СИНТЕЗ МНОГОКОНТУРНОЙ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЭЛАСТОМЕРОВ

Татевосян А.А. Tatevosyan A.A.
кандидат технических наук, доцент кафедры «Электрическая техника» Омского государственного технического университета, Россия, г. Омск
УДК 621.313.17
СИНТЕЗ МНОГОКОНТУРНОЙ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЭЛАСТОМЕРОв
В статье рассмотрен подход к построению математической модели напряженно-деформированного состояния опытного образца эластомера на основе схемы замещения, а также указан метод расчета параметров схемы замещения на основе экспериментального исследования процесса «сжатие - релаксация». Результаты экспериментальных исследований процесса релаксации напряжения при фиксированных значениях деформаций, проведенные на испытательном стенде с различными образцами эластомеров, подтверждают возможность разложения механического напряжения на сумму экспонент, причем число экспонент для практически важных случаев не превышает шести. По найденным спектрам разложения и разработанному алгоритму определяются параметры многоконтурных схем замещения опытных образцов эластомеров.
Ключевые слова: многоконтурная схема замещения, напряженно-деформируемое состояние, реологические характеристики, эластомеры, расчет параметров схемы замещения.
SYNTHES oF MuLTIPLE CIRCuIT REPLACEMENT SCHEME oF ELASTOMERS
This article describes an approach to the construction of a mathematical model of the stress-strain state of a prototype-based elastomer equivalent circuit, and the statement of the method of calculation of equivalent circuit parameters on the basis of an experimental study of the "contraction-relaxation". The results of experimental studies of the process of stress relaxation at fixed strain, carried out on a test bench with different samples of elastomers confirm the possibility of expanding the amount of stress exponent, and the number of exponents to the practically important cases does not exceed six. For the resulting spectra decomposition and developed algorithm determines the parameters of multiple-substitution schemes prototypes elastomers.
Key words: multiple circuit replacement scheme, the stress-strain state, rheology, elastomers, the calculation of equivalent circuit parameters.
Эластомеры находят широкое применение в составе амортизирующих установок, производстве шин для транспортных средств, изготовлении различных прокладок и манжет, поэтому проектирование и расчет сложных технологических установок, включающих в свой состав изделия из эластомеров, а также технологические элементы конкретного назначения, использующие вязкоупругие свойства, связан с использованием математических моделей, в состав которых вводятся уравнения, описывающие состояние эластомеров в различных режимах работы. Нелинейные реологические свойства эластомеров, их неравномерная зависимость от температуры нагрева и окружающей среды, особенно проявляющаяся при динамических внешних воздействиях
типа «сжатие - растяжение», обуславливают необходимость применения сложного математического аппарата для расчета временных зависимостей и интегральных характеристик.
Проведенные в работах [1-6] исследования механических свойств эластомеров показывают, что эластомеры характеризуются двумя основными релаксационными механизмами:
• а - процессы, ответственные за быструю стадию релаксации, наблюдаемые в области стеклования и связанные с главным временем релаксации та = 10 3-10-5 с при 20 оС;
• X - процессы, ответственные за медленную стадию релаксации, связанные с главными различными временами релаксации, существенно от-
личающимися по величине друг от друга, принимающими значения от десятых долей секунды до нескольких часов.
Рис. 1. Модель Максвелла вязкоупругого тела
Для исследования связи основных релаксационных механизмов с процессами вязкоупругости в эластомерах проведем синтез многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера. При построении схемы замещения воспользуемся моделью Максвелла для изучения свойств вязкоупругого тела. Модель состоит из соединенных последовательно двух элементов, один из которых обладает упругим сопротивлением, а другой - вязким (рис. 1). В качестве упругого элемента используется пружина, в качестве вязкого - цилиндр, заполненный вязкой жидкостью, внутри которого с некоторым зазором может двигаться поршень. При движении поршня относительно цилиндра возникает вязкое сопротивление, обусловленное перетеканием жидкости через зазор из одной полости в другую. В модели Максвелла упругий и вязкий элементы находятся под одним и тем же усилием, при этом полная деформация е вязкоупругого тела складывается из упругой е и вязкой е деформации: е = е +уе. в (1)
у в 47
Относительные деформации еу и ев в соотношении (1) находятся как отношения удлинения пружины и смещения поршня к одной и той же длине ребра множества малых плотно прилегающих друг к другу единичных кубиков, составляющих вяз-коупругого тела.
Упругая деформация еу связана с напряжением законом Гука
о
(2)
а
8У = Ё'
где X - коэффициент, учитывающий вязкое течение эластомеров при растяжении - сжатии.
Продифференцируем по времени обе части уравнений (1) и (2), тогда с учетом выражения (3) получим уравнение:
— = — — +— . (4)
dt Е dt к Уравнение (4), называемое уравнением механических состояний материала Максвелла, для случая линейной вязкоупругости отражает качественную картину физического процесса при растяжении -сжатии. Этого вполне достаточно, чтобы воспользоваться формальной аналогией в записи уравнений механических состояний вязкоупругого тела и электрического состояния цепи.
Пусть вязкоупругое тело нагружено любым способом до напряжения о0 и в дальнейшем деформация тела поддерживается постоянной, то есть 8 = const. В подобных условиях (рис. 2) находится опытный образец эластомера (1), зажатый с двух торцевых поверхностей стальными плитами (2, 3) при наличии ограничителя хода (4) одной из плит, при этом другая плита является неподвижной. Найдем закон изменения во времени напряжений в опытном образце эластомера.
Рис. 2. Схема нагружения опытного образца эластомера
где Е - модуль упругости (модуль Юнга).
Зависимость между напряжением и скоростью вязкой деформации представим в виде соотношения [6] с1вв _ ст
" к, (3)
Рис. 3. Схема замещения вязкоупругого тела
С учетом условия 8 = const уравнение (4) принимает вид:
+ f = (5)
Е dt А,
Для записи решения в окончательном виде подставим в уравнение (5) начальное условие (в момент времени t = 0 напряжение о = о0), тогда получим
a = a0exp(--t) .
(6)
Если сопоставить уравнение (5) после операции его интегрирования
| + -/ст<Й = 0 (7)
с уравнением заряда конденсаторной батареи от источника постоянного напряжения
1 г
11 = о (8)
и его решение ^
1 = 10ехр(-^)> (9)
то легко можно обнаружить формальную аналогию в записи уравнений (7) и (8) и их решений (6) и (9). Метод формальной аналогии широко используется при моделировании сложных систем [11]. Следовательно, в электрической схеме замещения опытного образца эластомера (рис. 3) аналогами тока I, напряжения и, сопротивления R и емкости С соответственно будут напряжение а, деформация е, инверсный модуль упругости Е-1, коэффициент вязкого течения X. Построенная таким образом схема замещения опытного образца эластомера является упрощенной. Несмотря на это, выполненные на ее основе расчеты показывают процесс уменьшения напряжения а в опытном образце эластомера при постоянной деформации е и позволяют оценить время релаксации
, (|0)
динамический модуль упругости при синусоидально изменяющихся во времени деформациях

1

1
(11)
(13)
коупругого тела, в которой напряжение в процессе релаксации при поддержании заданной деформации раскладывается в экспоненциальный ряд:
к=1
где а Лк соответственно амплитуда и показатель степени k-й экспоненты механического напряжения.
Разложение зависимости на сумму экспонент позволяет записать операторное сопротивление схемы замещения вязкоупругого тела, аналогичное операторному сопротивлению схемы замещения электрической цепи. По операторному сопротивлению можно синтезировать схему замещения.
Результаты экспериментальных исследований показывают, что для описания а- и Л-процессов достаточным является формирование шестиконтур-ной схемы замещения опытного образца эластомера (рис. 4). Используя формальную аналогию в замене параметров электрической цепи сопротивлений R0, Rp ..., R5 на инверсные модули упругости E0-1 , E1-1, ..., E5-1 и емкостей C0, C1, ..., C5 на коэффициенты вязкого течения X X ..., X5 соответственно можно найти и определить параметры многоконтурной схемы замещения напряженно деформированного состояния вязкоупругого тела при заданной деформации е = const.
Процесс релаксации напряжения представим в виде:
а(0 = 8Е(0 = 8ХЕке-Л^ (14)
к=1
*т |_ V Е (аЛ)2
и тангенс угла механических потерь
189 = 4 (12)
юл
где ю - угловая частота; ф - угол сдвига фаз между напряжением а(ф) и деформацией е(ф); ат, ет - соответственно амплитуды напряжения и деформации в вязкоупругом теле.
Формальная аналогия в записи уравнений механического состояния вязкоупругого тела и электрического состояния цепи дает возможность построить многоконтурную схему замещения вяз-
где Е(ф) - релаксационный динамический модуль
1 ,
упругости; тк =- - постоянная времени к-го
Лк
релаксационного механизма; Ек - коэффициент с размерностью модуля упругости, указывающий на относительный вклад к-го релаксационного механизма в процессе релаксации.
Таким образом, в процессе релаксации напряжения при фиксированных значениях деформации участвуют шесть экспонент, имеющих различные постоянные времени т|, т2, ..., т6.
Рис. 4. Многоконтурная схема замещения цепи в операторной форме
Постоянные времени многоконтурной схемы многоконтурной схемы замещения Rk и Ск. Для их замещения (рис. 4) определяются из решения систе- расчета вначале используется решение системы лимы нелинейных алгебраических уравнений (15). нейных алгебраических уравнений относительно
Решение системы уравнений (15) производит- емкостей схемы Ск(16). ся методом последовательных приближений. По Сопротивления участков схемы находятся при
вычисленным значениям постоянных времени тк этом из соотношений Rk = тк /Ск. = RкCк, где к = 1, 2,...,5 определяются параметры
' 6 т „. т „. т Ч + + 183 ^-3 + + Д-5 + к=1
1^2 13X4X5=---
In Хп Хл Я,« X,
6 1
Х1+Т2+'СЗ+'Ч+Т5 = Е —
к=1 к
6 (
О Л1 л2 л3 М
f т ^ 1 lsk
h
5 л6
10 Х2 ^3 ^4
v

\
11111 — + — + — + — + — =
Ч х2 х3 т4 х5
1
3 4 5
Z ZTn=- 6
i=l j=i+l n=j+l loU4
Z lsk ^k • Z kj
k=l I J=1 , 6
Z lsk ^k
k=l
f ,
при j = k, Xj=0
(15)
Z lsk ^k k=l
\\
Z Z ^m
U=1 m=j+1
при j = k, X j - 0; при m = k, A,m - 0
J J
k=l
Zxi Z = i=l j=i+l 1
1 (6
0
5 1 6 1 Z !sk Z Z 7—
к = 1 j = 1 Aj m = j +1 Am
• u 1
при j = к, — не существует
, 1
при m = к, — не существует
• а^ + С4 • а^ + С5 • а^ — Ьр ^ С0 • а2) + С! • ар} + С2 • а<2) + С3 • а<2) + С4 • а<2) + С5 • а<2) = Ь^2) С0 • а[,3) + С! • аР} + С2 • а<3) + С3 • а<3) + С4 • а^3) + С5 • а^3) = Ъ<3) С0 • а[,4) + Сг • а[4) + С2 • а<4) + С3 • а<4) + С4 • а<4) + С5 • а<4) = Ь^4)
с0 + с1 + с2+сз+с4 + с5=ъ(5).
Для построения многоконтурных схем замеще- держания заданной деформации;
(16)
установку температуры испытании опытного
ния опытных образцов эластомеров воспользуемся экспериментальными исследованиями процесса ре- образца эластомера, используя термокамеру;
лаксации напряжения при заданной деформации,
- измерение силы реакции опытного образца
проведенными на испытательном стенде, который эластомера при сжатии с помощью преобразовате-
обеспечивает:
ля силы ПС-20К, имеющего номинальную нагрузку
- создание статического прижимного усилия на 20 кг при напряжении питания 5 В;
усиление электрического сигнала с выхода
опытный образец эластомера;
- фиксацию хода якоря с помощью ограничите- преобразователя силы ПС-20К и его регистрацию ля хода в виде регулируемой высоты стопа для под- на экране монитора ПК.
Для осциллографирования выходного сигнала использовалась осциллографирующая приставка (PCS 500 цифровой осциллограф, производитель Vellemanlnstruments, погрешность 2,5%, чувствительность 5 мВ). Ее программное обеспечение позволяет регистрировать время и амплитуду сигнала со следующими погрешностями, что делает возможным выделение в эксперименте быстрой и медленной стадии процесса релаксации.
Для исследования процесса релаксации меха-
нического напряжения при заданной деформации на испытательном стенде были отобраны опытные образцы эластомеров с различным наполнителем технического углерода П-550 и П-234, резко отличающиеся друг от друга своими вязкоупругими свойствами.
На рис. 5 и 6 приведены экспериментальные временные зависимости выходного сигнала, характеризующие процесс релаксации механического напряжения в опытных образцах эластомеров.
5)
Рис. 5. Экспериментальные зависимости выходного сигнала в процессе релаксации механического напряжения в опытном образце эластомера с наполнителем технического углерода П-550: а) - с использованием АЦП в секундной области;
б), в) - с использованием милливольтметра в часовой области экспериментальная характеристика;
характеристика, полученная после разложения экспериментальной характеристики на экспоненты
Рис. 6. Экспериментальные зависимости выходного сигнала в процессе релаксации механического напряжения в опытном образце эластомера с наполнителем технического углерода П-234: а) - с использованием АЦП в секундной области;
б), в) - с использованием милливольтметра в часовой области экспериментальная характеристика;
характеристика, полученная после разложения экспериментальной характеристики на экспоненты
Значения выходного сигнала пропорциональны силе реакции опытного образца эластомера на сжатие FЭ = Ъи и соответственно пропорциональны
ЭЛ д
механическому напряжению а = FЭЛ где S - площадь поперечного сечения опытного образца в не нагруженном состоянии. Это позволяет определить амплитуду и показатель степени ^й экспоненты механического напряжения в выражении (13), при-
Таблица 1
Результаты разложения механического напряжения в процессе релаксации в опытных образцах эластомеров с различным наполнителем технического углерода П-550 и П-234
веденные в табл. 1.
Данные табл. 1 были использованы для синтеза многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера в программном обеспечении «Эластомер», разработанном в среде BorlandDelphi 6.0 [7, 8, 9]. Результаты расчетов по этой программе представлены в табл. 2.

Техуглерод П-550 Техуглерод П-234

asi, Па X i Gs i, Па Xi
as1 = 4.247 -105 X: =2-10-6 as1 = 4.959 -105 Xj =2-10-6
as2 = 3.31 -104 X 2 = 1.6 -10-3 as2 = 3.673 -104 X2 =6-10-4
as3 = 3.427 -104 X 3 = 0.051 as3 = 3.64 -104 X3 = 6.3 -10-3
as4 = 2.929 -104 X 4 = 0.532 as4 = 4.524 -104 X 4 = 0.128
as5 = 1.208 -104 X 5 = 0.812 as5 = 4.863 -104 X5 = 2.373
as6 = 1.886-104 X 6 = 4.084 as6 = 2.313-104 X6 = 26.989
Данные табл. 1 были использованы для син- «Эластомер», разработанном в среде BorlandDelphi теза многоконтурной схемы замещения опытного 6.0 [7, 8, 9]. Результаты расчетов по этой программе образца эластомера в программном обеспечении представлены в табл. 2.
Таблица 2
Параметры многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера с различным наполнителем технического углерода П-550 и П-234
Техуглерод П-550 Техуглерод П-234
Ti, 1/c Q, Ф Ri, Ом Ti, 1/c Ci, Ф Rj, Ом
3.541 2.154-10-8 1.644 • 108 0.919 6.312 •Ю-9 1.457 -108
433.779 1.581-10-6 2.742 •Ю8 120.991 1.135 •Ю-6 1.066 -108
15.683 3.27 -10-7 4.796 •Ю7 4.872 1.108 •Ю-7 4.398 • 107
Окончание таблицы 2
Техуглерод П-550 Техуглерод П-234
2.464 • 10 3 6.11 10-6 4.034 •Ю8 1.350 • 103 7.597 •Ю-6 ОТ^-Ю8
0.744 3.129-10-8 2.379-107 0.158 1.315 -10-9 1.211 -107
2.0199 • 105 3.741 •10-3 2.392-107 1.388405 2.472 -10-3 5.616 • 107
Параметры многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера с различным наполнителем технического углерода П-550 и П-234, приведенные в табл. 2, служат основой в построении математической модели, учитывающей вязкоупру-гие линейные свойства эластомеров, входящих в состав технологических установок [10].
Список литературы
1. Адамов А.А. К построению нелинейной модели вязкоупругого поведения наполненных резин при конечных деформациях [Текст] / А.А. Адамов // Каучук и резина. - 1996. - № 5. - с. 27-30.
2. Адамов А.А. Методы прикладной вязкоу-пругости [Текст] / А.А. Адамов, В.П. Матвеенко, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. - 411 с.
3. Бартенев Г.М. Релаксационные свойства и структура эластомеров [Текст] / Г.М. Бартенев // Труды Краснодар. политехн. ин-та. Механика эластомеров. - 1977. - Вып. 242. - С. 7-21.
4. Горшков А.Г. Теория упругости и пластичности: Учеб. для вузов [Текст] / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, Д.В. Тарлаковский. - М.: Физмат-лит, 2002. - 416 с.
5. Материаловедение: Учебник для вузов [Текст] / Б.Н. Арзамасов, В.И. Макарова, Г.Г. Мухин и др.; под общ. ред. Б.Н. Арзамасова, Г.Г. Мухина. - 5-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 648 с.: ил. ISBN 5-7038-1860-5.
6. Павлов П.А. Сопротивление материалов: Учебное пособие [Текст] / П.А. Павлов, Л.К. Пар-
шин, Б.Е. Мельников, В.А. Шерстнев; под ред. Б.Е. Мельникова. - СПб.: Издательство «Лань», 2003.- 528 с.
7. Ковалев Ю.З. Программное обеспечение «Эластомер» для исследования параметров многоконтурной схемы замещения вязкоупругих свойств материалов на основе процесса релаксации [Текст] /Ю.З. Ковалев, А.А. Татевосян. - М.: ВНТИЦ, 2004. - № 50200401152.
8. Татевосян А.А. Синтез многоконтурной схемы замещения опытного образца эластомера на основе исследования процесса релаксации [Текст] / А.А. Татевосян // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая): Тез. докл. - Екатеринбург: УрО РАН, 2005. - С. 6.
9. Татевосян А.А. Математическая модель для определения реологических характеристик эластомеров при циклическом нагружении [Текст] / А.А. Та-тевосян // Омский научный вестник. - 2006. - Вып. 41. - С. 92-96
10. Татевосян А.А. Математическое моделирование линейного магнитоэлектрического двигателя для испытания вязкоупругих свойств эластомеров [Текст] / А.А. Татевосян, Н.В. Захарова, Е.В. Осини-на // Динамика систем, механизмов и машин. Материалы VIII Международной научно-технической конференции. Тез. докл. - Омск, 2012. - С. 187-190.
11. Курбатов П.А. Математическое моделирование электромеханических систем электрических аппаратов [Текст] / П.А. Курбатов. - М.: Издательский дом МЭИ, 2007. - 110 с.