј., ѕратт ћ. ¬ычислительна€ геометри€. ѕрименение в проектировании и на производстве.
- ћ.: ћир, 1982. - 304 с.
Bushmeleva Natalya,
Ph.D., associate professor of applied mathematics and computer science Vyatka State University of Humanities, Kirov nat@vshu.kirov.ru
Integration of geometry, programming, and information technology the study of geometric splines
Abstract. The article focuses on the integration of disciplines in the practice of university teaching. Its aim is to demonstrate the possibilities of the use of various information technologies in the study of the classical discipline.
Keywords: integration, geometry, curve approximation, spline, Bezier.
977230412012808
http://www.covenok.ru/koncept/2012/12111.htm

пїњ