пїњ

—»Ќ“≈« ћЌќ√ќ ќЌ“”–Ќќ… —’≈ћџ «јћ≈ў≈Ќ»я ЁЋј—“ќћ≈–ќ¬

“атевос€н ј.ј. Tatevosyan A.A.
кандидат технических наук, доцент кафедры ЂЁлектрическа€ техникаї ќмского государственного технического университета, –осси€, г. ќмск
”ƒ  621.313.17
—»Ќ“≈« ћЌќ√ќ ќЌ“”–Ќќ… —’≈ћџ «јћ≈ў≈Ќ»я ЁЋј—“ќћ≈–ќв
¬ статье рассмотрен подход к построению математической модели напр€женно-деформированного состо€ни€ опытного образца эластомера на основе схемы замещени€, а также указан метод расчета параметров схемы замещени€ на основе экспериментального исследовани€ процесса Ђсжатие - релаксаци€ї. –езультаты экспериментальных исследований процесса релаксации напр€жени€ при фиксированных значени€х деформаций, проведенные на испытательном стенде с различными образцами эластомеров, подтверждают возможность разложени€ механического напр€жени€ на сумму экспонент, причем число экспонент дл€ практически важных случаев не превышает шести. ѕо найденным спектрам разложени€ и разработанному алгоритму определ€ютс€ параметры многоконтурных схем замещени€ опытных образцов эластомеров.
 лючевые слова: многоконтурна€ схема замещени€, напр€женно-деформируемое состо€ние, реологические характеристики, эластомеры, расчет параметров схемы замещени€.
SYNTHES oF MuLTIPLE CIRCuIT REPLACEMENT SCHEME oF ELASTOMERS
This article describes an approach to the construction of a mathematical model of the stress-strain state of a prototype-based elastomer equivalent circuit, and the statement of the method of calculation of equivalent circuit parameters on the basis of an experimental study of the "contraction-relaxation". The results of experimental studies of the process of stress relaxation at fixed strain, carried out on a test bench with different samples of elastomers confirm the possibility of expanding the amount of stress exponent, and the number of exponents to the practically important cases does not exceed six. For the resulting spectra decomposition and developed algorithm determines the parameters of multiple-substitution schemes prototypes elastomers.
Key words: multiple circuit replacement scheme, the stress-strain state, rheology, elastomers, the calculation of equivalent circuit parameters.
Ёластомеры наход€т широкое применение в составе амортизирующих установок, производстве шин дл€ транспортных средств, изготовлении различных прокладок и манжет, поэтому проектирование и расчет сложных технологических установок, включающих в свой состав издели€ из эластомеров, а также технологические элементы конкретного назначени€, использующие в€зкоупругие свойства, св€зан с использованием математических моделей, в состав которых ввод€тс€ уравнени€, описывающие состо€ние эластомеров в различных режимах работы. Ќелинейные реологические свойства эластомеров, их неравномерна€ зависимость от температуры нагрева и окружающей среды, особенно про€вл€юща€с€ при динамических внешних воздействи€х
типа Ђсжатие - раст€жениеї, обуславливают необходимость применени€ сложного математического аппарата дл€ расчета временных зависимостей и интегральных характеристик.
ѕроведенные в работах [1-6] исследовани€ механических свойств эластомеров показывают, что эластомеры характеризуютс€ двум€ основными релаксационными механизмами:
Х а - процессы, ответственные за быструю стадию релаксации, наблюдаемые в области стекловани€ и св€занные с главным временем релаксации та = 10 3-10-5 с при 20 о—;
Х X - процессы, ответственные за медленную стадию релаксации, св€занные с главными различными временами релаксации, существенно от-
личающимис€ по величине друг от друга, принимающими значени€ от дес€тых долей секунды до нескольких часов.
–ис. 1. ћодель ћаксвелла в€зкоупругого тела
ƒл€ исследовани€ св€зи основных релаксационных механизмов с процессами в€зкоупругости в эластомерах проведем синтез многоконтурной схемы замещени€ опытного образца эластомера. ѕри построении схемы замещени€ воспользуемс€ моделью ћаксвелла дл€ изучени€ свойств в€зкоупругого тела. ћодель состоит из соединенных последовательно двух элементов, один из которых обладает упругим сопротивлением, а другой - в€зким (рис. 1). ¬ качестве упругого элемента используетс€ пружина, в качестве в€зкого - цилиндр, заполненный в€зкой жидкостью, внутри которого с некоторым зазором может двигатьс€ поршень. ѕри движении поршн€ относительно цилиндра возникает в€зкое сопротивление, обусловленное перетеканием жидкости через зазор из одной полости в другую. ¬ модели ћаксвелла упругий и в€зкий элементы наход€тс€ под одним и тем же усилием, при этом полна€ деформаци€ е в€зкоупругого тела складываетс€ из упругой е и в€зкой е деформации: е = е +уе. в (1)
у в 47
ќтносительные деформации еу и ев в соотношении (1) наход€тс€ как отношени€ удлинени€ пружины и смещени€ поршн€ к одной и той же длине ребра множества малых плотно прилегающих друг к другу единичных кубиков, составл€ющих в€з-коупругого тела.
”пруга€ деформаци€ еу св€зана с напр€жением законом √ука
о
(2)
а
8” = ®'
где X - коэффициент, учитывающий в€зкое течение эластомеров при раст€жении - сжатии.
ѕродифференцируем по времени обе части уравнений (1) и (2), тогда с учетом выражени€ (3) получим уравнение:
Ч = Ч Ч +Ч . (4)
dt ≈ dt к ”равнение (4), называемое уравнением механических состо€ний материала ћаксвелла, дл€ случа€ линейной в€зкоупругости отражает качественную картину физического процесса при раст€жении -сжатии. Ётого вполне достаточно, чтобы воспользоватьс€ формальной аналогией в записи уравнений механических состо€ний в€зкоупругого тела и электрического состо€ни€ цепи.
ѕусть в€зкоупругое тело нагружено любым способом до напр€жени€ о0 и в дальнейшем деформаци€ тела поддерживаетс€ посто€нной, то есть 8 = const. ¬ подобных услови€х (рис. 2) находитс€ опытный образец эластомера (1), зажатый с двух торцевых поверхностей стальными плитами (2, 3) при наличии ограничител€ хода (4) одной из плит, при этом друга€ плита €вл€етс€ неподвижной. Ќайдем закон изменени€ во времени напр€жений в опытном образце эластомера.
–ис. 2. —хема нагружени€ опытного образца эластомера
где ≈ - модуль упругости (модуль ёнга).
«ависимость между напр€жением и скоростью в€зкой деформации представим в виде соотношени€ [6] с1вв _ ст
" к, (3)
–ис. 3. —хема замещени€ в€зкоупругого тела
— учетом услови€ 8 = const уравнение (4) принимает вид:
+ f = (5)
≈ dt ј,
ƒл€ записи решени€ в окончательном виде подставим в уравнение (5) начальное условие (в момент времени t = 0 напр€жение о = о0), тогда получим
a = a0exp(--t) .
(6)
≈сли сопоставить уравнение (5) после операции его интегрировани€
| + -/ст<… = 0 (7)
с уравнением зар€да конденсаторной батареи от источника посто€нного напр€жени€
1 г
11 = о (8)
и его решение ^
1 = 10ехр(-^)> (9)
то легко можно обнаружить формальную аналогию в записи уравнений (7) и (8) и их решений (6) и (9). ћетод формальной аналогии широко используетс€ при моделировании сложных систем [11]. —ледовательно, в электрической схеме замещени€ опытного образца эластомера (рис. 3) аналогами тока I, напр€жени€ и, сопротивлени€ R и емкости — соответственно будут напр€жение а, деформаци€ е, инверсный модуль упругости ≈-1, коэффициент в€зкого течени€ X. ѕостроенна€ таким образом схема замещени€ опытного образца эластомера €вл€етс€ упрощенной. Ќесмотр€ на это, выполненные на ее основе расчеты показывают процесс уменьшени€ напр€жени€ а в опытном образце эластомера при посто€нной деформации е и позвол€ют оценить врем€ релаксации
, (|0)
динамический модуль упругости при синусоидально измен€ющихс€ во времени деформаци€х

1

1
(11)
(13)
коупругого тела, в которой напр€жение в процессе релаксации при поддержании заданной деформации раскладываетс€ в экспоненциальный р€д:
к=1
где а Ћк соответственно амплитуда и показатель степени k-й экспоненты механического напр€жени€.
–азложение зависимости на сумму экспонент позвол€ет записать операторное сопротивление схемы замещени€ в€зкоупругого тела, аналогичное операторному сопротивлению схемы замещени€ электрической цепи. ѕо операторному сопротивлению можно синтезировать схему замещени€.
–езультаты экспериментальных исследований показывают, что дл€ описани€ а- и Ћ-процессов достаточным €вл€етс€ формирование шестиконтур-ной схемы замещени€ опытного образца эластомера (рис. 4). »спользу€ формальную аналогию в замене параметров электрической цепи сопротивлений R0, Rp ..., R5 на инверсные модули упругости E0-1 , E1-1, ..., E5-1 и емкостей C0, C1, ..., C5 на коэффициенты в€зкого течени€ X X ..., X5 соответственно можно найти и определить параметры многоконтурной схемы замещени€ напр€женно деформированного состо€ни€ в€зкоупругого тела при заданной деформации е = const.
ѕроцесс релаксации напр€жени€ представим в виде:
а(0 = 8≈(0 = 8’≈ке-Ћ^ (14)
к=1
*т |_ V ≈ (аЋ)2
и тангенс угла механических потерь
189 = 4 (12)
юл
где ю - углова€ частота; ф - угол сдвига фаз между напр€жением а(ф) и деформацией е(ф); ат, ет - соответственно амплитуды напр€жени€ и деформации в в€зкоупругом теле.
‘ормальна€ аналоги€ в записи уравнений механического состо€ни€ в€зкоупругого тела и электрического состо€ни€ цепи дает возможность построить многоконтурную схему замещени€ в€з-
где ≈(ф) - релаксационный динамический модуль
1 ,
упругости; тк =- - посто€нна€ времени к-го
Ћк
релаксационного механизма; ≈к - коэффициент с размерностью модул€ упругости, указывающий на относительный вклад к-го релаксационного механизма в процессе релаксации.
“аким образом, в процессе релаксации напр€жени€ при фиксированных значени€х деформации участвуют шесть экспонент, имеющих различные посто€нные времени т|, т2, ..., т6.
–ис. 4. ћногоконтурна€ схема замещени€ цепи в операторной форме
ѕосто€нные времени многоконтурной схемы многоконтурной схемы замещени€ Rk и —к. ƒл€ их замещени€ (рис. 4) определ€ютс€ из решени€ систе- расчета вначале используетс€ решение системы лимы нелинейных алгебраических уравнений (15). нейных алгебраических уравнений относительно
–ешение системы уравнений (15) производит- емкостей схемы —к(16). с€ методом последовательных приближений. ѕо —опротивлени€ участков схемы наход€тс€ при
вычисленным значени€м посто€нных времени тк этом из соотношений Rk = тк /—к. = RкCк, где к = 1, 2,...,5 определ€ютс€ параметры
' 6 т Д. т Д. т „ + + 183 ^-3 + + ƒ-5 + к=1
1^2 13X4X5=---
In ’п ’л я,Ђ X,
6 1
’1+“2+'—«+'„+“5 = ≈ Ч
к=1 к
6 (
ќ Ћ1 л2 л3 ћ
f т ^ 1 lsk
h
5 л6
10 ’2 ^3 ^4
v

\
11111 Ч + Ч + Ч + Ч + Ч =
„ х2 х3 т4 х5
1
3 4 5
Z ZTn=- 6
i=l j=i+l n=j+l loU4
Z lsk ^k Х Z kj
k=l I J=1 , 6
Z lsk ^k
k=l
f ,
при j = k, Xj=0
(15)
Z lsk ^k k=l
\\
Z Z ^m
U=1 m=j+1
при j = k, X j - 0; при m = k, A,m - 0
J J
k=l
Zxi Z = i=l j=i+l 1
1 (6
0
5 1 6 1 Z !sk Z Z 7Ч
к = 1 j = 1 Aj m = j +1 Am
Х u 1
при j = к, Ч не существует
, 1
при m = к, Ч не существует
Х а^ + —4 Х а^ + —5 Х а^ Ч №р ^ —0 Х а2) + —! Х ар} + —2 Х а<2) + —3 Х а<2) + —4 Х а<2) + —5 Х а<2) = №^2) —0 Х а[,3) + —! Х а–} + —2 Х а<3) + —3 Х а<3) + —4 Х а^3) + —5 Х а^3) = Џ<3) —0 Х а[,4) + —г Х а[4) + —2 Х а<4) + —3 Х а<4) + —4 Х а<4) + —5 Х а<4) = №^4)
с0 + с1 + с2+сз+с4 + с5=ъ(5).
ƒл€ построени€ многоконтурных схем замеще- держани€ заданной деформации;
(16)
установку температуры испытании опытного
ни€ опытных образцов эластомеров воспользуемс€ экспериментальными исследовани€ми процесса ре- образца эластомера, использу€ термокамеру;
лаксации напр€жени€ при заданной деформации,
- измерение силы реакции опытного образца
проведенными на испытательном стенде, который эластомера при сжатии с помощью преобразовате-
обеспечивает:
л€ силы ѕ—-20 , имеющего номинальную нагрузку
- создание статического прижимного усили€ на 20 кг при напр€жении питани€ 5 ¬;
усиление электрического сигнала с выхода
опытный образец эластомера;
- фиксацию хода €кор€ с помощью ограничите- преобразовател€ силы ѕ—-20  и его регистрацию л€ хода в виде регулируемой высоты стопа дл€ под- на экране монитора ѕ .
ƒл€ осциллографировани€ выходного сигнала использовалась осциллографирующа€ приставка (PCS 500 цифровой осциллограф, производитель Vellemanlnstruments, погрешность 2,5%, чувствительность 5 м¬). ≈е программное обеспечение позвол€ет регистрировать врем€ и амплитуду сигнала со следующими погрешност€ми, что делает возможным выделение в эксперименте быстрой и медленной стадии процесса релаксации.
ƒл€ исследовани€ процесса релаксации меха-
нического напр€жени€ при заданной деформации на испытательном стенде были отобраны опытные образцы эластомеров с различным наполнителем технического углерода ѕ-550 и ѕ-234, резко отличающиес€ друг от друга своими в€зкоупругими свойствами.
Ќа рис. 5 и 6 приведены экспериментальные временные зависимости выходного сигнала, характеризующие процесс релаксации механического напр€жени€ в опытных образцах эластомеров.
5)
–ис. 5. Ёкспериментальные зависимости выходного сигнала в процессе релаксации механического напр€жени€ в опытном образце эластомера с наполнителем технического углерода ѕ-550: а) - с использованием ј÷ѕ в секундной области;
б), в) - с использованием милливольтметра в часовой области экспериментальна€ характеристика;
характеристика, полученна€ после разложени€ экспериментальной характеристики на экспоненты
–ис. 6. Ёкспериментальные зависимости выходного сигнала в процессе релаксации механического напр€жени€ в опытном образце эластомера с наполнителем технического углерода ѕ-234: а) - с использованием ј÷ѕ в секундной области;
б), в) - с использованием милливольтметра в часовой области экспериментальна€ характеристика;
характеристика, полученна€ после разложени€ экспериментальной характеристики на экспоненты
«начени€ выходного сигнала пропорциональны силе реакции опытного образца эластомера на сжатие FЁ = Џи и соответственно пропорциональны
ЁЋ д
механическому напр€жению а = FЁЋ где S - площадь поперечного сечени€ опытного образца в не нагруженном состо€нии. Ёто позвол€ет определить амплитуду и показатель степени ^й экспоненты механического напр€жени€ в выражении (13), при-
“аблица 1
–езультаты разложени€ механического напр€жени€ в процессе релаксации в опытных образцах эластомеров с различным наполнителем технического углерода ѕ-550 и ѕ-234
веденные в табл. 1.
ƒанные табл. 1 были использованы дл€ синтеза многоконтурной схемы замещени€ опытного образца эластомера в программном обеспечении ЂЁластомерї, разработанном в среде BorlandDelphi 6.0 [7, 8, 9]. –езультаты расчетов по этой программе представлены в табл. 2.

“ехуглерод ѕ-550 “ехуглерод ѕ-234

asi, ѕа X i Gs i, ѕа Xi
as1 = 4.247 -105 X: =2-10-6 as1 = 4.959 -105 Xj =2-10-6
as2 = 3.31 -104 X 2 = 1.6 -10-3 as2 = 3.673 -104 X2 =6-10-4
as3 = 3.427 -104 X 3 = 0.051 as3 = 3.64 -104 X3 = 6.3 -10-3
as4 = 2.929 -104 X 4 = 0.532 as4 = 4.524 -104 X 4 = 0.128
as5 = 1.208 -104 X 5 = 0.812 as5 = 4.863 -104 X5 = 2.373
as6 = 1.886-104 X 6 = 4.084 as6 = 2.313-104 X6 = 26.989
ƒанные табл. 1 были использованы дл€ син- ЂЁластомерї, разработанном в среде BorlandDelphi теза многоконтурной схемы замещени€ опытного 6.0 [7, 8, 9]. –езультаты расчетов по этой программе образца эластомера в программном обеспечении представлены в табл. 2.
“аблица 2
ѕараметры многоконтурной схемы замещени€ опытного образца эластомера с различным наполнителем технического углерода ѕ-550 и ѕ-234
“ехуглерод ѕ-550 “ехуглерод ѕ-234
Ti, 1/c Q, ‘ Ri, ќм Ti, 1/c Ci, ‘ Rj, ќм
3.541 2.154-10-8 1.644 Х 108 0.919 6.312 Хё-9 1.457 -108
433.779 1.581-10-6 2.742 Хё8 120.991 1.135 Хё-6 1.066 -108
15.683 3.27 -10-7 4.796 Хё7 4.872 1.108 Хё-7 4.398 Х 107
ќкончание таблицы 2
“ехуглерод ѕ-550 “ехуглерод ѕ-234
2.464 Х 10 3 6.11 10-6 4.034 Хё8 1.350 Х 103 7.597 Хё-6 ќ“^-ё8
0.744 3.129-10-8 2.379-107 0.158 1.315 -10-9 1.211 -107
2.0199 Х 105 3.741 Х10-3 2.392-107 1.388405 2.472 -10-3 5.616 Х 107
ѕараметры многоконтурной схемы замещени€ опытного образца эластомера с различным наполнителем технического углерода ѕ-550 и ѕ-234, приведенные в табл. 2, служат основой в построении математической модели, учитывающей в€зкоупру-гие линейные свойства эластомеров, вход€щих в состав технологических установок [10].
—писок литературы
1. јдамов ј.ј.   построению нелинейной модели в€зкоупругого поведени€ наполненных резин при конечных деформаци€х [“екст] / ј.ј. јдамов //  аучук и резина. - 1996. - є 5. - с. 27-30.
2. јдамов ј.ј. ћетоды прикладной в€зкоу-пругости [“екст] / ј.ј. јдамов, ¬.ѕ. ћатвеенко, Ќ.ј. “руфанов, ».Ќ. Ўардаков. - ≈катеринбург: ”рќ –јЌ, 2003. - 411 с.
3. Ѕартенев √.ћ. –елаксационные свойства и структура эластомеров [“екст] / √.ћ. Ѕартенев // “руды  раснодар. политехн. ин-та. ћеханика эластомеров. - 1977. - ¬ып. 242. - —. 7-21.
4. √оршков ј.√. “еори€ упругости и пластичности: ”чеб. дл€ вузов [“екст] / ј.√. √оршков, Ё.». —таровойтов, ƒ.¬. “арлаковский. - ћ.: ‘измат-лит, 2002. - 416 с.
5. ћатериаловедение: ”чебник дл€ вузов [“екст] / Ѕ.Ќ. јрзамасов, ¬.». ћакарова, √.√. ћухин и др.; под общ. ред. Ѕ.Ќ. јрзамасова, √.√. ћухина. - 5-е изд., стереотип. - ћ.: »зд-во ћ√“” им. Ќ.Ё. Ѕаумана, 2003. - 648 с.: ил. ISBN 5-7038-1860-5.
6. ѕавлов ѕ.ј. —опротивление материалов: ”чебное пособие [“екст] / ѕ.ј. ѕавлов, Ћ. . ѕар-
шин, Ѕ.≈. ћельников, ¬.ј. Ўерстнев; под ред. Ѕ.≈. ћельникова. - —ѕб.: »здательство ЂЋаньї, 2003.- 528 с.
7.  овалев ё.«. ѕрограммное обеспечение ЂЁластомерї дл€ исследовани€ параметров многоконтурной схемы замещени€ в€зкоупругих свойств материалов на основе процесса релаксации [“екст] /ё.«.  овалев, ј.ј. “атевос€н. - ћ.: ¬Ќ“»÷, 2004. - є 50200401152.
8. “атевос€н ј.ј. —интез многоконтурной схемы замещени€ опытного образца эластомера на основе исследовани€ процесса релаксации [“екст] / ј.ј. “атевос€н // «имн€€ школа по механике сплошных сред (четырнадцата€): “ез. докл. - ≈катеринбург: ”рќ –јЌ, 2005. - —. 6.
9. “атевос€н ј.ј. ћатематическа€ модель дл€ определени€ реологических характеристик эластомеров при циклическом нагружении [“екст] / ј.ј. “а-тевос€н // ќмский научный вестник. - 2006. - ¬ып. 41. - —. 92-96
10. “атевос€н ј.ј. ћатематическое моделирование линейного магнитоэлектрического двигател€ дл€ испытани€ в€зкоупругих свойств эластомеров [“екст] / ј.ј. “атевос€н, Ќ.¬. «ахарова, ≈.¬. ќсини-на // ƒинамика систем, механизмов и машин. ћатериалы VIII ћеждународной научно-технической конференции. “ез. докл. - ќмск, 2012. - —. 187-190.
11.  урбатов ѕ.ј. ћатематическое моделирование электромеханических систем электрических аппаратов [“екст] / ѕ.ј.  урбатов. - ћ.: »здательский дом ћЁ», 2007. - 110 с.

пїњ