САМОПОДОБНЫЕ ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ И ВЫЗВАННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД

УДК 553.98:004.032.26
САМОПОДОБНЫЕ ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ И ВЫЗВАННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД
Владимир Викторович Филатов
ФГУП «СНИИГГиМС», 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 67, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, тел. (383)222-47-22, e-mail: filatov@sniiggims.ru
Рассмотрены некоторые вопросы влияния самоподобных процессов на величину и характер вызванной поляризации пористых флюидонасыщенных сред.
Ключевые слова: вызванная поляризация, релаксация, самоподобные процессы электросейсмический эффект, пористые флюидонасыщенные среды.
THE INHOMOGENEOUS MEDIA'S INDUCED POLARIZATION AS A SELF-SIMILAR RELAXATION PROCESS
Vladimir V. Filatov
Federal State Unitary Enterprise «Siberian Research Institute of Geology, Geophysics and Mineral Resources» (FGUP SNIIGGiMS), 630091, Russia, Novosibirsk, 67 Krasny Prospect, Doctor of Science, Main Scientific Associate, tel. (383)222-47-22, e-mail: filatov@sniiggims.ru
In article are discussed some problems of a self-similar relaxation process effects on parameters and induced polarization's process in fluidsaturated porous medium.
Key words: induced polarization, relaxation, self-similar process, electroseismic effect, flu-idsaturated porous medium.
Задача дистанционного изучения структуры порового пространства, контролирующей такие важные параметры, как проницаемость, коэффициент фильтрации пластов, емкостные свойства нефтегазовых коллекторов, до настоящего времени сохраняет свою актуальность. В этом направлении существенную роль может играть метод индукционной вызванной поляризации (ВП), поскольку явление ВП тесно связано с особенностями процессов диффузии в поровом пространстве породы.
Известно, что именно структура порового пространства определяет параметры релаксации поля ВП. Однако многие явления, происходящие в пористых флюидонасыщенных средах под воздействием электромагнитного поля, или не имеют строгого описания, или требуют для такого описания большего количества параметров, фактически не определяемых с точки зрения практики. Традиционная система уравнений Максвелла не отражает многообразие свойств флюдонасыщенной среды, не учитывает проницаемость формации, ее пористость, потенциал двойного электрического слоя, т.е. всего того, что представляет реальную среду с электрическим током.
Поэтому в практических задачах для описания таких явлений очень часто используется феноменологический подход, при котором теория явления созда-
ется независимо от реальной физической кинетики процесса. Это позволяет использовать для коденсированных сред относительно небольшое количество параметров.
Один из известных подходов связан с введением «фактора последствия» -нелокального во времени соотношения между параметрами, входящими в уравнения материальных связей. Такая связь может быть представлена в виде интеграла типа свертки, конкретный вид которого определяется видом ядра интегрального оператора, которое в свою очередь определяется моделью функции «памяти».
Одним из основоположников такого феноменологического подхода является В.В. Кормильцев [3], который впервые ввёл дисперсию в уравнения электродинамики, записав выражение для тока в виде:
г
] (г) = ст(0)[ Е(г) -1 т (т)Е (г - т) йт (1)
о
Фактически подход сводится к использованию в диспергирующих средах обычной системы уравнений Максвелла, в которой уравнения материальных связей представляются в виде интегралов свертки.
Линейность такой модели позволяет использовать для диспергирующих сред решения уравнений Максвелла в частотном варианте и рассматривать явление вызванной поляризации в практических задачах [2], ограничиваясь набором параметров, входящих в формулы Коула-Коула, записывая, например, дисперсию сопротивления в виде
Р(о) = Ро
1 -Ло(1 - 1
1 + (гют0)
с
У
(2)
где р0 - удельное электрическое сопротивление на постоянном токе; по - безразмерная поляризуемость; т0 - время релаксации, с - параметр, трактующийся как характеристика разброса времен релаксации, распределенных около наиболее вероятного значения.
Отметим, что модель Коула-Коула не всегда адекватно описывает экспериментальные данные, что может приводить к искажениям петрофизической интерпретации данных ВП.
В последнее время для интерпретации данных ВП стал использоваться метод, в котором, по аналогии с диэлектрической спектроскопией, в качестве интерпретируемой характеристики рассматривается распределение времени релаксации (РВР) элементарной релаксационной модели Дебая, где РВР - непрерывная функция, отражающая весовой вклад разномасштабных структурных элементов [10].
При этом неявно предполагается, что релаксация общей системы обусловлена релаксацией некоторого множества подсистем, каждая из которых харак-
теризуется своим временем релаксации. Надо отметить, что такое предположение справедливо для многих систем, но подобное разбиение на подсистемы имеет реальный физический смысл только в том случае, когда число подсистем сравнительно невелико. Кроме того, за рамками РВР остаются параметры Ко-ула-Коула
Поэтому целесообразно рассматривать процессы релаксации исходя из некоторой более общей модели, связанной, например, с фрактальностью среды. Процессы релаксации в такой среде приобретают самоподобный характер и описываются уравнениями в дробных производных.
Такие уравнения возникают в разных моделях. Один из вариантов - рассмотрение уравнений с памятью типа (1), в котором функция памяти описывается характеристической функцией некоторого фрактального множества.
Чтобы уточнить смысл параметров Коула-Коула в процессе релаксации, рассмотрим аналог формулы (2) во временной области, задающий изменение поляризуемости, который определяется функцией Миттаг-Леффлера [9]:
да (f I т \сп
T,(t) = Щ иг ^^ t > 0,0 < С < 1. (3)
Y(cn+1)
Функция (3) является решением уравнения в дробных производных (так называемого «уравнения сверхмедленной релаксации») [8]:
dcu(t) 1 , ч _ ,
—+—u(t) = 0, c < 1, (4)
dt тС
где оператор дробного дифференцирования определяется выражением
dcu(t) d dtc dt
f
l J
' -(т) т
Г(1 - c)U t -т)'
Иначе говоря, мы рассматриваем модель, при которой процесс релаксации обусловлен взаимодействием с внешним полем, носящим прерывистый самоподобный характер. При этом обычное уравнение релаксации заменяется уравнением (4), где т0 характеризует скорость релаксации, а с - фрактальный характер процесса, тесно связанный с фрактальной размерностью среды.
Такое обобщение уравнений Максвелла носит достаточно ограниченный характер и не описывает всего многообразие свойств флюдонасыщенной среды. Феноменологический подход, основанный на двухскоростной теории поро-упругости в пористых насыщенных флюидами средах [1, 7], позволяет лучше учесть такие параметры, как проницаемость и пористость формации, наличие двойного электрического слоя и т. д.
В частности, проявление двойного электрического слоя сказывается на появлении электрокинетический член в плотности тока, которая в отсутствии дисперсии свойств среды записывается в виде.
] = ар1 (и - V) + а( Е + V х В), (5)
где а - электроакустический параметр; р/ - парциальная плотность флюида; и-у - разность скоростей матрицы и жидкости; а - электропроводность; Е - электрическое поле; В - магнитная индукция.
Электрокинетической член в уравнении (1) обуславливает проявление се-смоэлектрического эффекта при упругом воздействии на флюидонасыщенные среды. Одно из возможных проявлений связано с повышением плотности зарядов, возникающих за счет деформации двойного слоя [4]. Это, в частности, меняет уровень ВП, возникающей при пропускании через среду электрического тока. Такой эффект был отмечен в ходе полевых экспериментов по исследованию влияния упругого воздействия на электрические свойства среды. На рис. 1 представлены изменения кажущегося сопротивления до и после воздействия. В данном случае адекватно объяснить разницу удаётся только за счет появления дополнительных процессов ВП.





2
...



100
Рис. 1. Изменение кривых кажущегося сопротивления полученных до (1) и в разное время после (2, 3) упругого воздействия
С течением времени эффект меняется за счет релаксации свойств среды, что также нашло отражение в рисунке. При этом процесс релаксации не является
Дебаевским [6] и описывается уравнением в дробных производных, асимптотика решение которого имеет вид экспоненциального закона Уильямса-Уотса:
еу(): ехр . (6)
Г(1 + у) _
Однако электрокинетический член в уравнении (1) может возникнуть не только при явном акустическом воздействии, но и при обычных электромагнитных зондированиях [1, 5]. Помимо сейсмоэлектрического эффекта существует обратный по отношению к нему электросейсмический эффект (возникновение упругих колебаний под воздействием электромагнитного поля).
То, что электросейсмический эффекта 2-го рода (ЭСЭ2) может быть достаточно существенным, свидетельствует, например, публикация [11].
Лабораторные работы, проведенные на образцах горных пород, также показали, что величина ЭСЭ2 может быть достаточно велика. Кроме того, эффект может существенно (на порядок) возрасти, если измерять компоненту акустического поля, ортогональную приложенному электрическому полю. Отмечены также резонансные явления на некоторых частотах, при которых в сигнале акустического поля появляется вторая гармоника, на порядок и более превышающая первую гармонику.
Резонансные явления отмечены и в теоретических работах [1]. Происходящие при этом деформационные искажения могут приводить к дополнительному влиянию электрокинетической составляющей из уравнения (5) на величину ВП. Экспериментальные и теоретические исследования позволяют надеяться, что такое влияние может быть реально зафиксировано. При этом характер процесса релаксации такой составляющей может иметь специальный вид (6). Кроме того, и глубинность проявления ЭСЭ, и, соответственно, дополнительных процессов ВП может быть существенно выше традиционной глубинности ВП. Это позволяет надеяться, что такое специальное проявление ЭСЭ может изучаться не только с помощью измерения акустического отклика, что традиционно используется, но и с помощью выделения в сигнале ВП "недебаевской" составляющей и последующей её интерпретации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Доровский С.В., Доровский В.Н., Блохин А.М. О возможностях электроразведки при исследовании устойчивости водонефтяных слоистых систем // Геология и Геофизика. - 2006. - №11. - С. 892-901.
2. Каменецкий Ф.М., Тригубович Г.М. Феноменология вызванной поляризации // Геофизика. - 2013. - №1. - С. 80-83.
3. Кормильцев В.В. Вызванная поляризация в уравнениях электродинамики. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. - 44 с.
4. Манштейн А.К., Нестерова Г.В., Филатов В.В., Саева О.П. Об оценке величины сейсмоэлектрического эффекта первого рода // Технологии сейсморазведки. - 2013. - № 4. - С. 81-88.
5. Филатов В.В. Электросейсмические эффекты и вызванная поляризация неоднородных сред // Геофизические методы исследования земной коры: материалы Всерос. конф., посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Пузырева (Новосибирск 8-13 декабря 2014). - Новосибирск: Изд-во ИНГГ СО РАН, 2014. - С. 319-324.
6. Филатов В.В., Тригубович Г.М. Релаксация сопротивления в задачах сейсмоэлектро-разведки и задачи прогноза [Электронный ресурс]. - Режим доступа: emf.ru/ems2013/section7/Филатов_Тригубович.pdf.
7. Dorovsky V., Imomnazarov Kh. A mathematical model for the movement of a conducting liquid through a conducting porous medium // Mathematical and Computer Modelling. - 1994. - V. 20. - P. 91 -97.
8. Mainardi, F. and Goreno, R.Time-fractional derivatives in relaxation processes: a tutorial survey // Fract. Calc. Appl. Anal. - 2007. -№10. - P. 269-308.
9. Pelton W.H. et al. Mineral discrimination and removal of inductive coupling with multifre-quency IP // Geophysics. - 1978. - V. 43. - P. 588-609.
10. Tarasov A., Titov K. Relaxation time distribution from time domain induced polarization measurements Text] // Geophys. J. Int. - 2007. - V. 170. - 31-43.
11. Thompson H., Hornbostel S., Burns J., "Field tests of electroseismic hydrocarbon detection // Geophysics. - 2007. - V. 72, № 1. - P. N1-N9.
© В. В. Филатов, 2015