пїњ

–ј—ѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»≈ “≈ћѕ≈–ј“”–џ ¬Ќ”“–»  ќЋ№÷ј Ќ≈ Ћј——»„≈— ќ…∆»ƒ ќ—“» — ƒ¬”ћя —¬ќЅќƒЌџћ» √–јЌ»÷јћ»

”ƒ  539
–ј—ѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»≈ “≈ћѕ≈–ј“”–џ ¬Ќ”“–»  ќЋ№÷ј Ќ≈ Ћј——»„≈— ќ… ∆»ƒ ќ—“» — ƒ¬”ћя —¬ќЅќƒЌџћ» √–јЌ»÷јћ»
¬. ќ. Ѕытев
≈. ј. √ербер
“юменский государственный университет (»нститут математики и компьютерных наук), кафедра математического моделировани€ E-mail: vbytev@utmn.ru, e.a.gerber@gmail.com
¬ статье рассматриваетс€ решение задачи по определению пол€ скоростей и пол€ температуры внутри теплоизолированного кольца несжимаемой в€зкой жидкости с двум€ свободными границами в неклассической модели гидродинамики. –ешение системы уравнений Ќавье - —токса и теплопроводности получено на основе численных методов. јнализ результатов численного эксперимента вы€вил вли€ние недиссипативной в€зкости на распределение температуры внутри кольца.
 лючевые слова: гидродинамика, уравнени€ Ќавье - —токса, распределение температуры, жидкое кольцо, свободные границы.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
Temperature Distribution Inside the Ring of Liquid with Two Free Borders in the Nonclassical Model of Hydrodynamics
V. O. Bytev
E. A. Gerber
Tyumen State University (Institute of Mathematics and Computer Sciences),
Chair of Mathematical Modeling
E-mail: vbytev@utmn.ru, e.a.gerber@gmail.com
The article deals with the task to determine the velocity field and temperature field inside the insulated ring of incompressible viscous fluid with two free boundaries in the non-classical model of hydrodynamics. The solution to the Navier - Stokes equations and heat equation obtained by numerical methods. Analysis of the results of numerical experiments reveal the effect of nondissipative viscosity on the temperature distribution inside the ring.
Keywords: hydrodynamics, Navier - Stokes equations, temperature distribution, liquid ring, free borders.
—тать€ посв€щена задаче отыскани€ решений уравнений Ќавье - —токса и теплопроводности (осесимметричный вариант уравнений) дл€ плоского теплоизолированного кольца в€зкой несжимаемой жидкости со свободными границами, совершающего вращательно-симметричное движение по инерции в рамках неклассической модели гидродинамики [1]. ѕримером рассматриваемого объекта может быть газопылевое облако.
¬ работе Ћ. ¬. ќвс€нникова [2] впервые определ€ютс€ основы подхода к изучению задач со свободными границами. ќднозначна€ разрешимость задачи по описанию динамики кольца в рамках классической системы уравнений Ќавье - —токса была доказана в [3], там же была установлена и асимптотика его поведени€ при ^ го. ƒинамика свободного кольца при стремлении коэффициента кинематической в€зкости к нулю (V ^ 0 ) рассматривалась в работе ¬. ¬. ѕухначева [4]. ¬ работах ќ. ћ. Ћавреньевой [5, 6] изучено поведение жидкого кольца при наличии сил поверхностного нат€жени€.
¬виду того что в рамках неклассической модели гидродинамики вместо коэффициента динамической в€зкости используетс€ ее тензорный аналог, в котором нар€ду с обычной динамической в€зкостью присутствует ещЄ и ее недиссипативна€ часть, становитс€ интересным вопрос о характере ее вли€ни€ как на поле скоростей, так и на вид распределени€ температуры. ¬ работах [7, 8] были представлены результаты численного моделировани€, позволившие вы€вить характер вли€ни€ недис-сипативной составл€ющей тензора в€зкости на поле скоростей жидкого кольца.
÷елью данного исследовани€ €вл€етс€ вопрос, св€занный с вы€влением степени вли€ни€ недис-сипативной составл€ющей тензора в€зкости на распределение температуры внутри движущегос€ теп-лоизоливанного кольца в€зкой несжимаемой жидкости. ¬ литературе известно лишь ограниченное число случаев, допускающих интегрирование уравнений Ќавье - —токса в аналитическом виде, поэтому достижение успеха в этой области возможно лишь при использовании численных методов. ¬се результаты этого исследовани€ получены в процессе численного моделировани€.
1. ѕќ—“јЌќ¬ ј «јƒј„»
¬ классической модели стоксовой жидкости тензор напр€жений имеет вид “ = Чр1+ 2рЅ, где I Ч шаровой единичный тензор, р Ч обычна€ динамическа€ в€зкость, Ѕ Ч тензор скорости деформации.
© Ѕытев ¬. ќ. , √ербер ≈. ј, 2011
81
¬первые в работе [9] авторами был рассмотрен вариант обобщени€ модели стоксовой жидкости, в которой вместо обычной динамической в€зкости используетс€ тензор динамической в€зкости в следующем виде:
V Vo\
~Vo V /
M =
где р,0 Ч недиссипативна€ составл€юща€ общей в€зкости, котора€ формально может иметь любой знак. “аким образом, рассматриваетс€ своеобразный вариант анизотропной в€зкости. —истема уравнений дл€ описани€ движени€ кольца и потока тепла в нем с учетом вида тензора в€зкости представлена в виде
du ,, . . Д рЧ Ч ћји + Vp = ќ, dt
div u = 0, dT
–—–Ч = div (fcVT) + 2(MD) : D,
(1)
где и(иг(№,т); иф(№,т)) Ч вектор скорости, а дл€ уравнени€ теплопроводности использовано обозначение скал€рного произведени€ тензоров. ¬ предположении осесимметричности плоского движени€ свободного жидкого кольца выпишем в €вном виде уравнени€, св€занные с переносом импульса и теплоты в пол€рной системе координат. ѕосле проведени€ несложных преобразований вид слагаемого, св€занного с диссипацией энергии в уравнении теплопроводности, совпал с таковым в классической трактовке, при этом все слагаемые св€занные с недиссипативной в€зкостью сократились. “аким образом, систему уравнений (1) можно записать в следующей форме:
диг + _и( _
dt
% r
\rdr
dt
+
, диф ,
+ ў-^г + Vo dr
Д (dT dT\
= к
1д_
r dr
+ d2ur\ dr2 | + Vo
dur + d2urs
rdr dr2
1 д (rur)
r dr
dT Y
V
√ dr )
+ V
= 0,
2 ( dur I dr
диф д2иф \ 1 др J p dr
rdr dr2
^ф диф _
r2 rdr dr2
+ 2 ( Ч
r
+
dr
(2)
(3)
(4)
(5)
≈сли все теплофизические величины жидкости €вл€ютс€ константами, то система уравнений распадаетс€ на две независимые группы. ѕервые три уравнени€ не содержат слагаемых, св€занных с температурой, а решение последнего уравнени€ можно найти только в том случае, если известно решение первых трех уравнений дл€ пол€ скоростей.  онвективна€ составл€юща€ температурного пол€ зависит от радиальной составл€ющей скорости, а диссипативна€ Ч от обеих составл€ющих скорости. √раничные услови€ дл€ уравнений (2)-(4) можно определить из услови€ равенства нулю тензора напр€жений на свободных границах при г = я12а именно из следующих равенств:
√“ dur f диф
Trr = -р + 2 лЧ- + fio ЧЧ dr \ dr
(диф иф\ диг
“гф = ц, Ч---- 2ц,оЧЧ = 0.
dr r dr
ѕф
r
= 0,
(6)
ƒвижение жидкости возможно лишь при наличии внешних массовых сил (в нашем случае их нет), либо при наличии внешних сил, создающих перепад давлени€, либо при наличии начального распределени€ пол€ скоростей, обусловленного внешними силами (в этом случае будет происходить движение в€зкой жидкости по инерции). ќчевидно, что начальное распределение пол€ скоростей должно быть согласовано с услови€ми (6). “аким образом, если задано начальное распределение скорости, а соответственно и давлени€, то по€вл€етс€ возможность отыскани€ решени€ системы уравнений дл€ пол€ скоростей, но трудность его поиска св€зана с тем, что в данной системе в €вном виде не присутствует уравнение дл€ определени€ пол€ давлени€. ƒл€ решени€ этой проблемы, как правило, прибегают к
2
r
u
u
2
2
2
d
эквивалентной форме записи системы уравнений дл€ скоростей в виде системы уравнений в переменных скорость - давление или эквивалентной ей в переменных функци€ тока и вихрь. ѕриведем дл€ справки систему уравнений в переменных скорость - вихрь:
√ ∆
~dt dp,
+ u
d ќ
+
dr д 2pr
rdr dr2
= P
1∆ dHl
r dr dr2
Vo
1 <90 d2tt\ J
r dr dr2 J | r
1 dur d2ur
r dr
+
dr2
+ ( ^U \ dr
св€зано со слагаемым v0
где ќ = Ч + ЧЧ Ч вспомогательна€ переменна€ дл€ описани€ вихр€. ќсновное отличие полученной г дг
системы от системы уравнений дл€ классического варианта описани€ поведени€ стоксовой жидкости,
1 дѕ д2ѕ\
-ЧЧ№ -г-о" в уравнении дл€ определени€ давлени€ (в классическом г дг дг2 )
варианте оно отсутствует). “аким образом, можно сказать, что недиссипативна€ в€зкость может вли€ть не только на закономерности изменени€ пол€ скоростей, но и пол€ давлени€ в жидкости.
√лавной проблемой поиска численного решени€ системы уравнений (2)-(5) €вл€етс€ то, что область интегрировани€ мен€етс€ в зависимости от времени. ƒл€ решени€ этой проблемы авторами [7,10] использовалс€ прием, св€занный с введением новых переменных, позвол€ющих осуществить отображение измен€ющейс€ области интегрировани€ на фиксированную область. ¬ качестве переменной, отслеживающей изменение положени€ внутренней границы кольца, вз€то отношение
R2(t)
r
() = Ч ћожно показать, что нова€ переменна€ г\ = Ч + определ€юща€ положение любой
ƒ2
точки жидкого кольца, будет измен€тьс€ в фиксированных пределах, а именно 0 < г] < а = Ч 1.
ўо
ѕоследнее соотношение обусловлено тем, что осесимметричный характер движени€ сохран€ет форму кольца, а его площадь в силу услови€ несжимаемости должна оставатьс€ посто€нной. ≈сли кроме этого перейти к безразмерным переменным:


иф =
vu(r, t)r
R2
r20
T =
vt
r20
где V Ч обычна€ кинематическа€ в€зкость, а ‘(), Ч неизвестные функции, определ€ющие
закономерности изменени€ радиальной и угловой составл€ющих скорости, то система уравнений (2)-(5) вместе с начальными и краевыми услови€ми перепишетс€ в следующем виде:

dT
а‘(‘ - 4)
—(а + —) ln(1+ —/а) 2‘и
+
1
ln(1+ —/а)
a du 2 4еЧЧ +uj2 dr/
dn, ‘(0) = ‘о,
dC(r)
dT
= 2‘, —(0) = 1,
du
57 +
_ gduj ч д2ио
(— + v) дг) дг]2'
/ дсо е
\дг] (— + г])2

= 0, u(n, 0)= uo(n), (7)
ѕ=0,а
‘2
. d© Д d , d©,
+ (— + n)2
диЋ dn
2
дв dn
= 0, ©(n, 0) = ©o(n),
ѕ=0,а
где использована безразмерна€ величина е = v0/v, равна€ отношению соответствующих в€зкостей, A, B Ч комбинаци€ теплофизических характеристик жидкости, © = T(t,n)/Tbaz Ч относительна€ температура.
ƒл€ проведени€ экспериментов по численному моделированию использовалась программа ЂRing v 1.1ї [10], написанна€ на €зыке Delphi на основе конечно разностной аппроксимации системы уравнений (7). “естирование программы осуществл€лось путем сравнени€ численного решени€ с известным аналитическим решением при начальном условии ‘0 = 4 дл€ первого уравнени€ этой системы. јнализ результатов численного моделировани€ показал достаточно хорошее согласие между этими решени€ми. »спользование этой программы позволило исследовать характер вли€ни€ недис-сипативной в€зкости на динамику жидкого кольца в зависимости от ее величины и знака отношени€
= V
r
а
в€зкостей ^ путем варьировани€ ее значений. ƒл€ осуществлени€ сквозного счета программа ЂRing v1.1ї, была доработана, и к блоку численного решени€ уравнений движени€ и неразрывности был добавлен блок дл€ численного расчета температурного пол€.
2. »“ќ√» –ј—„≈“ј
Ќа первом этапе численного моделировани€ распределени€ температуры во вращающемс€ жидком кольце проводились дл€ воды, т. е. использовались ее теплофизические характеристики. «начени€ параметра г выбиралось из интервала [0.001 ^ 40]. ¬ нулевой момент времени относительна€ температура кольца принималась одинаковой, что соответствует значению дл€ относительной температуры 0(0, п) = 1. Ётот вариант начального распределени€ был выбран дл€ того, чтобы процесс диссипации энергии движени€ жидкого кольца был доминирующим при условии, что границы кольца теплоизолированы. Ќесмотр€ на то что поле скоростей мен€лось достаточно существенно, никаких эффектов вли€ни€ недиссипативной составл€ющей в€зкости обнаружено не было. –езультаты численного эксперимента с большой точностью выдавали 0(т, п) = 1, дл€ любого набора значений параметра г, т. е. первоначальное распределение температуры в жидком вращающемс€ кольце практически оставалось неизменным.
ƒл€ объ€снени€ подобного поведени€ температурного пол€ была проведена оценка величины дис-сипативной части энергии, котора€ перейдет в тепло дл€ реального вещества, например в нашем случае дл€ воды. ’арактерные значени€ рассчитанных составл€ющих скорости равны соответственно: иг = Џ Х 10-6^ и иф = 0.5 Х 10-6^. јбсолютное значение модул€ скорости \и\ рз 5 Х 10-6^. ≈сли вс€ кинетическа€ энерги€ перейдет в тепло, то справедливо равенство
и2
шу = т—рј“. (8)
ѕодставл€€ соответствующие значени€ в (8), получим оценку дл€ разности температур ј“ =
25 Х 10
-12
2—р 2 Х 2.6 Х 103
5 Х 10 15 град. ¬еличина абсолютно неуловима€ на фоне ошибок, получаю-
щихс€ в ходе процесса численного решени€ системы (7). “аким образом, показано, что дл€ ньютоновской жидкости, которой €вл€етс€ обычна€ вода, в зоне ламинарного течени€ (число –ейнольдса 5 Х 10-6 Х 0.5
Ќе = Ч-ЧЧ ^ 3)), вли€ние недиссипативнои в€зкости ничтожно мало.
ƒл€ того, чтобы вы€вить эффект вли€ни€ недиссипативной в€зкости на распределение температуры и сделать его более выпуклым, дальнейший процесс численного моделировани€ был проведен дл€ жидкости с физическими характеристиками, равными —р = 1, р =1, Ћ =1, V = 1, в соответствующих размерност€х при прежних услови€х.
–езультаты численного моделировани€ в этом случае показывают заметное вли€ние величины недиссипативной в€зкости на поведение температурного пол€. »ллюстраци€ поведени€ относительной температуры представлена на рис. 1, где показан характер ее изменени€ в радиальном направлении в разные моменты относительного времени. ѕоле скоростей было построено дл€ начального радиального распределени€ скорости при ‘0 = 4, что соответствует тому, что радиальна€ составл€юща€ скорости направлена от центра кольца в начальный момент времени.
© т 1200 1000 800 600

2





0 5 10 15
«ависимость температуры от параметра s;
20 25
ѕолиномиальный р€д
–ис. 1. »зменение распределени€ температуры вдоль радиуса в разные моменты
времени
2
u
0
ќтносительна€ температура кольца мен€етс€ достаточно динамично. ¬начале идет разогрев наружной части кольца, а затем и внутренней. ѕодобное поведение можно объ€снить разностью абсолютных величин скоростей на границах кольца. ѕо истечении некоторого времени температура кольца достигает своего максимального значени€ и становитс€ практически посто€нной по всей площади кольца, так как кольцо практически останавливаетс€. ¬еличина максимальной относительной температуры ©max = const напр€мую определ€етс€ лишь абсолютным значением е, т. е. величиной недиссипативной в€зкости, так как по условию в нашем случае, V = 1.
»спользуем данные по составл€ющим скорости дл€ этого случа€, например при е = 10 получились следующие средние по радиусу составл€ющие скорости: радиальна€ Ч ur_sr = 5^, углова€ Ч иф_зг =80^. ќценка числа –ейнольдса дает величину Re ~ 80, что позвол€ет сделать вывод о том, что движение жидкости дл€ этого случа€ все еще осуществл€етс€ в ламинарном режиме.
“ак как температура кольца стремитс€ к насыщению, то становитс€ интересным характер зависимости ©шах(е) Ч максимального значени€ относительной температуры от абсолютной величины отношени€ в€зкостей. Ќа рис. 2 изображена зависимость ©тах(е) при прочих фиксированных характеристиках. Ќабор точек, полученных в результате численного моделировани€ дл€ величины нагрева кольца ј©тах(е) = ©тах(е) Ч 1 достаточно хорошо описываетс€ зависимостью
ј©тах(е) = 2е2. (9)
–ис. 2. «ависимость ©max(s)
ќбъ€снение подобного поведени€, скорее всего, возможно на основании соотношени€ (8). ƒействительно, при всех имеющихс€ допущени€х прирост относительной температуры за счет диссипации будет пропорционален квадрату средней скорости вращени€. ѕоскольку начальное распределение угловой составл€ющей скорости должно быть согласовано с граничным условием дл€ третьего уравнени€ системы (7), то в качестве начального распределени€ угловой скорости, соответствующего этому условию, в данной программе использовалось выражение и(0,п) = е‘0/(1 + п). ќчевидно, что в данном случае начальное распределение угловой части скорости, €вл€ющейс€ основной составл€ющей полной скорости элемента жидкости (рис. 3), пр€мо пропорционально отношению в€зкостей, что и объ€сн€ет квадратичную зависимость прироста относительной температуры. “аким образом, можно считать, что нет пр€мого вли€ни€ недис-сипативной составл€ющей в€зкости на распределение относительной температуры. „то касаетс€ характера вли€ни€ недиссипативной в€зкости на поведение составл€ющих полной скорости, то следует отметить, что с ростом ее величины заметным образом измен€етс€ характер поведени€ радиальной составл€ющей скорости движени€ жидкого кольца.

,Х; Х 1




s Ч ±0. №


1
- ” ..ЧЧ = ±0, 2

1 /

If
щ
1


а б
–ис. 3. »зменение вектора скорости скорости при различных значени€х е и ‘0 = -4: а Ч изменение радиальной составл€ющей скорости, б Ч изменение угловой составл€ющей скорости
«ј Ћё„≈Ќ»≈
Ќа основе созданной программы был проведен численный эксперимент по определению как пол€ скоростей, так и пол€ температур жидкого кольца. Ќа основе полученных результатов исследован эффект вли€ни€ недиссипативной составл€ющей тензора в€зкости на вид распределени€ температурного пол€. ѕоказано, что дл€ реальных жидкостей эффект повышени€ температуры за счет диссипации ничтожен. Ќа примере модельной жидкости исследован характер прогрева вращающегос€ по инерции жидкого теплоизоливанного кольца со свободными границами и предложен вариант объ€снени€ полученной закономерности. “ак же установлено, что недиссипативна€ составл€юща€ тензора в€зкости вли€ет на изменение температурного пол€ кольца только косвенно, через поле скоростей.
Ѕиблиографический список
1. јндреев ¬.  ., Ѕублик ¬. ¬., Ѕытев ¬. ќ. —имметрии неклассических моделей гидродинамики. Ќовосибирск, 2003. 352 с.
2. ќвс€нников Ћ. ¬. ќбщие уравнени€ и примеры // «адача о неустановившемс€ движении жидкости со свободной границей: сб. работ теор. отдела »√ —ќ јЌ ———–. Ќовосибирск, 1967. —. 5-75.
3. Ѕытев ¬. ќ. Ќеустановившиес€ движени€ кольца в€зкой несжимаемой жидкости со свободными границами // ѕћ“‘. 1970. є 3. —. 88-98.
4. ѕухначев ¬. ¬. Ќеклассические задачи теории пограничного сло€. Ќовосибирск, 1980.
5. .Ћаврентьева ќ.ћ. Ќеустановившеес€ движение вращающегос€ кольца в€зкой капилл€рной жидкости // ƒинамика сплошной среды: сб. науч. тр. »√ —ќ јЌ ———–. Ќовосибирск, 1978. ¬ып. 31. —. 52-60.
6. Ћаврентьева ќ. ћ. ѕредельные режимы движени€ вращающегос€ в€зкого кольца // ƒинамика сплошной
”ƒ  539.374
ƒ. ¬. √оцев
¬оенный авиационный инженерный университет, ¬оронеж, кафедра математики E-mail: rbgotsev@mail.ru
¬ рамках точных трехмерных уравнений устойчивости исследована устойчивость состо€ни€ равновеси€ цилиндрической оболочки с заполнителем при осевом нагружении. ¬ычислени€ проводились дл€ случа€, когда материал оболочки моделировалс€ упругим телом, а материал заполнител€ - средой со сложными реологическими свойствами - упругов€зкопластической. ƒана оценка вли€ни€ на величину критического давлени€ параметров оболочки и заполнител€.
 лючевые слова: точные трехмерные уравнени€, устойчивость равновеси€, цилиндрическа€ оболочка, заполнитель, сложна€ реологи€, осевое сжатие.
среды: сб. науч. тр. »√ —ќ јЌ ———–. Ќовосибирск, 1980. ¬ып. 44. —. 15-34.
7. Ѕытев ¬. ќ., √ербер ≈.ј. ќб одной задаче с двум€ свободными границами // —овременные проблемы математики и еЄ прикладные аспекты: материалы ¬серос. науч.-практ. конф. ѕермь, 2010. —. 100.
8. Ѕытев ¬. ќ., √ербер ≈.ј. „исленное моделирование динамики жидкого кольца // Ќаукоемкие информационные технологии: тр. XIV молодежной науч.-практ. конф. ѕереславль-«алесский, 2010. —. 109-114.
9. Bytev V. O. Building of Mathematical Models of continuum media on the basis of invariante principle // Acta Appl. Math. 1989. Vol. 16. P. 117-142
10. Ѕытев ¬. ќ., √ербер ≈. ј. ќ восстановлении точного решени€ и о распространении температуры в кольце жидкости // ћатематическое и информационное моделирование: сб. науч. тр. “юмень, 2009. ¬ып. 11.
Stability of the Cylindrical Cover with the Elastic-Viscous-Plastic Filler at Axial Compression
D. V. Gotsev
Military Aviation Engineering University, Voronezh, Chair of Mathematics E-mail: rbgotsev@mail.ru
Within the limits of the exact three-dimensional equations of stability of an equilibrium state of a cylindrical cover with a filler is investigated at axial compression. Calculations were spent for a case when the cover material was modelled by an elastic body, and a filler material - environment with difficult rheological properties - elastic-viscous-plastic. The estimation of influence on size of critical pressure of parameters of a cover and a filler is given.
Key words: exact three-dimensional equations, stability of balance, cylindrical cover, filler, difficult rheology, axial compression.
”—“ќ…„»¬ќ—“№ ÷»Ћ»Ќƒ–»„≈— ќ… ќЅќЋќ„ » — ”ѕ–”√ќ¬я« ќѕЋј—“»„≈— »ћ «јѕќЋЌ»“≈Ћ≈ћ ѕ–» ќ—≈¬ќћ Ќј√–”∆≈Ќ»»
( √оцев ƒ. ¬., 2G11

пїњ