пїњ

’ј–ј “≈–»—“» » “≈ћѕ≈–ј“”–Ќќ… «јў»“џ ј—»Ќ’–ќЌЌќ√ќ ƒ¬»√ј“≈Ћя ѕ–» Ѕџ—“–ќ Ќј–ј—“јёў»’ ѕ≈–≈√–”« ј’

”ƒ  621.313
’ј–ј “≈–»—“» » “≈ћѕ≈–ј“”–Ќќ… «јў»“џ ј—»Ќ’–ќЌЌќ√ќ ƒ¬»√ј“≈Ћя ѕ–» Ѕџ—“–ќ Ќј–ј—“јёў»’ ѕ≈–≈√–”« ј’
«агирн€к ћ.¬., д.т.н., проф., «агирн€к ¬.≈.
 ременчугский государственный политехнический университет
”краина, 39614, ѕолтавска€ обл.,  ременчуг, ул. ѕервомайска€ 20,  √ѕ”, кафедра электромеханики тел. (0536) 74-32-45, факс (05366) 3-60-00, ≈-та≥1: mzag≥rn@polytech.pottava.ua
Ќевзлин Ѕ.»., к.т.н., доц.
¬осточноукраинский национальный университет имени ¬ладимира ƒал€
”краина, 91034, Ћуганск, квартал ћолодЄжный, 20а.
тел. (0642) 41-80-02, (0642) 41-22-25, (0642) 41-95-78, факс (0642) 41-31-60
 иричков ј.¬.
јќ "”кртатнафта"
”краина, 39614,ѕолтавска€ обл.,  ременчуг, ул. —виштофска€ 3
тел. (0536) 76-85-55, (0536) 4-01-55, факс (0536) 2-8449, е-та≥1: ge@nafta.po1tava.ua
–озгл€нута уточнена теплова схема зам≥щенн€ асинхронного двигуна, на основ≥ €коњ отримано теплову схему вузла-елемент лобовоњ частини обмотки статора - термодетектор. Ќа основ≥ анал≥зу в≥докремленого вузла винайдено похибки визначенн€ температури обмотки статора при пов≥льно та швидко наростаючих температурах.
–ассмотрена уточнЄнна€ теплова€ схема замещени€ асинхронного двигател€, на основе которой получена теплова€ схема узла: элемент лобовой части обмотки статора - термодетектор. Ќа основе анализа обособленного узла найдены ошибки определени€ температуры обмотки статора при медленно и быстро нарастающих температурах.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
¬ [1-3] предложена теплова€ модель обмотки двигател€, позвол€юща€ определ€ть температуру срабатывани€ позистора, и определена погрешность измерени€ температуры обмотки термодетектором при медленно нарастающих тепловых перегрузках. “ам же сформулированы основные требовани€ дл€ этой защиты.
«ащита должна отключать асинхронный двигатель при достижении средней температурой обмотки температуры регламентированной требовани€ми √ќ—“ 27888-88 как при медленно нарастающих тепловых перегрузках, так и в наиболее т€желых аварийных и переходных режимах работы двигател€.
÷≈Ћ№ –јЅќ“џ
Ќайти погрешность определени€ температуры статора при быстро нарастающих перегрузках.
Ќаиболее т€желыми режимами работы асинхронного двигател€ €вл€ютс€, по-видимому, заклинивание механизма после установившегос€ длительного режима работы и пуск на заклиненный механизм.
–азрабатывать требование к защите на основе режима заклинивани€ механизма весьма сложна€ задача со многими неизвестными.
ѕревышение температуры двигател€ в этом режиме зависит от многих факторов, в том числе от предварительного нагрева двигател€, коэффициента инерции механизма, изменени€ момента заклинивани€ во времени и т.д. ѕоэтому за основу определени€ требований к защите возьмем такой режим работы как пуск двигател€ из гор€чего состо€ни€ на заклиненный механизм.
ћј“≈–»јЋ » –≈«”Ћ№“ј“џ »——Ћ≈ƒќ¬јЌ»… ≈сли представить электрическую машину как трехмерный элемент сплошной среды, то температура в любой точке машины может быть определена из выражени€ [4-6]:
6/ =’ј>реС–∞ , (1)
1
где 6; - превышение температуры в /-той точке внутри машины над температурой окружающей среды; ј;
- посто€нный коэффициент, определ€емый из граничных условий; ^ - функци€, завис€ща€ от координат точки / и критери€ Ѕио; - корни характеристи-
ческого уравнени€; ∞ - критерий ‘урье.
ѕри этом критерий Ѕио
¬/ = а1 / X , (2)
где а - коэффициент теплоотдачи с поверхности двигател€; X - коэффициент теплопроводности элементов асинхронного двигател€; I - характерный размер. ј определ€ющий характер тепловых процессов критерий ‘урье:
∞ = а /12, (3)
где а = ’ / су - коэффициент температуропроводности; с - удельна€ теплоемкость; у - плотность; t -врем€. “очка / = 1 соответствует центру нагрева.
ѕри малых значени€х t, когда ∞ < 0,3, процесс называетс€ неупор€доченным нестационарным, величины увеличиваютс€ с ростом /, каждый следующий член р€да (1) уменьшаетс€ тем быстрей, чем больше t.
Ќачина€ с некоторого значени€ t, имеем ∞ > 0,3 , поле превышени€ температуры достаточно точно описываетс€ первым членом р€да (1). — этого момента начальные услови€ играют второстепенную роль. “акой режим называетс€ регул€рным. ќн имеет место и при критерии Ѕио ¬/ = 0 , что соответствует X = да .
 ак известно, дл€ регул€рного режима изменение температуры отдельно вз€того тела описываетс€ следующим дифференциальным уравнением:
—1^61 / ^ + ацб! = /1о , (4)
где — - теплоемкость тела; –ю - потери в точке 1 при температуре окружающей среды;
а11 = а10-аг–10 . (5)
¬ (5) аю - теплопроводность от элемента 1 до окружающего воздуха; а г - температурный коэффициент теплопроводности.
–ешение уравнени€ (4) общеизвестно
61 = 6 уст ( - е 17 “ )+60е 17 “ = 60 +(6уст-60 ^ - е 17 “ ) (6)
”0 = ^0! / Ћ = ]2р /—уде-/“
где у - плотность тока; р - удельное сопротивление проводника обмотки двигател€; —уд - удельна€ теплоЄмкость. ƒл€ меди р / —уд и 1/200 .
0 = 0∞ -0∞^ =6т —ќ8(ю0, (9)
где 6∞ - температура на оси тела; 9∞^, 6т - соответственно средн€€ и максимальна€ температуры на оси тела. ¬ этом случае решение (9) имеет вид:
(0-0о,)/0т = е
(
—08

(10)
≈сли на оси тела температура достигает величины 61 в момент времени ^, то в точке /, отсто€щей на рассто€нии х от оси, температура достигает величины 61 через врем€:
1
ƒ/ = -
1
-х .
(11)
где 6 уст = –ю / ап установившеес€ превышение температуры тела (принужденна€ составл€юща€); 60 -начальное превышение температуры тела при t = 0; “ - посто€нна€ времени нагрева тела:
“ = —х/ ап. (7)
—корость нарастани€ температуры тела можно определить из выражени€:
(8)
ѕредставим часть секции с термодетектором как полуограниченное тело. ѕри синусоидальном изменении температуры по оси тела согласно [5]:
2 V 2аю
“аким образом, врем€ распространени€ тепловой волны пропорционально корню квадратному из рассто€ни€ до точки установки термодетектора от оси секции и обратно пропорционально корню квадратному из температуропроводности материала изол€ции.
—огласно √ќ—“ 27888-88 средн€€ температура обмотки в момент отключени€ двигател€ защитой не должна превосходить температур, приведенных ниже в таблице.
¬ соответствии с этим, по допустимым превышени€м температуры из (6) можно определить допустимое врем€ /доп сто€нки двигател€ под током короткого замыкани€, решив относительно его уравнение
0т -0Ќ =ƒ0бд = (0кз -0н)(≥-е-доп/“), (12) где 0кз - превышение температуры при коротком замыкании; 0н - превышение температуры при номинальной нагрузке.
»з (12)
/доп = -“ 1п(1 -ƒ0бд /(кз-0^) . (13)
“аблица
ƒопустимые превышени€ температуры обмотки при медленно и быстро нарастающих нагрузках
“емпературный индекс изол€ции по √ќ—“ 183-74 ј ≈ ¬ ≈ Ќ  атегори€ защиты
ƒопустимое превышение температуры обмотки в длительном режиме 6н , ∞— 60 70 80 100 125
ћедленно нарастающие нагрузки. ƒопустимое дополнительное превышение температуры обмотки ƒ6мд , ∞— 65 65 65 70 70 1
80 80 85 90 90 2
Ѕыстро нарастающие нагрузки. ƒопустимое дополнительное превышение температуры обмотки ƒ6бд , ∞— 120 120 120 125 125 1
140 140 145 150 150 2
ќднако срабатывание защиты начнетс€ при достижении температурой обмотки значени€, соответствующего температуре срабатывани€ термодетектора дл€ медленно нарастающих нагрузок. Ёти превышени€ температуры над номинальной температурой обмотки приведены так же в таблице. ¬рем€ начала срабатывани€ термодетектора
V = -“ 1п(1 -ƒ6ћд /(з -6Ќ)). (14)
“аким образом, теплова€ защита должна сработать за врем€ ƒtp = ^оп - и врем€ срабатывани€
позистора ta должно быть меньше этого времени.
ѕредставленна€ картина €вл€етс€ упрощенной. ¬
действительности обмотка не €вл€етс€ однородной структурой. “еплоотдача по длине обмотки неравномерна, а, следовательно, измен€етс€ по длине и посто€нна€ времени обмотки.
ƒл€ определени€ изменени€ во времени температуры различных элементов машины предлагаетс€ использовать эквивалентную схему замещени€ двигател€, приведенную на рис. 1.
¬ данной схеме точки соответствуют:
1 - пазова€ часть обмотки статора; 2 - участок лобовой части обмотки под термодетектором; 3 - обмотка ротора; 4 - зубцы железа статора; 5 - корпус статора над пакетом сердечника статора; 6 - корпус статора
над лобовыми част€ми обмотки статора; 7 - внутренний воздух в машине; 8 - термодетектор; 9 - лобова€ часть обмотки статора между сердечником и точкой установки термодетектора; 10 - лобова€ часть обмотки статора за точкой установки термодетектора.
–ис. 1. Ёквивалентна€ теплова€ схема замещени€ асинхронного двигател€ в переходных режимах
ѕервые семь точек на рис. 1 соответствуют схеме, предложенной в [7-9], точка 8 - термодетектор, точки 9 и 10 добавлены дл€ уточнени€ модели модели.
“аким образом, уточненна€ схема будет вместо одной точки в лобовой части обмотки иметь три и еще дополнительно одну точку - термодетектор.
ѕредложенна€ схема (рис.1) описываетс€ дев€тью линейными дифференциальными уравнени€ми первого пор€дка и одним алгебраическим, поскольку в уравнении дл€ внутреннего воздуха теплоемкостью воздуха можно пренебречь.
—^! / & + $ц01 Ч ^1404 Ч ^1969 = ^10;
—2^02 /Ћ + а2202 Ч а2707 Ч а2808 Ч
Ч а2909 Ч а21ќ01ќ = –20;
—3й?03 / Ћ + Чазз0з Ч а3404 Ч а3707 = –30;
—з^0з /$1 + ан01 Ч а3403 + а4404 Ч а4^0^ = –4;
—4^04 / $1 + а4505 + а5505 Ч а5606 = 0;
—б$0б /+ а5605 + а6606 Ч а6707 = 0;
а2702 Ч а3703 Ч а6706 + а7707 Ч а7808 Ч
Ч а7909 Ч а710010 = –7;
—8$08 / + а2802 Ч а7807 + а8808 = –80;
—9$09 / + а1901 Ч а2902 Ч а7907 + а9909 = 0;
—10$010 /∆ + а21002 Ч а71007 + а1010010 = –100.,
ƒанные уравнени€ позвол€ют довольно точно описать процессы, происход€щие в двигателе при его
нагреве в нестационарном режиме, но дл€ анализа картины процесса они сложны, поэтому рассмотрим упрощенный вариант модели, в котором выделим только элемент лобовой части обмотки, состо€щий из одного тела, и второе тело - термодетектор. “акое представление элемента двигател€ в виде двух тел €вл€етс€ довольно распространенным дл€ упрощени€ задачи.
–ј—„®“ ”ѕ–ќў®ЌЌќ… “≈ѕЋќ¬ќ… —’≈ћџ ЋќЅќ¬ќ… „ј—“»
ѕредставим в предложенной модели элемент в качестве первого тела лобовую часть обмотки статора, а в качестве второго - термодетектор.
ѕрин€тые допущени€:
1) термодетектор установлен над точкой среднего перегрева лобовой части обмотки; 2) система: лобова€ часть обмотки - термодетектор, размещены в охлаждающем агенте дл€ внутреннего охлаждени€ двигател€; 3) перетоком тепла вдоль обмотки пренебрежем; 4) теплоотдачу с поверхности термодетектора положим равной теплоотдаче от лобовой части обмотки к внутреннему охладителю асинхронного двигател€.
Ёти допущени€ упрост€т нашу модель и сделают ее универсальной по следующим причинам.
1. ¬ различных двигател€х термодетекторы могут располагатьс€ либо до точки среднего перегрева лобовых частей, либо в точке, соответствующей среднему перегреву, либо в точке после точки среднего перегрева. ѕоэтому точка среднего перегрева €вл€етс€ точкой соответствующей усредненным результатам.
2. ѕревышение температуры лобовой части может быть выше или ниже перегрева пазовой части. ќтсутствие перетекани€ тепла вдоль обмотки соответствует равенству перегревов лобовой и пазовой частей обмотки, т. е. соответствует усредненным результатам.
ѕредставление модели в виде двух тел, в нашем случае оправдано еще и тем, что нам требуетс€ анализировать не абсолютное значение температуры термодетектора и обмотки, а разность этих температур, определ€ющую погрешность измерени€ температуры обмотки термодетектором.
“еплова€ схема замещени€ такой упрощенной модели приведена на рис. 2.
—1 —2
–ис. 2. ”прощенна€ теплова€ схема лобовой части обмотки с термодетектором
—оставим уравнени€ дл€ данной модели: —1$01 / & + ац01 Ч а1202 = ^10;!
—2$02 /+ а1201 + а2202 = 0; ^
или
$01 / & + ац / —*≥©≥ Ч $12 / —≥02 Ч –ю / —;
(17)
(18)
$02 /& + а12 /—201 + а22 /—202 = 0.
–ешени€ этой неоднородной системы дифференциальных уравнений можно представить согласно [10-12] в следующем виде:
01 = 01од +01н; |
0 2 = 0 2од +02н ,|
где 01од , 0 2од - решени€ однородной системы дифференциальных уравнений, т. е. уравнений (17) без правой части (свободные составл€ющие превышений температур), 01н , 02н - частные решени€ уравнений неоднородной системы уравнений (17) (принужденные составл€ющие привышений температур).
ƒл€ однородной системы дифференциальных уравнений, соответствующей системе (17), в нашем случае имеет место неравенство
(а11 / —101 Ч а12 / —2 )2 +
+ 4(Ч ахг/ —х ’Ч ахг/ —2 )> 0. (19)
“огда согласно [12] она не описывает колебательный процесс и свободные составл€ющие превышений температур определ€тс€ из выражений [10, 13]:
01од Ч —1ј1е^ + с2 ј2е^; 02од Ч —1¬1е^ + с2 ¬2™≥1 .\
(21)
 оэффициенты ^1, ^2, >1, ¬2 св€заны следую щими соотношени€ми [12]:
ј (ац / —1 Ч 6*1) Ч ¬1а12 / —1 = 0;
¬1(а12 / —2 Ч 61) Ч ј1а12 / —2 = 0;
ј2 (а11 / —1 Ч *2 ) Ч ¬2а12 /—1 = 0;
¬2(а22 / —2 Ч 62) Ч ј2а12 / —2 = 0.
¬еличины ^1 и ь'2 определ€ютс€ из характеристического уравнени€:
6 2 Ч (а11 / —1 + а22 / —2 ’ +
,2
и равны:
+ (а12 / —1 + а22 / —2 Ч а122 / —2—1)Ч 0 (22)
51 Ч (а11 / —1 + а22 / —2 )/ 2 +
+ V(а11 /—1 + а22 /—2)2 /4 Ч ^
^ Ч (а11 /—1а22 /(2 Ч а12 /—2— 52 Ч (а11 / —1 + а22 / —2 )/ 2 Ч
V(а11 / —1 + а22 / —2 )2 / 4 Ч ^
ќ
-[ап /—(
(25)
а1101 Ч а120 2 = –10;| а1201 + а22 0 2 = 0.
–ешени€ (25) соответствуют установившимс€ значени€м превышений температур в узлах машины:
01н Ч 01у; 02н Ч02у>
(26)
где 01^ и 02у - установившиес€ превышени€ температур лобовой части и термодетектора, соответственно.
01у Ч –10а22 /(а11а22 Ч а122 )|
(27)
(28)
(20)
02у = а12 /а2201у. ]
ќбщее решение согласно (18) равно
01 = + с2 ^2^^ + 01у;
02 = —1¬1е*1 + —2 ¬2е*2 +02 у.]
 оэффициенты —1, —2 можно определить из следующих граничных условий, использу€ зависимости между коэффициентами ј1, ј2, ¬1, ¬2 в соответствии с (21): при / = 0 температуры 01 =01нач,
0 2 = 02нач . —ледовательно
01нач = с1ј1 + —2 ј2 + 01у; |
02нач = —1¬1 + —2 ¬2 + 02 у.]
ѕоложим 01нач = 0 и 02нач = 0 , т.е. рассмотрим несосто€вшийс€ пуск. ¬ этом случае
(29)
—1ј1 + —2 ј2 Ч Ч01у;
(30)
—1¬1 + —2 ¬2 = Ч02 у \
 онечные выражени€ дл€ определени€ превышений температур:
01 = с11еч1 + с12е*2? +01
>1у>
02 Ч —21е^1 + —22™≥ +02 у >
(31)
где
(32)
(23)
ЧЧ Ч \а]1 / —1а22 / —2 Ч а12 / —2—1 где —1 и —2 - посто€нные, определ€емые условием задачи.
„астное решение неоднородной системы уравнений (17) получим исход€ из того, что в рассматриваемом случае выполн€етс€ условие:
а11 / —1а22 / —2 Ч (Ч а12 / —1’Ч а12 / —2 ’ 0 , (24) и в соответствии с [12], решени€ определ€ютс€ из алгебраической системы уравнений:
с11 = —1ј1; —12 = —2 ј2; с21 = —1¬1; —22 = —2 ¬2]
»ме€ формулы дл€ расчета 01 и 02 можно анализировать работу термодетектора в переходных режимах.
¬ работах [2, 3] показано, что при медленно нарастающей тепловой перегрузке двигател€ можно выделить две погрешности определени€ температур:
- погрешность, обусловленна€ выбором точки установки термодетектора;
- погрешность измерени€ температуры обмотки термодетектором в месте установки.
ѕри быстро нарастающей перегрузке к этим погрешност€м добавл€ютс€ еще погрешности:
- обусловленна€ изменением формы пол€ температур в зависимости от времени;
- обусловленна€ конечной величиной теплоемкости термодетектора.
Ёто приводит, в первом случае, к зависимости сопротивлений теплопроводности от времени и, во втором случае, к отставанию роста температуры тер-
модетектора от температуры обмотки.
ѕоскольку характер изменени€ температур в двигателе согласно [6] зависит от критери€ ‘урье, следует найти этот критерий. ƒл€ этого необходимо определить допустимое врем€ сто€нки двигател€ под пусковым током согласно (13), а согласно (3) - критерий ‘урье. ѕоскольку коэффициент температуропроводности изол€ции и меди и их размеры неравны, необходимо рассматривать критерий ‘урье дл€ этих элементов раздельно.
–анее показано, что начина€ с некоторого значени€ / имеем в > 0,3 , и поле превышени€ температуры с достаточной точностью описываетс€ первым членом р€да. ¬ этом случае форма пол€ температуры в теле не зависит от времени, а следовательно, не завис€т от времени и внутренние сопротивлени€ теплопроводности. “огда и проводник, и изол€ци€, могут быть представлены сосредоточенными телами.
ќтставание роста температуры термодетектора от температуры обмотки, как показано выше, зависит от толщины изол€ционной прокладки между термодетектором и обмоткой температуропроводности материала этой прокладки и скорости изменени€ температуры. —огласно √ќ—“ 27888-88, данные из которого приведены в таблице, допустимое превышение температуры обмотки в режиме с быстро нарастающей тепловой нагрузкой равно:
0бнн =0н + ƒ0бд . (33)
ƒопустимое превышение температуры обмотки в режиме с медленно нарастающей тепловой нагрузкой 0ћЌЌ =0Ќ +ƒ0ћд . (34)
Ќа температуру 0мнн рассчитано срабатывание термодетектора тепловой защиты.
–азность температур
ƒ0бнн = 0бнн Ч 0мнн (35)
резервируетс€ √ќ—“ 27888-88 на компенсацию погрешности термодетектора при быстро нарастающих нагрузках. ≈е величина может быть определена из выражени€ (31):
ƒ0бнн = 01 Ч 02 = с11е ^ + с12е ^ +01у Ч
Ч с21е ^ Ч с22е ^ Ч 02 у = 01у Ч 02 у +
+ (с11 Ч —21)е ^ + (с12 Ч —22)е ^. (36)
¬џ¬ќƒџ
1. ƒл€ исследовани€ характеристик тепловой защиты при быстро измен€ющейс€ тепловой перегрузке предложена теплова€ модель, описываема€ дев€тью дифференциальными уравнени€ми, позвол€юща€ детально анализировать распределение температур элементов двигател€, вызванной как нестандартными и аварийными режимами работы механизма, так и в аварийных режимах в работе двигател€.
2. ƒл€ режима работы двигател€ с быстро нарастающей тепловой нагрузкой предложена упрощенна€ модель лобовой части обмотки с термодетектором и дано решение позвол€ющее определ€ть температуру термодетектора в этом режиме, использу€ довольно простые расчеты.
3. ќпределены основные источники погрешности измерени€ температуры термодетектором в режиме быстро нарастающей тепловой перегрузки.   ним относ€тс€, кроме погрешностей при определении температур термодетектором при медленно нарастающих нагрузках, следующие погрешности:
- погрешность, обусловленна€ изменением формы пол€ температур в зависимости от критери€ ‘урье, привод€ща€ к зависимости сопротивлений тепло -проводности от скорости изменени€ температуры;
- погрешность, обусловленна€ конечной величиной теплоемкости термодетектора, привод€ща€ к отставанию роста температуры термодетектора от роста температуры обмотки.
Ћ»“≈–ј“”–ј
[1] «агирн€к ћ.¬., Ќевзлин Ѕ.».,  иричков ј.¬. —овременные тепловые защиты электродвигателей в горных услови€х // ¬≥сник  ременчуцького держ. пол≥техн≥чного ун-ту. -  ременчук:  дѕ”, 2005, ¬ип. 5/2005 (34), ч.2. - —. 10-13
[2]  иричков ј.¬., Ќевзлин Ѕ.». ќпределение температуры срабатывани€ термодетектора. // ¬≥сник —х≥дноукрањнського нац≥онального ун-ту ≥м. ¬.ƒал€, 2006.
[3] Ќевзлин Ѕ.».,  иричков ј.¬. ќ погрешности измерени€ температуры обмотки статора асинхронного двигател€ термодетекторами // ѕрац≥ Ћуганського в≥дд≥ленн€ ћ≥жнародноњ јкадем≥њ ≥нформатизац≥њ. - 2006, є 2 (13). - —. 7-11.
[4]  утателадзе —.—. ќсновы теории теплообмена. - ћ.: ћашгиз, 1962. - 456с.
[5] Ћыков ј.¬. “епломассообмен. - ћ.: Ёнерги€, 1972. -560с.
[6] “еори€ тепломассообмена. ѕод редакцией Ћеонтьева ј.». - ћ.: ¬ысша€ школа, 1979. - 495с.
[7] Ѕурковский ј.Ќ.,  овалев ≈.Ѕ.,  оробов ¬. . Ќагрев и охлаждение взрывозащищенных асинхронных двигателей. - ћ.: Ёнерги€, 1970. - 198с.
[8]  овалев ≈.Ѕ. Ѕурковский ј.Ќ., √ол€нд Ѕ. —. ћетодика тепловых расчетов взрывонепроницаемых асинхронных двигателей // Ёлектропромышленность. - 1970. -є 1.
[9]  овалев ≈.Ѕ., Ѕурковский ј.Ќ. »сследование тепловых сопротивлений электрических машин // Ёлектропромышленность. - 1968. - є342. - —.18-19.
[10] «ельдович я. Ѕ. Ёлементы прикладной математики. -ћ.: Ќаука, 1967. - 646с.
[11] »ванов ¬.ј., „емоданов  . ., ћедведев ¬.—. ћатематические основы теории автоматического регулировани€. - ћ.: ¬ысша€ школа, 1971. - 807с.
[12]  амке Ё. —правочник по обыкновенным дифференциальным уравнени€м. - ћ: Ќаука, 1972. - 576с.
[13] ћаделунг Ё. ћатематический аппарат физики. - ћ.: Ќаука, 1968. - 618с.
[14] Ѕорисенко ј.»., ƒанько ¬.√., яковлев ј.». јэродинамика и теплопередача в электрических машинах. - ћ.: Ёнерги€, 1974. - 560с.
ѕоступила 29.06.2006

пїњ