пїњ

—»Ќ“≈« Ќ≈Ћ»Ќ≈…Ќќ√ќ –≈√”Ћя“ќ–ј ƒ»— –≈“Ќџ’ —»—“≈ћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я ЁЋ≈ “–ќћ≈’јЌ»„≈— »ћ» ќЅЏ≈ “јћ»

”ƒ  681.5.01:658.512 ¬.√. Ѕукреев
—интез нелинейного регул€тора дискретных систем управлени€ электромеханическими объектами
ѕредложен алгоритм синтеза нелинейного регул€тора дискретной электромеханической системы с широтно-импульсной модул€цией управл€ющего сигнала на основе второго метода Ћ€пунова. ќпределены законы нелинейного управлени€, обеспечивающие асимптотическую устойчивость регулируемых процессов в электромеханическом объекте с источником энергии ограниченной мощности. ѕоказана эффективность нелинейного регул€тора, минимизирующего энергозатраты в дискретной системе управлени€ электромеханическим объектом с параметрическими возмущени€ми.
 лючевые слова: нелинейный регул€тор, электромеханический объект, широтно-импульсный модул€тор.
ѕрограммное движение исполнительных электромеханических объектов (Ёћќ) многих промышленных механизмов сопровождаетс€ значительными возмущени€ми различного типа, как, например, изменени€ми питающего напр€жени€ силового преобразовател€, статического и динамического моментов нагрузки, нестабильностью параметров двигателей и устройств обратных св€зей системы управлени€. ¬ тех случа€х, когда возмущени€ принимают значени€ на интервале с известными границами, нелинейные регул€торы дают приемлемое решение задач слежени€ и стабилизации в системах управлени€ сложными электромеханическими объектами. ѕри этом такие важные свойства, как плавность движени€ Ёћќ в окрестности заданного позиционировани€ и асимптотическа€ устойчивость регулируемых процессов, можно обеспечить законами управлени€ на основе второго метода Ћ€пунова [1].  ак правило, дл€ анализа устойчивости систем и объектов, динамическое движение которых представл€етс€ линейными или линеаризованными модел€ми в пространстве состо€ний, используетс€ положительно-определенна€ функци€ Ћ€пунова квадратичной формы.
ѕостановка задачи
–ассмотрим задачу синтеза регул€тора дискретной системы управлени€ Ёћќ с широтноимпульсной модул€цией (Ў»ћ) управл€ющего сигнала с учетом параметров источника энергии (энергетические возможности источника питани€ соизмеримы с мощностью, потребл€емой объектом).
»спользу€ в качестве управл€ющего воздействи€ электромеханическим объектом относительную длительность у(и(у“)) выходного напр€жени€ силового импульсного преобразовател€, модель объекта в пространстве состо€ний на интервалах дискретности Ў»ћ можно записать следующими уравнени€ми [2]:
где х^)е »п - вектор состо€ни€ непрерывной части Ёћќ; ј1, ј2 - матрицы параметров силового преобразовател€, исполнительного электродвигател€ и механической системы; и(х, t) - импульсное напр€жение с выхода силового преобразовател€; №1, №2 и тн 1, тн2 - п -мерные векторы (компоненты векторов тн1, тн2 включают аддитивные внешние возмущени€); и(у“) - входной сигнал широтно-импульсного модул€тора в момент времени t = ]“ ; у = 0,1,2,.; ^ - врем€ началь-
ного состо€ни€; “ - период дискретности Ў»ћ. ¬ общем случае уравнени€ широтно-импульсного модул€тора при фиксированном значении периода “ дискретности можно записать в следующем виде (далее дл€ сокращени€ записи уравнений аргумент и(]'“) при символе у не указываетс€):
х(0 = ј≥х(0 + ьхи(х,0 + тя1 при ? Ї (?о + /“, і0 + /“ + у(и(/“)), х(?) = ј2х(?)+№2^(х,?)+т€2 при ?Ї(?о + /“ + у(и(/“),?о + (/ +1)“),
(1)
(2)
U (x, t ) =
Ui(t )sign(u (jT )) при t Ї (to + jT, to + jT + Y(u(jT )),
(3)
U2(t) при t Ї (to + jT + y(u (jT), to + (j +1)T)
где к (t ) - коэффициент передачи Ў»ћ, функциональна€ зависимость которого от времени может варьироватьс€ от посто€нного значени€ до, например, синусоидальной формы; Ui (t), U2 (t) - выходные напр€жени€ силового преобразовател€ в соответствующие моменты времени, измен€ющиес€ по законам модул€ции преобразовател€. “аким образом, к (t ) определ€ет закон изменени€ среднего значени€ напр€жени€ исполнительного двигател€ на интервале y , а функции Ui (t) и U2 (t) -мгновенные значени€ выходного напр€жени€ силового преобразовател€, соответственно на интервалах y и (T -y). ƒл€ распространенного случа€, при котором Ui(t ) = U 0, U 2(t ) = 0, bi = b 2 = b , mh 1 = mh2 = mн , фиксированном значении y и посто€нных значени€х компонент вектора mн в течение периода T дискретизации, билинейна€ модель электромеханического объекта на интервале (to + jT, to + jT + y) записываетс€ в виде
xt+1 = Fxt +(г xt + G* )Ut + g2, (4)
где F=exp(2T) ; r=exp(2T)[Ai - A2] ; G* = exp(A2T)bUUot + A2T (boUo + mH ) ; G2 = T (boUo + mH ); Uot - управл€ющее воздействие, поступающее непосредственно на исполнительный электродвигатель (при использовании фильтра источника питани€ на входе Ў»ћ напр€жение Uot равно напр€жению Uct на конденсаторе фильтра); bU, bo - векторы соответствующей размерности, €вл€ющиес€ компонентами вектора b .
—интез нелинейного регул€тора
ƒл€ синтеза нелинейного регул€тора, обеспечивающего нелинейную обратную св€зь по состо€нию, выберем функцию Ћ€пунова квадратичной формы следующего вида:
V(xf ) = xT Pxf, (5)
где P - положительно-определенна€ n -мерна€ матрица; (*)T - символ транспонировани€.
”правление Ut электромеханическим объектом будем находить из услови€ минимума первой разности функции V(xf ) :
AV (xt ) = V(xt +i) - V(xt ), (6)
вычисленной на решении системы (4), которую дл€ сокращени€ дальнейших выкладок представим в виде
xt +i = Ft + √tUt
где
Ft = F xt + ^,
Д1
Ft = Fxt + Gi.
—огласно (6) запишем
AV (xt ) = Uffi P Ft + Ut FTt PFt + Ut FT PFt + FtT PFt - xTt Pxt. ћинимизиру€ выражение (9) по управл€ющему Ut воздействию, получим
Ut =-F PF
(√√ P Ft )-1.
ѕодставл€€ (io) в (9), запишем
AV(xt ) =
( P Ft ) PFt )-(( PFt )2 [( P Ft )-1
- x Pxt.
(7)
(8) (9)
(10)
(11)
“аким образом, управление Ut (io) с учетом (8) определ€етс€ следующим выражением:
1/ *\T 1| [/ *\T / * \T 1 *
Ut =-|( +G*) (Fxt +G*) P(t +G*) rPFxt-j(Fxt +Gi) (Fxt +G i) P(t +Gi)
-1]
 ^2. (12)
ќбознача€
 (х,) = -|(( + ќ*)“ (х, + ќ*)“ – (х, + ќ*)  (х,) = Ч|(х, +ќ*)“ (х, +ќ*)“ – (х, +ќ*)
(13)
1о2, (14)
выражение (12) запишем в виде
и, =-(к (xt )xt +   (х,)). (15)
јнализиру€ выражени€ (13) и (14), заключаем, что дл€ реализации управлени€ (15) величина ( +0*) р( +—*| должна быть положительно определена во всем пространстве состо€ни€ Ёћќ.
ѕо условию (5) det – ф 0, тогда (гх, + ќ*) будет положительно определена в любой точке про-
странства х, за исключением гиперплоскости, определеннои уравнением
(√х, + ќ*) = 0. (16)
ѕостроенный закон управлени€ обеспечивает наиболее быстрое убывание функции Ћ€пунова (5), определенной на решени€х билинейной модели (4) электромеханического объекта.
»з множества законов управлени€ (15), обеспечивающих отрицательность значений ƒ”(х,) функции Ћ€пунова, выделим закон управлени€, оптимальный по принуждению. “о есть такой закон, который обеспечивает выполнение услови€ ƒ”(х,) < 0 с наименьшим значением и, в каждый дискретный момент времени. ƒл€ определени€ такого закона запишем функцию Ћагранжа
Ќ(и, X) = и} + ј,[-ƒ”(х,)+ѕ(х,,0] , (17)
где X - неопределенный множитель Ћагранжа; ѕ(х,,,) - права€ часть уравнени€ (9). Ќеобходимое условие оптимальности выражени€ (17)
д2(ид)=0 (18)
и
позвол€ет получить уравнение
и, +х(г√ – √,и, +г[ ––, ) = 0. (19)
ѕосле преобразовани€ уравнени€ (19) запишем управление и,;
и, =-’(1 + ’√“ – г ' 1
(1 + ’г√–√, ^ √[–,. (20)
Ќеопределенный множитель Ћагранжа X должен быть выбран из услови€ обеспечени€ отрицательной определенности ƒ” (х,). ѕодставл€€ полученное уравнение (20) в выражение (11), получим
ƒ”(х,) = |(––,)2 (1 + ’г[–√,)-2^’(-’√[–√, -2)+–,“––, -х[–х,. (21)
»з последнего уравнени€ следует, что ƒ”(х,) знакоопределена при любых значени€х ’> 0. ѕоэтому выражение (21), определ€ющее закон управлени€ по принуждению, можно преобразовать, если приращение ƒ”(х,) функции Ћ€пунова прин€ть равным
ƒ”(х,) = и}√“г ––, + 2и,√ ––, + –√“––, -х[–х, + ÷2. (22)
X
“аким образом, смысл множител€ X - это величина, обратна€ штрафному коэффициенту, учитывающему Ђвкладї управл€ющего сигнала в приращение функции Ћ€пунова. ѕри значени€х X^ да получаем управление, оптимальное по отношению к функции Ћ€пунова.
ƒл€ определени€ компонент матрицы – в уравнени€х (12) и (20) можно использовать матричные уравнени€ Ћ€пунова или систему алгебраических уравнений [1]:
–“–– - – = -0 , (23)
где - диагональна€ матрица соответствующей размерности, элементы которой выбираютс€ на этапе формировани€ критери€ качества регулировани€.
 ритерий качества
ƒл€ решени€ задачи конструировани€ параметров регул€торов в пространстве состо€ний требовани€ к качественным показател€м часто формулируютс€ в виде функционала от переменных состо€ни€, управл€ющего воздействи€ и времени. –аспространенной формой записи такого функционала €вл€етс€ квадратична€ форма, представленна€ дл€ дискретных систем с одномерным управлением различными объектами в виде
N “ 2
I (х, ,и,) = (х“ 0х, + и2 я), (24)
,=0
где значени€ компонент матрицы 0 и скал€рной величины я характеризуют вклад соответствующих переменных х, состо€ни€ и управлени€ и,. ќптимизаци€ данного функционала качества, с

учетом 0 0 > 0 и я > 0, позвол€ет построить стабилизирующее управление в замкнутой системе регулировани€ на рассматриваемом интервале N времени.
»ллюстративный пример
»сследование регул€торов с управлением вида (15) и (20) осуществл€лось на примере такого распространенного электромеханического объекта, как электропривод посто€нного тока, модель которого имеет следующий вид [2]:
- на интервале времени , е (,0 + ]“, ,0 + ]“ + у (и (]“)):
ф4(7) = и0 )-ис 0 ),
”(,) = ис (,) - яд/(,) - —д ш(,), (25)
— фи с (,) = 1 (,) - (,), №д /(,) = ис (,) - яд/(,) - —д (/) ш(,),
- на интервале времени , е(,0 + ]“ + у(и0'“), ,0 + (/+1)“):
№о 1 () = и0 - яо 1(t) - ис (t),
—ф—/с (,) = 1(,), (26)
№д /(,) = -яд/(,) - —д (/> (,) , где и0, ис (,) - соответственно напр€жение источника питани€ и конденсатора √-образного фильтра силового преобразовател€; №ф,яф ,—ф - индуктивность, сопротивление и емкость конденсатора √-образного фильтра силового преобразовател€; №д (/), яд , —д ()- индуктивность, сопротивление цепи и конструктивна€ посто€нна€ исполнительного двигател€; ц(,) - входной ток √-образного фильтра силового преобразовател€; 1(1), ш(,) - ток и скорость вращени€ исполнительного двигател€.
–ассматрива€, например, управление V, вида (20) в функции двух переменных и ш,, дл€ номинальных значений параметров исполнительного двигател€ и √-образного фильтра силового преобразовател€ можно записать:
X(138/t - 0,775ш,) и, = Ч--------ЧX----- , (27)
1+ј
кп
где  п - коэффициент пропорциональности, значение которого определ€етс€ компонентами матрицы – , параметрами исполнительного двигател€ и √-образного фильтра силового преобразовател€.
¬арьиру€ значение множител€ X, можно компенсировать вли€ние таких возмущений, как изменение момента инерции механической нагрузки исполнительного двигател€ на качественные показатели электропривода с соблюдением условий устойчивости.
–езультаты моделировани€ (рис. 1) электропривода посто€нного тока с широтно-импульсным преобразователем и √-образным силовым фильтром питающего напр€жени€ при организации управлени€ и, вида (20) отражают асимптотический характер динамических процессов переменных состо€ни€.
 ак показали исследовани€, синтезированное управление вида (14) и (20) позвол€ет обеспечить асимптотическую устойчивость при стабилизации с заданной точностью выходных переменных тока ц и скорости ш, исполнительного двигател€ при значительном изменении параметров механической нагрузки исполнительного двигател€.
–ис. 1. ѕереходные процессы в электроприводе посто€нного тока с регул€тором вида (20) дл€ минимального значени€ динамического момента инерции механической нагрузки
«аключение. Ќа основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. Ќелинейность законов регулировани€ в системах управлени€ электромеханическими объектами с источниками энергии ограниченной мощности определ€етс€ билинейной моделью Ёћќ, котора€ учитывает параметры силового фильтра источника питани€.
2. »спользование функций Ћ€пунова дл€ синтеза регул€торов позвол€ет получить в аналитическом виде законы нелинейного управлени€ дл€ систем с отрицательной обратной св€зью по состо€нию и дальнейшее улучшение качественных характеристик процессов регулировани€ возможно на основе наблюдателей неизмер€емых переменных состо€ни€ Ёћќ.
3. –езультаты имитационного моделировани€ показали высокую эффективность предложенных нелинейных законов управлени€ при изменени€х в определенных пределах параметрических возмущений в электромеханическом объекте.
Ћитература
1. Ѕарбашин ≈.ј. ‘ункции Ћ€пунова. - ћ.: Ќаука, 1970. - 240 с.
2. Ѕукреев ¬.√. јдаптивные регул€торы в дискретных системах управлени€ сложными электромеханическими объектами / ¬.√. Ѕукреев, ё.». ѕараев. - “омск: »зд-во. “ом. гос. ун-та, 2000. -
278 с.
Ѕукреев ¬иктор √ригорьевич
ƒ-р техн. наук, профессор каф. электропривода и электрооборудовани€ “ѕ” “ел.: 8 (382-2) 56-40-45 Ёл. почта: bukreev@tpu.ru
Bukreev V.G.
Nonlinear controller synthesis of discrete control systems by electromechanical objects
In the article we offer a synthesis algorithm for nonlinear controller of discrete electromechanical system with pulse-width modulation of control signal based on Lyapunov's second method. There are determined nonlinear control laws which ensure the asymptotic stability of controlled processes in an electromechanical object with a limited power energy source. The efficiency of a nonlinear controller is shown so it minimizes power consumption in digital control system of an electromechanical object with parametric perturbations.
Keywords: nonlinear controller, electromechanical object, pulse-width modulator.
0,0000 0,0165 0,0330 0,0495 0,0660

пїњ