пїњ

–ј«–јЅќ“ ј ћј“≈ћј“»„≈— ќ… ћќƒ≈Ћ» ЅјЋЋ»—“»„≈— ќ√ќ јЌјЋ»«ј ѕ≈–≈Ћ≈“ј  ќ—ћ»„≈— ќ√ќ јѕѕј–ј“ј — Ќ»« ќ… ќ ќЋќ«≈ћЌќ… ќ–Ѕ»“џ ¬ “ќ„ ” Ћ»Ѕ–ј÷»» L1 —»—“≈ћџ Ђ«≈ћЋя-Ћ”Ќјї  ј  –≈Ў≈Ќ»≈ „ј—“Ќќ… ќ√–јЌ»„≈ЌЌќ… «јƒј„» “–≈’ “≈Ћ — ”„≈“ќћ ѕ–≈÷≈——»» ќ–Ѕ»“џ Ћ”Ќџ

”ƒ  517.9:521+523.3:629.7
ё.ј. ќкишев, ё.¬.  линаев
–ј«–јЅќ“ ј ћј“≈ћј“»„≈— ќ… ћќƒ≈Ћ» ЅјЋЋ»—“»„≈— ќ√ќ јЌјЋ»«ј ѕ≈–≈Ћ≈“ј  ќ—ћ»„≈— ќ√ќ јѕѕј–ј“ј — Ќ»« ќ… ќ ќЋќ«≈ћЌќ… ќ–Ѕ»“џ ¬ “ќ„ ” Ћ»Ѕ–ј÷»» №1 —»—“≈ћџ Ђ«≈ћЋя-Ћ”Ќјї  ј  –≈Ў≈Ќ»≈ „ј—“Ќќ… ќ√–јЌ»„≈ЌЌќ… «јƒј„» “–≈’ “≈Ћ — ”„≈“ќћ ѕ–≈÷≈——»» ќ–Ѕ»“џ Ћ”Ќџ
–азработана численно-аналитическа€ модель баллистического анализа доставки космического аппарата с химическим ракетным двигателем с низкой околоземной орбиты в точку либрации №1 системы Ђ«емл€-Ћунаї. Ќайдены опти-
мальные даты старты, врем€ перелета и потребные импульсы скорости. ƒл€ проведени€ математического моделировани€ использовалась система автоматизированного проектировани€ и компьютерной алгебры MathCAD.
ћатематическое моделирование, баллистический анализ, точка либрации, №1, система Ђ«емл€-Ћунаї
Yu.A. Okishev, Yu.V. Klinaev
DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL FOR THE BALLISTIC FLIGHT ANALYSIS
OF A SPACECRAFT FROM LOW-EARTH ORBIT TO THE LIBRATION POINT L1 OF THE ЂEARTH-MOONї AS THE DECISION OF A PRIVATE LIMITED THREE-BODY PROBLEM WITH CONSIDERATION FOR THE MOON ORBIT
A numerical-analytical model has been developed for the ballistic analysis made for the delivery of a spacecraft having a chemical rocket engine from low-Earth orbit in the L1 libration point of the ЂEarth-Moonї. The optimal launch date, flight time, and the needed speed pulses have been determined. To perform the mathematical modeling CAD system and computer algebra MathCAD have been used.
Mathematic modeling, ballistic analysis, libration point, L1, the system ЂEarth-Moonї
ѕри космических исследовани€х других планет —олнечной системы, —олнца или Ћуны возникает необходимость в создании мобильных станций обслуживани€ или ретрансл€ционных пунктов в окрестност€х точек либрации - точек в системе двух гравитирующих тел, в окрестности которых пренебрежимо малое тело остаетс€ неподвижным относительно них.
–абота посв€щена разработке математической модели и алгоритма поиска оптимальной баллистической траектории космического аппарата ( ј) с химическим ракетным двигателем (’–ƒ) при перелете с низкой круговой околоземной орбиты (ее высоту принимаем равной 300 км) в точку либрации L1 системы Ђ«емл€ - Ћунаї.
¬ качестве критери€ оптимизации предлагаетс€ рассматривать суммарный импульс. «адача проектно-баллистического анализа сводитс€ к поиску минимального суммарного импульса скорости AVZ и, как следствие, по формуле ÷иолковского (1), минимально потребного топлива дл€ перелета. “акой подход €вл€етс€ общепризнанным [1] дл€ проведени€ баллистического анализа.
где т т - масса топлива  ј, т0 - начальна€ масса  ј, 1у Ч удельный импульс т€ги, который задаетс€
двигательной установкой  ј.
Ѕудем рассматривать схему перелета с двум€ включени€ми ’–ƒ между некомпланарными орбитами, где первый импульс скорости ј”1 реализует переход  ј на перелетный эллипс, лежащий в плоскости орбиты базовой орбиты, а второй импульс Ч скорости јV2 (2) в апогее перелетного эллипса реализует поворот плоскости орбиты на требуемый угол јi и переход на орбиту точки либрации №1 (рис. 1). ƒл€ предварительного анализа используетс€ методическа€ иде€ импульсной аппроксимации активных участков полета. »сход€ из физических свойств коллинеарной точки либрации №1 очевидно, что точка №1 принадлежит радиус-вектору и плоскости орбиты Ћуны:
где VL1 Ч вектор скорости точки либрации №1, V ј Ч вектор скорости  ј в точке либрации №1, јг Ч разница между наклонени€ми орбит.
(1)
(2)
ѕо теореме косинусов получаем:
(3)
–ис. 1. —хема двухимпульсного перелета
ƒл€ проведени€ анализа полагаем, что начало системы координат расположено в центре «емли, плоскость х-у совпадает с плоскостью эклиптики, ось х направлена в точку весеннего равноденстви€. ќсь ъ направлена в северный полюс ћира, ось у дополн€ет до правой тройки. ћожно считать, что угол между плоскостью эклиптики и плоскостью земного экватора посто€нен и равен 23,4354∞.
Ќаклонение низкой околоземной (базовой) орбиты примем за 51,6∞ (старт с космодрома ЂЅайконурї).
»з-за прецессии орбиты Ћуны ее наклонение к плоскости экватора «емли мен€етс€ с периодичностью в 18,6 лет. »сход€ из энергетики перелета (3), выберем эпоху, когда наклонение орбиты Ћуны максимально, чтобы значение разности наклонений базовой и Ћунной орбиты было минимальным.
«а дату рассматриваемой эпохи выбираем 1 €нвар€, 12 часов дн€ каждого рассматриваемого года. Ќайдем наклонение орбиты Ћуны по формуле (4):
' , (4)
cos i
Ћуны
а
а = √Ћуны X V луны
а
X Vy - у Vx,
(5)
(6)
где а - вектор интеграла площадей орбиты Ћуны, аг - проекци€ вектора - интеграла площадей орбиты Ћуны на ось z, x и у - проекции радиус-вектора Ћуны на оси x и y соответственно, Vx и Vy -
проекции вектора скорости Ћуны на оси x и y соответственно.
–адиус-вектор Ћуны и значение скорости, а также их проекции по ос€м возьмем из планетари€ DE-405, который разработан в JPL (Jet Propulsion Laboratory). ¬ыберем эпоху, когда наклонение орбиты Ћуны максимально.  ак видно из табл. 1, наклонение орбиты Ћуны максимально и составл€ет 28,443∞ в 2025 году, при этом будем считать, что в выбранную эпоху наклонение орбиты не измен€етс€.
“аблица 1
«ависимость наклонени€ орбиты Ћуны от эпохи
√од i о Ћуны √од i о Ћуны √од i о Ћуны
2012 22,513 2018 20,075 2024 28,195
2013 20,881 2019 21,568 2025 28,443
2014 19,526 2020 23,253 2026 28,258
2015 18,633 2021 24,894 2027 27,638
2016 18,396 2022 26,327 2028 26,584
2017 18,959 2023 27,458 2029 25,174
“ак как в данной задаче вли€ние гравитации Ћуны на  ј существенно, то использовать решени€ ограниченной задачи двух тел (7) некорректно. Ѕудем использовать решение ограниченной задачи трех тел (8), в которой движение  ј массы т, рассматриваетс€ в системе двух гравитирующих масс ћ1 и ћ 2 («емли и Ћуны, соответственно) [2].
Ќ2 г тћ
= /тћ^, (7)
йг г
где т - масса  ј, г - радиус-вектор  ј относительно центра «емли, г - врем€, / - гравитационна€ посто€нна€, ћз - масса «емли.
<Ќ2 я Дћ. _ ћ
_2
A2 " R3 J R23
= /-f^ -R) + f-f(R2 + R) , (8)
я1 = а----ћ-------, (9)
1 ћ 2 + ћ1
»2 = а------ћ--------, (10)
2 ћ 2 + ћ1
где ћ1 - масса «емли, ћ2 - масса Ћуны, я - радиус-вектор  ј относительно общего барицентра (Ѕ÷), я1 - рассто€ние от Ѕ÷ до центра «емли, я2 - рассто€ние от общего Ѕ÷ до центра Ћуны, а -больша€ полуось орбиты Ћуны.
ƒл€ ограниченной задачи трех тел в точке либрации относительное ускорение  ј равно нулю, тогда уравнение движени€ дл€ точки №1 можно записать в следующем виде:
Ќ-я- = ш2 я + / ћ2 2 - / ћ1 , (11)
йг2 (я2 - я)2 (я1 + я)2
п
Ў = 2- Ч , (12)

T = 2-к-
a a
(13)
/ (ћ1 + ћ 2)
где Ў - скорость вращени€ Ћуны вокруг «емли, “ - период обращени€ Ћуны вокруг «емли, первое слагаемое правой части уравнени€ (11) характеризует кориолисово ускорение, второе и третье - вли€ние гравитации Ћуны и «емли соответственно.
ѕриравнива€ правую часть уравнени€ (11) в произвольный момент времени к нулю, найдЄм рассто€ние от барицентра системы Ђ«емл€-Ћунаї до точки либрации я . ѕо уравнению (14) найдем рассто€ние от центра «емли до точки либрации №1 системы Ђ«емл€ - Ћунаї я№1.
€и = я + я1, (14)
ƒл€ дальнейших расчетов введем коэффициент ’11(15), который характеризует относительное рассто€ние от центра «емли до точки либрации №1. ¬ дальнейшем, умножа€ на этот коэффициент рассто€ние от «емли до Ћуны в любой момент времени можем определить рассто€ние до точки либрации №1. ѕри этом скорость точки либрации ”№1 (16) найдем из подобного треугольника (рис. 2)
= я
С-и _
VL1 _ VMoon ' Д , (16)
R1 + R2
R
' L1 y Moon D D R1 + R2
где RL1 - рассто€ние от центра «емли до L1, VMoon - скорость Ћуны относительно «емли.
«афиксируем дату выведени€  ј в точку либрации L1 и найдем решени€ дл€ каждой выбранной даты. “.к. период обращени€ Ћуны вокруг «емли составл€ет около 28 суток, то можем выбрать произвольно любой мес€ц и рассматривать решени€ в рамках этого мес€ца. »зменение наклонени€ орбиты Ћуны от мес€ца к мес€цу в выбранном году незначительны.
—уществует 2 типа решени€ поставленной задачи: при перелете из восход€щего узла орбиты (рис. 3) и из нисход€щего узла орбиты (рис. 4).
ѕолага€ заданным наклонение базовой орбиты, найдем долготы восход€щего узла этой орбиты из услови€ того, что радиус-вектор точки либрации принадлежал бы базовой орбите в момент подлета  ј в точку либрации. ¬ этом случае плоскость перелета в точку либрации будет совпадать с плоскостью базовой орбиты.
–ис. 2. ”прощенна€ схема перелета
–ис. 3. “раектори€ орбиты при перелете из восход€щего узла орбиты, где » - точка либрации, 0 - положение  ј в момент старта
–ис. 4. “раектори€ орбиты при перелете из нисход€щего узла орбиты, где » - точка либрации, 0 - положение  ј в момент старта
ƒл€ найденных двух долгот восход€щего узла можно найти аргумент широты радиус-вектора точки старта на базовой орбите, антиколлинеарный радиус-вектору точки либрации.
–ешим ограниченную задачу трех тел, применив адаптивный метод –унге- утты 6-го пор€дка ( утты-ћерсона) с переменным шагом интегрировани€ дл€ выбранных долгот восход€щего узла и аргумента широты. ѕо проекци€м траектории  ј на плоскости ’” и XZ обнаруживаем, что в точку либрации и1 системы Ђ«емл€-Ћунаї не попадаем.
¬арьируем значение долготы восход€щего узла и аргумента широты дл€ того, чтобы получить необходимый первый импульс дл€ попадани€ в точку либрации дл€ выбранной даты подлета. –еша€
65
краевую задачу в среде ћаЎ—јЅ [2], найдем долготу восход€щего узла, аргумент широты и первый импульс скорости дл€ выбранной даты подлета в точку либрации. ѕри проекции на плоскости ’” и XZ Ђпромахаї не обнаруживаем. «на€ начальные параметры орбиты и первый импульс скорости, мы можем определить второй необходимый импульс скорости.
–еша€ оптимизационную задачу в среде ћаЎ—јЅ [2], найдем такое оптимальное врем€ перелета дл€ выбранной даты попадани€ в точку либрации, когда импульс скорости минимальный (рис. 5).
–ис. 5. «ависимость значений суммарного импульса (м/с) скорости относительно времени перелета
„исленно реша€ дифференциальное уравнение движени€, с учетом ранее полученных данных, найдем конечный радиус-вектор перелетной орбиты и сравним его с радиус-вектором точки либрации дл€ определени€ точности попадани€ в точку либрации. –асхождение составл€ет пор€дка 10-9 м, соответственно, можем утверждать, что мы попали в точку либрации.
Ќайдем требуемые значени€ (второй импульс скорости, оптимальное врем€ перелета, долгота восход€щего узла, аргумент широты и суммарный импульс скорости) дл€ всего рассматриваемого диапазона дат старта с шагом в 2 дн€ в апреле 2025 года. ѕостроим графики зависимостей этих значений от даты попадани€ в точку либрации џ дл€ обоих решений.
–ис. 6. «ависимость значений суммарного импульса скорости (103 м/с) от даты попадани€ в точку либрации ». —плошной линией показаны значени€ дл€ старта из восход€щего, пунктирной линией - дл€ нисход€щего узла
“аким образом, в рамках рассмотрени€ апрел€ в качестве выбранной эпохи, можем сделать вывод, что оптимальной датой попадани€ в точку либрации №1 системы Ђ«емл€-Ћунаї €вл€етс€ 103-й день (рис. 6), что соответствует 12 часам дн€ 13 апрел€ 2025 года. ѕри этом оптимальное врем€ перелета составл€ет 4,25 суток (табл. 2) при старте из окрестности восход€щего узла базовой орбиты.
ѕровед€ подобный анализ дл€ августа 2025 года, видим, что характер зависимостей не измен€етс€, отсюда можно сделать вывод, что дл€ оценки энергетики в выбранном году можно рассматривать любой из мес€цев.
“аблица 2
«начени€ второго импульса скорости, оптимального времени перелета, долготы восход€щего узла, аргумента широты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты подлета к точке либрации L1 системы
Ђ«емл€-Ћунаї дл€ старта из нисход€щего узла орбиты
ƒата подлета с начала эпохи, дней ау2 , м/с “арг, дней ^ ,∞ и ,∞ /с м/ <
90 713.937 3.523 20.819 -156.875 3798
92 728.963 3.523 42.923 -144.418 3816
94 754.329 3.643 72.787 -141.974 3845
96 790.256 3.81 107.042 -148.97 3883
98 816.785 3.973 140.376 -161.394 3912
100 824.073 4.11 171.446 -175.933 3920
102 810.873 4.21 201.494 169.401-360 3908
104 779.330 4.273 232.07 156.135-360 3876
106 737.161 4.293 263.596 146.128-360 3834
108 700.458 4.257 293.872 141.938-360 3796
110 688.550 4.15 -40.905+360 145.616-360 3782
112 721.435 3.947 -21.519+360 156.809-360 3811
114 675.648 3.913 -5.85+360 170.982-360 3758
116 699.287 3.697 8.352+360 -170.279 3782
118 729.804 3.493 26.369+360 -152.726 3813
120 749.546 3.483 51.451+360 -142.708 3836
“аблица 3
«начени€ второго импульса скорости, оптимального времени перелета, долготы восход€щего узла, аргумента широты и суммарного импульса скорости в зависимости от даты подлета к точке либрации L1 системы
Ђ«емл€-Ћунаї дл€ старта из восход€щего узла орбиты
ƒата подлета с начала эпохи, дней ј”2, м/с “ар, , дней ^ ,∞ и ,∞ ј”≈, м/с
90 873.741 3.527 -129.531 -23.199 3958
92 802.393 3.523 -89.992 -34.544 3889
94 726.620 3.643 -56.42 -36.751 3817
96 679.608 3.81 -32.793 -29.919 3773
98 655.950 3.973 -16.509 -17.831 3751
100 644.094 4,11 -3.72 -3.705 3740
101 640.510 4.167 2.231 3.5 30737
102 638.228 4.213 8.25 10.563 3735
102.5 637.669 4.233 11.366 13.985 3735
103 637.607 4.25 14.6 17.305 3735
103.5 638.159 4.263 17.988 20.498 3735
104 639.467 4.277 21.57 23.523 3737
106 655.593 4.297 38.756 33.316 3753
108 697.085 4,26 62.599 37.308 3793
110 769.007 4.153 -266.269+360 33.423 3863
112 870.575 3.957 -230.792+360 22.170 3961
114 894.654 3.803 -194.74+360 5.29 3971
116 868.553 3.693 -158.396+360 -11.709 3977
118 791.648 3.497 -118.296+360 -27.129 3952
120 732.629 3.483 -78.794+360 -36.203 3903
„исленными результатами проведЄнного баллистического анализа можно считать следующие данные:
1. ќптимальной датой попадани€ в точку либрации №1 €вл€етс€ 13 апрел€ 2025 года, при этом врем€ перелета составл€ет 4,25 дн€.
2. —уммарный импульс скорости равен 3735 м/с, где первый импульс скорости составл€ет 3097 м/с, а второй импульс скорости - 637,607 м/с.
3. ќптимальна€ траектори€ реализуетс€ при перелете из восход€щего узла орбиты.
“аким образом, разработана математическа€ модель и алгоритм поиска оптимальной баллистической траектории  ј с ’–ƒ при перелете с низкой круговой околоземной орбиты в точку либрации №1 системы Ђ«емл€ - Ћунаї дл€ любой эпохи.
Ћ»“≈–ј“”–ј
1.  онстантинов ћ.—. ћеханика космического полета: учеб. дл€ втузов / ћ.—.  онстантинов, ≈.‘.  аменков, Ѕ.ѕ. ѕерелыгин, ¬. . Ѕезвербый, ¬.ѕ. ћишин; под ред. ¬.ѕ. ћишина. ћ.: ћашиностроение, 1989. 407 с.
2. —ебехей ¬. “еори€ орбит: ограниченна€ задача трех тел; пер. с англ. / ¬. —ебехей; под ред. √.Ќ. ƒубошина. ћ.: Ќаука. √л. ред. физ.-мат. лит. 1982. 656 с.
3. –акитин ¬.». –уководство по методам вычислений и приложений ћј“»—јЅ: учеб. пособие / ¬.». –акитин. ћ.: ‘изматлит, 2005. 264 с.
ќкишев ёрий јлександрович -
аспирант кафедры Ђ“ехническа€ физика и информационные технологииї
Ёнгельсского технологического института (филиала) —аратовского государственного технического университета имени √агарина ё.ј.
 линаев ёрий ¬асильевич -
доктор физико-математических наук, профессор кафедры Ђ“ехническа€ физика и информационные технологииї
Ёнгельсского технологического института (филиала) —аратовского государственного технического университета имени √агарина ё.ј.
—тать€ поступила в редакцию 17.09.12, прин€та к опубликованию
Yuri A. Okishev -
Postgraduate
of the Department Technical Physics
and Information Technology
Engels Institute of Technology
Part of Gagarin Saratov State Technical University
Yuri V. Klinaev -
Dr. Sc., Professor
of the Department Technical Physics
and Information Technology
Engels Institute of Technology
Part of Gagarin Saratov State Technical University

пїњ