пїњ

¬Ћ»яЌ»≈ —ќЋЌ÷ј Ќј ƒ¬»∆≈Ќ»≈ —ѕ”“Ќ» ј «≈ћЋ»

Ќиколай ¬ладимирович ќ—“–ќ¬— »… Ч преподаватель ¬€тского государственного университета (г.  иров), к. т. н
”ƒ  521.11+521.174
¬Ћ»яЌ»≈ —ќЋЌ÷ј Ќј ƒ¬»∆≈Ќ»≈ —ѕ”“Ќ» ј «≈ћЋ»
јЌЌќ“ј÷»я. ¬ работе на основе анализа литературных данных показано, что система —олнце - «емл€ - Ћуна не может быть описана с использованием классических уравнений небесной механики. ƒл€ решени€ данной проблемы автором предложено оригинальное обобщенное уравнение гравитационного взаимодействи€.
The author having analyzed several theoretical sources demonstrates that the system Sun - Earth - Moon can be not described with the use of classical equations of celestial mechanics, and offers an original generalized equation of gravitational interaction to solve this problem.
1. ѕостановка задачи
ƒвижение Ћуны по околоземной орбите необъ€снимо в рамках современной небесной механики, опирающейс€ на уравнение Ќьютона [1; 54]:
Fт=GMm/r2, (1)
где: Fт Ч сила прит€жени€ между телами,
G Ч универсальна€ гравитационна€ посто€нна€,
M и m Ч массы взаимодействующих тел,
r Ч рассто€ние между телами.
¬ычисленна€ согласно данному уравнению сила прит€жени€ Ћуны к «емле оказываетс€ почти вдвое меньше силы прит€жени€ Ћуны к —олнцу. ƒл€ объ€снени€ данного парадокса было использовано множество подходов, обзор которых дан в работе [2], но ни один из них нельз€ признать удовлетворительным.
”равнение (1) было предложено Ќьютоном дл€ взаимодействи€ двух тел. ќно вполне удовлетворительно описывает взаимодействие «емли и —олнца и относительно удовлетворительно Ч взаимодействие «емли и Ћуны (изолированно от —олнца).
„тобы устранить это противоречие с реальностью, была предложена модель (см., например, [3]), согласно которой «емл€ и Ћуна обращаютс€ вокруг общего центра инерции (Ђконцепци€ барицентраї), который, в свою очередь, обращаетс€ вокруг —олнца. ќднако в этом случае угол между линией, соедин€ющей центры «емли и Ћуны, и осью собственного вращени€ «емли был бы величиной посто€нной и продолжительность нахождени€ Ћуны над линией горизонта (дл€ каждой широты) была бы посто€нной, что противоречит данным наблюдений [4]. “аким образом, концепци€ барицентра оказываетс€ несосто€тельной.
”равнение (1) описывает скал€рную величину. ¬прочем, ». Ќьютон исходил из того, что оба тела действуют друг на друга с одинаковой силой [5; 130]. “акой подход дл€ системы из двух тел был вполне приемлем. Ќо как быть в случае системы из трех тел?  ак было указано выше, Ћуна находитс€ в
сфере т€готени€ —олнца, но обращаетс€ вокруг «емли. ¬ современной теории гравитации используетс€ пон€тие гравитационного потенциала [6; 5]: V=A/m=GM/p, (2)
который св€зан с величиной работы ј, необходимой дл€ того, чтобы удалить тело с массой т, наход€щеес€ на рассто€нии р от тела с массой ћ, на бесконечно большое рассто€ние. ≈сли нам необходимо вычислить гравитационный потенциал от произвольного распределени€ массы в пространстве, то необходимо вз€ть объемный интеграл [6; 9]:
V = dm / р
(3)
ќсновыва€сь на пон€тии гравитационного потенциала, была предложена модель, согласно которой пробное тело в гравитационном поле двух тел может свободно перемещатьс€ по эквипотенциальной поверхности без затраты энергии, свободно переход€ из окрестности одной компоненты в окрестности другой. “ака€ поверхность получила название Ђкритической поверхности –ошаї [1; 92]. ќднако орбита Ћуны вовсе не находитс€ на поверхности –оша, хот€ оказываетс€, что положение орбиты Ћуны на радиус-векторе «емли относительно —олнца приблизительно соответствует минимуму гравитационного потенциала (рис. 1).
–ис. 1. «ависимость суммарного потенциала гравитационного пол€ —олнца и «емли от рассто€ни€
2. ¬ывод обобщенного уравнени€ гравитационного взаимодействи€
— использованием гравитационного потенциала может быть введена величина напр€женности гравитационного пол€ (численно равной ускорению силы т€жести) [6; 17]:
g=gradV. (4) “огда сила прит€жени€, описываема€ уравнением (1), оказываетс€ равной произведению напр€женности гравитационного пол€ на массу пробного тела. ¬ этом случае сила прит€жени€ становитс€ уже векторной величиной. Ќо мы установили выше, что подобное описание не объ€сн€ет поведение Ћуны в системе —олнце - Ћуна - «емл€. —ила прит€жени€ пробного тела к —олнцу равна силе прит€жени€ пробного тела к «емле на рассто€нии 2,589*108 м от «емли (рис. 2).
–ис. 2. «ависимость модул€ напр€женности суммарного гравитационного пол€ «емли и —олнца от рассто€ни€
≈сли мы применим уравнение (4) к уравнению (3), то напр€женность гравитационного пол€ будет равна [6; 17]:
8 = (г '-r)dm / р3 (5)
где: г' и г Ч радиус-векторы элемента объема и пробного тела.
¬ случае двух тел уравнение (5) дает следующий результат:
g2=G[(г-г) т/1 г]-г13+(г2-г)т/1 г2-г |3] (6)
¬ работе [7] автором было предложено при оценке гравитационного взаимодействи€ многих тел учитывать градиент напр€женности гравитационного пол€. Ќапр€женность гравитационного пол€, создаваемого —олнцем и «емлей, можно выразить как:
gcз=G[M3/г32+(MC/гC2)cosa], (7)
где: а Ч угол между г« и г— (рис. 3).
–ис. 3. —хема дл€ описани€ взаимодействи€ в системе из трех тел.
“огда градиент напр€женности пол€ будет равен:
gradgcз=d[G(MC/(rC_t)2+M3/t2)]/dr=-2G(MC/rC3-M3/r33). (8)
¬ данном случае речь идет о векторных значени€х радиусов пробной точки. «ависимость градиента напр€женности гравитационного пол€ системы —ол-
нце-«емл€ приведена на рис. 4. √радиент равен нулю на рассто€нии 2,161*109 м от «емли. Ёто означает, что на меньших рассто€ни€х сила прит€жени€ будет обращена к «емле, а на больших рассто€ни€х Ч к —олнцу.

г * я | || Т»ї 3 с 3 1 :хеи 1 ¬ \
\

\
2 ^ Т.Ђ а J √ 1 * 1 в „ 1

–ћ»Ўћї! .XV. II ƒќ пик м рƒƒќиƒж.. уи-ии _||_|| .1
–ис. 4. «ависимость градиента напр€женности суммарного гравитационного пол€ —олнца и «емли от рассто€ни€
»так, объ€снить направленность силы т€готени€ в гравитационном поле многих тел можно, использу€ пон€тие Ђградиент напр€женности гравитационного пол€ї. Ќо тогда возникает вопрос: каким выражением должна описыватьс€ сила прит€жени€ Ћуны к «емле? ћы уже отметили выше, что она не равна векторной сумме сил, описываемых уравнением (1). Ћогично предположить, что за основу дл€ дальнейших рассуждений может быть прин€то уравнение (8). ѕроизведение градиента напр€женности гравитационного пол€ на массу имеет размерность Ќ/м. ѕолучить искомую размерность силы можно, введ€ дополнительный множитель, имеющий размерность Ђрассто€ни€ї. ƒополнительным элементом должен быть также угол между направлени€ми от Ћуны к —олнцу и к «емле, который учитывает направленность гравитационного воздействи€. ¬ результате мы получаем уравнение:
F3=Gmлr 3[ћ3/г 33+(ћс/г—3)сот], (9)
где: а Ч угол между радиус-вектором Ћуны относительно «емли и радиус-вектором Ћуны относительно —олнца.
≈сли теперь уравнение (9) переписать в векторном виде и распространить на систему из п тел, то мы получим следующее выражение дл€ силы взаимодействи€ между двум€ телами (обобщенное уравнение гравитационного взаимодействи€) [7]:
п з п з
–\2 = ^ * т1√12 *’ т1 1 √1г , где X т1 1 √1г €вл€етс€ векторной величиной. (10)
г-2 г-2
¬ случае системы из двух тел уравнение (10) сводитс€ к уравнению Ќьютона (1).
3. »спользование обобщенного уравнени€ гравитационного взаимодействи€ в расчетах
—ила, вычисленна€ по уравнению (9), направлена в сторону «емли. ќднако построение динамической модели дл€ лунной орбиты св€зано с р€дом сложностей.
¬о-первых, необходимо учитывать наклон лунной орбиты к плоскости эклиптики, во-вторыхЧсмещение линии узлов лунной орбиты, и, в-третьих, нельз€ исключать из рассмотрени€ гравитационное поле самой Ћуны. ѕоэтому в данной работе будут рассмотрены результаты расчетов дл€ модели, включающей обращение вокруг «емли тела с бесконечно малой массой, движущегос€ в плоскости эклиптики.
¬ работе [8] была представлена модель дл€ расчета орбитальных параметров движени€ одного тела вокруг другого, обладающего значительно большей, по сравнению с первым, массой.  роме силы прит€жени€, в модели используетс€ центробежна€ сила [9;. 844]:
Fц=mv2/r, (11)
где: т Ч масса тела,
V Ч его скорость, г Ч радиус кривизны, и закон сохранени€ момента количества движени€ [3; 438]:
K=mvr=const. (12)
ѕод действием равнодействующей силы прит€жени€ и центробежной силы тело совершает ускоренное движение вдоль радиус-вектора. »зменени€ длины радиус-вектора привод€т к изменению линейной скорости, вход€щей в уравнени€ (11) и (12). ѕошаговые расчеты с интервалом времени в один час позвол€ют вычислить параметры околосолнечной орбиты «емли с точностью не хуже чем 2*10-5 (дл€ одного оборота), что приемлемо дл€ оценки адекватности физической модели.
¬ случае применени€ данной модели дл€ системы Ћуна-«емл€ с использованием дл€ описани€ силы прит€жени€ уравнени€ (1) и табличных средних значений лунной орбиты угол поворота Ћуны за врем€, равное сидерическому периоду обращени€, оказалс€ равным всего 352∞.
¬ насто€щей работе рассматриваетс€ система из трех тел: —олнце, «емл€ и пробное тело (спутник). –асчеты выполн€лись отдельно дл€ движени€ «емли вокруг —олнца и дл€ движени€ спутника вокруг «емли. ¬ случае «емли ускорение силы т€жести вычисл€лось исход€ из уравнени€ (1), а в случае спутника Ч исход€ из уравнени€ (9). ѕри этом была рассмотрена следующа€ задача. “елу, наход€щемус€ на рассто€нии г0 от «емли, придавали круговую скорость, определ€емую равенством силы прит€жени€ Ќьютона (1) и центробежной силы (11) [1; 85]:
укр=(ќћ3 /го )1/2 (13)
„ерез период времени, равный периоду обращени€ по круговой орбите:
“=2пго /”кр.= 2п(гоЏ/ќџз )1/2, (14)
мы сравним параметры орбиты тела, приобретенные за счет учета вли€ни€ —олнца, по уравнению (9) с исходными значени€ми. ƒл€ каждого расчета «емл€ начинала свое движение из перигели€. “ело в начальном положении (нулевое значение угла поворота) находилось на радиус-векторе «емли относительно —олнца, между —олнцем и «емлей (в соединении). ≈диничный интервал времени в шаговом расчете равен 1 минуте дл€ значений г0 меньших, либо равных 3,844^108 м (значение полуоси лунной орбиты) и 1 часу при больших значени€х г0. –езультаты расчетов представлены в табл. 1.
ќтличие времени расчета от периода обращени€ св€зано с дискретностью единичного интервала времени.  ак мы видим из таблицы, вли€ние —олнца начинает ощущатьс€ при г0, составл€ющем всего 0,02 величины полуоси лунной орбиты.
ќднако это вли€ние весьма незначительно, на уровне 1Ђ10-6 за один оборот, так что даже дл€ высоко летающих спутников «емли оно несущественно. Ќа орбите Ћуны это вли€ние становитс€ €рко выраженным. «а период кругового обращени€ тело совершает поворот на 362,2∞.   этому моменту тело уже прошло перигей и начало удал€тьс€ от «емли: радиальна€ скорость равна Ч 17,7 м/с. ƒлина радиус-вектора тела уменьшилась на 0,38%, линейна€ скорость увеличилась на 0,39%.
“аблица 1
–езультаты расчетов орбитальных параметров пробного тела при различных начальных значени€х радиуса
Ќачальные параметры
√о, м-108 0,03844 0,07688 0,1538 0,3075 1,230 3,844 7,688 11,53 11,65
”кр, м/с 10187,95 7203,97 5093,976 3601,985 1800,993 1018,795 720,397 588,202 585,170
0,027439 0,077608 0,219509 0,620866 4,9669251 27,438642 77,6080 142,5750 144,7996
 онечные параметры
^–ас^ с”“. 0,027778 0,077778 0,220139 0,621528 4,967361 27,438889 77,6250 142,5830 144,7920
5“/“ 0,012360 0,002185 0,002869 0,001067 8,776-10-5 9,002-10'6 0,000219 5,611-10"5 -5,25-10"5
≤'? 364,4495 360,7867 361,0312 360,3803 360,109 362,1924 372,5252 207,849 198,966
√к/ √о 1,000000 0,999999 1,000007 1,000012 0,999994 0,996163 0,985490 1,639004 1,862786
V V,,. 1,000000 1,000001 0,999996 0,999996 1,000005 1,003892 1,062854 0,610127 0,536834
”&, м/с 0,00000 0,00312 -0,00587 -0,0176 -1,135 -17,693 -83,198 4,615 -76,08
ѕримечани€: д““Ч отношени€ разницы между временем выполнени€ расчета и периодом обращени€ к периоду обращени€; м Ч угол поворота тела относительно «емли; г/ гд Ч отношение конечного значени€ радиус-вектора тела относительно «емли к начальному значению; у/ V. Ч отношение конечного значени€ линейной скорости тела к начальному значению; Ч радиальна€ скорость тела; г0=3,844*106 м Ч гипотетический случай, когда вс€
масса «емли сосредоточена в теле меньшего диаметра.
ќрбита тела при начальном радиусе 3,844Ђ108 м оказываетс€ относительно устойчивой. «а 100 периодов обращени€ средн€€ длина радиус-вектора устанавливаетс€ на значении близком к 3,864Ђ108, а эксцентриситет орбиты мен€етс€ в пределах от 0,053 до 0,089 (см. рис. 5 и 6) (эксцентриситет лунной орбиты измен€етс€ от 0,044 до 0,066 при среднем значении 0,055 [1; 97]). Ќо все же из рис. 6 видно, что эксцентриситет орбиты увеличиваетс€ от цикла к циклу, продолжительность которого составл€ет около 48 периодов обращени€. “. о., в долгосрочном плане орбита пробного тела, расположенна€ в плоскости эклиптики, неустойчива; а устойчивость орбиты Ћуны обеспечиваетс€, веро€тно, ее наклоном к плоскости эклиптики и вращением линии узлов.
–ис. 5. «ависимость величины максимального, минимального и среднего (дл€ текущего оборота) длины радиус-вектора тела от времени (в единицах периода обращени€).
ил
≈ ≤! Ќ
--------------1-----1---1----1----1----1----1----1
< 11   я Ђ » 7й 1й II Ќ÷
врем€, й пнтс-р пап а к периода обращени€
–ис. 6. «ависимость эксцентриситета орбиты тела от времени обращени€ (в единицах периода обращени€)
ќрбита тела сохран€ет определенную устойчивость и при начальном радиусе, вдвое превосход€щем радиус лунной орбиты. Ќо при начальном радиусе орбиты, превосход€щем лунный в четыре раза, она полностью тер€ет устойчивость, хот€ начальный радиус почти вдвое меньше критического значени€, при котором градиент напр€женности гравитационного пол€ становитс€ равным нулю (рис. 4). ѕри этом угол поворота за врем€, равное периоду обращени€ дл€ круговой орбиты, составл€ет всего 208∞, длина радиус-вектора увеличиваетс€ в 1,639 раза, а линейна€ скорость уменьшаетс€ в 1,610 раза. Ќаконец, если мы увеличим начальный радиус всего на 1%, до 1,165*109 м, за период времени, равный периоду обращени€ по круговой орбите, тело приблизитс€ к критической точке. ¬сего через час после этого оно перейдет с околоземной орбиты на орбиту околосолнечную (табл. 2).
“аблица 2
ќрбитальные параметры тела на околоземной и околосолнечной орбите (начальный радиус околоземной орбиты 1,165*109 м)
Ќаименование параметра ќколоземна€ орбита ќколосолнечна€ орбита
ћомент времени, час. 3475 3476
”гол поворота тела, град. 199,0 143,3
”гол поворота «емли, град. - 143,9
–ассто€ние до «емли, м 2,1704*109 2,1719*109
–ассто€ние до —олнца, м 1,503710*1011 1,503697*10"
Ћинейна€ скорость, м/с 314,1 29208
–адиальна€ скорость, м/с -76,1 343
”скорение силы т€жести, м/с2 3,620*10-5 2,513*10-3
÷ентробежное ускорение, м/с2 4,547*10-5 5,673*10-3
–адиальное ускорение, м/с2 -9,227*10-6 -3,160*10-3
≈сли мы попытаемс€ Ђзапуститьї тело вокруг «емли по круговой орбите при начальном значении радиуса, превосход€щем критическое, то тело сразу перейдет на околосолнечную орбиту. ¬ дальнейшем оно может быть на некоторое врем€ Ђзахваченої «емлей. Ќо спутником «емли стать не сможет.
—ѕ»—ќ  Ћ»“≈–ј“”–џ
1.  лимишин ». ј. јстрономи€ наших дней. ћ.: Ќаука, 1986. 560 с.
2. ’олшевников  . ¬. Ћуна Ч спутник или планета? »нтернет-сайт Astronet, 2003, 10 марта. ÷^: http://www. astronet. lХu/db/msg/ѕ71221
3.  уликов  . ј., —идоренков Ќ. —. ѕланета «емл€. ћ.: Ќаука, 1972. —. 5-18.
4. Ќиколай ќстровский об обращении «емли и Ћуны вокруг общего центра инерции. »нтернет-журнал Membrana, 2002. 19 декабр€. URL: http://www. membrana. ru/articles/ readers/2002/12/19/182600. html
5. ¬авилов —. ». »саак Ќьютон. ћ.: Ќаука, 1989. 271 с.
6. јнтонов ¬. ј., “имошенкова ≈. »., ’олшевников  . ¬. ¬ведение в теорию ньютоновского потенциала. ћ.: Ќаука, √–‘ћЋ. 1988. 272 с.
7. ќстровский Ќ. ¬. –ешение задачи трех тел на примере системы —олнце-«емл€- Ћуна // —б. мат. ¬серос. науч.-практич. конф. ЂЌаука-производство-технологии-экологи€ї.  иров: ¬€тский гос. ун-т, 2003. “. 4. —. 74-75.
8. ќстровский Ќ. ¬. ћодель орбитального движени€ небесных тел. //≈стественные и технические науки. 2003. є 2. —. 22-25.
9. ‘изический энциклопедический словарь. ћ.: —оветска€ энциклопеди€, 1983. 928 с.
Ѕронислав ѕетрович –”ƒј ќ¬ Ч доцент кафедры высшей математики “юменского государственного архитектурно-строительного университета, к. физ.-мат. н.
”ƒ  517.518.32, 517.518.43, 519.674, 519.675
ќ ѕ–»¬≈ƒ≈Ќ»» ”–ј¬Ќ≈Ќ»… — „≈“џ–№ћя ѕ≈–≈ћ≈ЌЌџћ»   Ќ≈ ќ“ќ–џћ  јЌќЌ»„≈— »ћ ‘ќ–ћјћ, ƒќѕ”— јёў»’ ѕ–≈ƒ—“ј¬Ћ≈Ќ»≈ —ќ—“ј¬Ќџћ» Ў јЋ№Ќџћ» Ќќћќ√–јћћјћ» ѕ≈–¬ќ√ќ ∆јЌ–ј
јЌЌќ“ј÷»я. Ќайдены услови€ приведени€ уравнений с четырьм€ переменными к некоторым каноническим уравнени€м, указаны эффективные методы отыскани€ их элементов, исследован вопрос о единственности, полноте и несовместности рассмотренных канонических уравнений.
The conditions for the reduction of the equations with the four variables to some canonical equations are found, the effective methods of search of their elements are specified, the question on uniqueness, completeness and incompatibility of the considered canonical equations is investigated.
–ассматриваетс€ уравнение
*4 = f * 2, *3 ) (1)
в предположении достаточной гладкости функции f, причем частные производные (i = 1 Ч 3) отличны от нул€ в некотором параллелепипеде G:
а <*i <Pi (i=i-3).
¬опросу приведени€ уравнений с четырьм€ переменными к некоторым каноническим формам посв€щены работы многих авторов ( [1-7] и др. ).
¬ данной работе найдем услови€ и укажем методы приведени€ уравнений (1) к следующим каноническим формам:

пїњ