ПРИЗНАКОВОЕ ОПИСАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ШУМОВ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ БЛИЗОСТИ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОГО СРЕДНЕГО (ФОС)

УДК 621.391.81
В А. ТОБОЕВ, М.С. ТОЛСТОВ
ПРИЗНАКОВОЕ ОПИСАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ШУМОВ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ БЛИЗОСТИ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОГО СРЕДНЕГО (ФОС)*
Ключевые слова: временной ряд, акустический шум, статистика дробных моментов, функции обобщенного среднего, динамический критерий нестационарности.
Предложен новый метод структурного моделирования, позволяющий провести компактное признаковое описание акустических шумов произвольной природы. Метод позволяет находить закономерности в полученном наборе кластеризованных участков шума с целью выявления его значимых информационных составляющих. Для выявления участков стационарности в анализируемых процессах предложен обобщенный динамический критерий, основанный на применении статистики дробных моментов. Обнаружение участков стационарности либо связано с вычислением функции нестационарности yftk, т) в скользящем окне (фрагменте временного ряда, смещающемся вдоль оси времени), либо основано на сравнении в различных временных окнах.
V.A. TOBOEV, M.S. TOLSTOV ATTRIBUTIS DESCRIPTION OF ACOUSTIC NOISE ON THE BASIS OF STATISTICAL AFFINITY OF FUNCTIONS THE GENERALIZED AVERAGE (FGA)
Key words: temporary a series, acoustic noise, statistics of the fractional moments, functions of the generalized average, dynamic criterion nonstationary.
For detection of the stationary segments in the processes analyzed the generalized dynamical criterion is suggested. The detection of these segments is related (a) to calculation of the nonstationary function y(tk, т) in sliding window (it is determined as a fragment of a temporal series that shifts along the time axis or (b) it is based on comparison in different temporal windows (fragments). The new peculiarities of this function are based on the total set of the moments (redundant information). Thanks to this fact it reflects the intermittent dynamics that passes across quasi-stationary segments. It helps to find the statistically close fragments, compare them with the usage of the generalized Pearson correlation function and detect the internal (not imposed by researcher) the diagnosis indications. The analysis of the dynamics of the function y(tk, т) allows in finding the characteristic nonstationary times and to give a possibility for more accurate detection of changing of the intermittent dynamical regimes of the process analyzed.
В основе большинства методов анализа временных рядов лежит априорное предположение о стационарности исследуемого процесса. Однако многие реальные процессы в природе (акустические, радиоастрономические, электрические шумы приборов, физиологические, экономические и пр.) являются нестационарными. К этому приводит наличие в системе процессов, характерный масштаб которых превышает время наблюдения, а также внешние события, приводящие к перестройке динамики процесса (например, отклонения от нормального хода производства в автоматизированных системах управления производственными процессами, адаптация в биологических системах и т.д.). Многие характеристики, рассчитанные в предположении о стационарности ряда, оказываются бессмысленными или недостоверными.
Много усилий исследователей было затрачено на решение проблемы проверки и детектирования стационарности [1, 3-5]. В общем случае стационарность процесса относительно некоторого свойства (например, целые моменты одномерного распределения порядка n) означает неизменность этого свойства во времени. Кроме такой статистической стационарности, связанной с неизменностью законов распре-
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-04-97009 р_Повольжье_а).
деления или их моментов, выделяют динамическую стационарность, означающую неизменность оператора эволюции (движений, процессов). Одна из причин, по которой понятие динамической нестационарности может быть практически востребовано, это - возможность более точного обнаружения момента изменения параметров изучаемого процесса, чем его оценка по статистическим характеристикам [2]. Если при изменении параметров динамический режим системы теряет свою устойчивость, то система может еще некоторое время (по инерции) оставаться в прежнем состоянии. Статистические свойства наблюдаемого ряда при этом сильно не меняются. Однако со временем обязательно установится другой динамический режим, и возникает необходимость прогнозирования возможных изменений совокупности новых состояний исходной системы.
Основная идея исследования подобных процессов (временных рядов) состоит в разделении исходного временного ряда на N сегментов (фрагментов) длиной l < lCT, на которых процесс предполагается стационарным. Затем проводится статистическое оценивание выделенных сегментов по отдельности. Статистические тесты основаны на расчете некоторых количественных параметров (эмпирических моментов, спектров мощности и т.п.) в каждом сегменте lj и последующем сравнении сегментов по близости значений этих характеристик.
При таких расчетах обнаружение нестационарности связано либо с вычислением какой-либо характеристики в скользящем окне (фрагменте временного ряда, смещающемся вдоль оси времени), либо в сравнении характеристик в различных временных окнах. В первом случае если выбранная характеристика меняется слабо и без видимых трендов, ряд считается стационарным, в противном случае - нет. В классической статистике разработаны методы проверки стационарности относительно среднего значения (t-критерий Стьюдента, непараметрический критерий сдвига, критерий инверсий), дисперсии (критерий Фишера, критерий рассеяния), одномерных функций распределения (критерий Вилкоксона) [5, 10]. На основе теории проверки гипотез можно опровергнуть утверждение о стационарности относительно этих величин с заданным уровнем значимости. Во втором случае используют различные меры их статистики (критерии - %2 (хи-квадрат), Крамера - Мизеса, Колмогорова - Смирнова [5]).
В данной работе рассмотрена задача разделения стохастических процессов на группы (классы, кластеры), статистически схожие между собой. Общим подходом к классификации является введение понятия статистической однородности (относительной стационарности) различных фрагментов на основе статистики дробных моментов. Другими словами выделенные фрагменты одного процесса рассматриваются как различные реализации временного ряда, которые с помощью новых количественных характеристик (ФОС и ОФКП) объединяются в кластеры - статистически однородные участки.
Выделение статистически однородных участков в анализируемом процессе. В анализируемом процессе выбирается пробный интервал [tk,tk +т], при этом tk +т <T , где tk = k-Лт, k = 0,1, 2, 3,... Здесь tk- моменты времени, отделенные друг от друга фиксированными интервалами Лт = fdl ( fd1 - частота дискретизации). Временные интервалы т и Лт определяются характерными временами, наиболее важными для динамики измене-
ния исследуемого процесса. Для нестационарного процесса имеется набор характерных временных интервалов т, определяемых его локальной структурой. Для выявления эффектов нестационарности в анализируемых процессах рассмотрим динамику изменения функции нестационарности Г(^, т), при последовательном смещении пробного интервала по всей длине имеющегося экспериментального ряда данных Т или при его разбиении на равные интервалы длительности т (фрагменты), с последующей его оптимизацией.
Для реализаций случайной переменной х(0 из выбранного интервала [?, tk + т] определим абсолютный момент порядкар выражением:
л р(^, т)=Л (х({к+1) -(^|)р, 0 < р <*. (1)
т +1 ~=0
Здесь (х^ обозначает среднее значение случайной переменной в интервале ^к,tk + т], хк+1 = х(^ +1 -Лт), 1 = 0,1,2,..., т , где временной сдвиг т
выражен через время дискретизации (т = т - Лт ).
Для того чтобы выразить все моменты в одних и тех же единицах, определим функцию обобщенного среднего:
Ор , т) = (Др , т)) . (2)
Как было показано в работе [12], ФОС с требуемой точностью может быть подогнана под линейную комбинацию экспоненциальных функций вида
°р (к, т) =
(3)
А> + ^ Ап ехр(-^ир)
. п=1
и случайная переменная в выбранном интервале может быть количественно прочитана в наборе подгоночных параметров (Ак, Хк). Эти параметры позволяют разделить амплитуды случайной переменной на некие оптимальные статистические группы (кластеры), что важно при исследовании динамики нестационарности процесса. Нахождение кластеров позволяет определить во временной области фоновые участки, скрытые периодичности, нехарактерные (маргинальные) особенности и предсказывать возможное поведение анализируемого процесса [7-9].
Для количественного описания участков нестационарности введем функцию:
Др (к+1,т)1/р _ °р (к+1,т)
(4. \ I р\ к+1’ / I р\ к+1’*/
т ( • т)=^-^1 , (4)
где Iк - моменты времени, отделенные друг от друга фиксированными интервалами (4+1 - tk = т), равной длины т. Функция у^к, т) представляет собой отношение ФОС для различных фрагментов одного и того же процесса, и в
случае его стационарности
Др (к ,т) = Др (к+1,т) У (к, т) = 1 (5)
В качестве динамического критерия нестационарности удобно рассматривать следующую функцию:
Г(к,т) = I1-У(к,т)| . (6)
Рис. 1. Определение оптимальной длины фрагментации по минимуму функции Гк(^ т)
Г(/,т) В соответствии с этой формулой
можно ввести три класса нестацио-нарности: Г^к, т) << 1 - слабая,
Г(к, т) «1 - промежуточная, Г(к, т) >> -сильная нестационарность.
Введение подобного параметра позволяет установить тип нестацио-нарности процесса и исследовать его спектральные свойства.
При Ь — 0 коэффициент а определяется значением у^к, т). Задав границы изменения этой функции (например, 0,9 < у^к, т) < 1,1), можно
выделить статистически однородные участки процесса при оптимальной длине участков фрагментации (рис. 1) и оптимизировать начала выбранных фрагментов 4.
В терминах ФОС статистическая близость для двух фрагментов процесса определяется линейной зависимостью [9, 12]
°р (к+р т) - а°р , т) + Ь (7)
Количественное сравнение статистически однородных участков акустического шума. Для количественного сравнения различных участков акустического шума предлагается использовать статистику дробных моментов (СДМ). В рамках СДМ любой участок анализируемого процесса можно выразить с помощью функции обобщенного среднего, введенной формулой (2). Использование ФОС дает возможность найти истинную корреляцию между двумя сравниваемыми участками, если построить эти ФОС друг относительно друга. Если при этом получается отрезок прямой линии, то можно говорить об их статистической близости. Из такого сравнения можно получить три параметра: тангенс угла наклона прямой, который в случае идеального совпадения равен единице или коэффициенту геометрического подобия, если сравниваемые последовательности фрактальны; отсечку прямой, которая в идеале равняется нулю, и величину относительной ошибки подгонки, в идеале равную нулю.
Кроме того, в рамках СДМ можно расширить понятие коэффициента корреляции, введя обобщенную функцию корреляции Пирсона (ОФКП), зависящую от величины момента [16, 22]:
+Г (-<х,»Г 2р - -+- ( -( т +1 1 т +1 1=014
2 р
(8)
где tl и ^ - начала сравниваемых участков, соответствующих выделенным участкам с номерами I и к. Функция Кр (^, tk, т) при определенных значениях р > 0 может иметь минимум Лтщ и стремиться к своему предельному зна-
чению АИт (при р >> 1). ОФКП значительно расширяет пределы применимости общепринятого коэффициента корреляции Пирсона, определенного лишь при р = 1. Функция Кр (гг, 1к, т) помогает также найти
полосу корреляций, которая локализуется между ее минимальным и предельным значениями (рис. 2).
Поэтому в дополнение к трем параметрам, упомянутым выше, для оценки статистической близости двух участков шума можно добавить новый параметр, количественно характеризующий ширину полосы корреляции:
Л= 1 (Ат,п +А„т ). (9)
Рис. 2. Зависимость обобщенной функции корреляции Пирсона от порядка момента р для разных участков, при выбранном значении длительности интервала т, =1п(р). Корреляции: 1 - сильная; 2 - средняя; 3 - слабая
Найденные четыре параметра дают возможность получить статистически однородный кластер параметров, которые в идеале образуют семейство однородных данных по отношению к какому либо внешнему признаку. Такое представление позволяет выделить статистически близкие участки, особенно важные при анализе акустических шумов.
Принципиальное отличие корреляционных параметров, найденных с помощью ФОС и ОФКП, состоит в том, что ОФКП считает корреляции, учитывающие взаимное расположение точек интегрированных последовательностей, а корреляции, найденные с помощью ФОС, считаются безотносительно к взаимному расположению совокупности точек пары сравниваемых последовательностей. Поэтому желательно учитывать эти корреляции одновременно.
Рассмотрение реальных данных. По происхождению различают природные, промышленные и бытовые шумы. К природным относятся шелест листьев, журчание ручья или плеск волн, шум дождя, треск костра, пение птиц и крики животных, свист ветра, раскаты грома и пр. К производственным - шумы станков, мощных вентиляторов, «гудение» сердечников силовых трансформаторов, различных технических устройств в аппаратных залах. К техногенным можно отнести шумы транспортных средств (поездов, трамваев, автомобилей, двигателей самолетов и т.д.). Бытовые шумы создаются голосами людей, звяканьем посуды, действием домашних электроприборов (холодильников, бытовых компьютеров, кондиционеров, пылесосов и др.). Покажем, что все эти шумы могут быть анализированы с единых позиций, основанных на использовании элементов структурного моделирования.
Шум костра. В качестве примера на рис. 3 приведен результат фрагментации фоновых участков шума костра длительностью 1 с. Последовательность сегментов, отмеченные прямоугольниками, соответствует статистически однородным участкам при оптимальном значении длительности разбиения, равным 53 мс. Количественное сравнение участков 1-58 показывает их причастность к фоновым
участкам шума, что подтверждает физическую основу (синхронизованность) выделенных фрагментов. Потрескивание костра характеризуется нерегулярностью и имеет длительность 10-18 мс. Изучение динамики изменения функции нестационарности для участков шума позволяет выделить все характерные признаки (фоновые, трески). Отдельные трески костра представляют пример динамической нестационарности.
Звуковая диагностика двигателя автомобиля. Возможность диагностирования состояний работающего двигателя по производимому акустическому шуму базируется на том, что все детали и элементы двигателя являются источниками вибраций, так как под действием импульсных и периодических механических напряжений в них возникают колебания как с вынужденной, так и с собственной резонансной частотой. Эти вибрации и порождают акустический шум. В результате наложения колебаний множества элементов с меняющейся во времени амплитудой и различными периодами сам суммарный сигнал и его частотный спектр получаются нестационарными. Из них очень сложно выделить устойчивые информационные признаки, по которым можно было бы проводить надежную идентификацию множества состояний двигателя. В работе [5] рассмотрены теоретические и практические предпосылки создания автоматизированных систем диагностики состояний автомобильных двигателей по акустическому шуму и показано, что возможен лишь статистический подход к их созданию. Однако предложенные авторами спектральные подходы не дают достаточной информативности при классификации акустического шума по признаковым особенностям.
Использование статистики дробных моментов к решению данной проблемы имеет то преимущество, что предложенные новые количественные характеристики для выбранных статистически однородных участков шума более устойчивы по сравнению с усредненными и энергетическими спектрами. Рассматриваемый акустический шум двигателя представляет собой временную последовательность без явно выраженного тренда с локальным увеличением амплитуды, которое ассоциируется с особенностями работы двигателя. Проблема, которая будет рассмотрена в этом разделе, формулируется следующим
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Время, с
Время, с
Рис. 3. Статистически однородные участки шума костра (а) и динамика изменения функции нестационарности (б) для участка шума костра длительностью 1 с
образом: выразить оцифрованный акустический шум двигателя, содержащий большое число регистрируемых точек в терминах подгоночных параметров, принадлежащих последовательности ранжированных амплитуд относительных флуктуаций (ПРАОФ). С другой стороны, выделенный участок шума двигателя имеет свой уникальный тренд, если рассматривать интеграл, который вычисляется численно от исходных данных. Помимо этого, можно рассматривать свойства функции нестационарности для определения характерных времен в нестационарном шуме. Поэтому можно предложить следующую процедуру обработки акустических шумов, записанных микрофоном, помещенным под капот автомобиля.
1. Выделение особенностей и выбор оптимальной длины фрагментов (участков) шума. На первом этапе методом рекуррентного интегрирования выявляются основные тенденции изменения амплитудных значений в выделенных участках анализируемого шума по их убыванию или возрастанию. Это позволяет находить статистически однородные участки, сравнивать их по величине функции корреляции и детектировать внутренние (т.е. не навязанные исследователем) диагностические признаки. Они выделяются по последовательности ранжированных амплитуд относительных флуктуаций (ПРАОФ) и трендам, полученным с помощью процедуры оптимального линейного сглаживания по минимальной относительной ошибке (рис. 4). Длина участков фрагментации и корреляционная зависимость между трендами различных участков определяются по обобщенной функции корреляции Пирсона [7].
-і-0,
О ' ОД ' 08 ' 12 ' 1І6 ' 2,0 о ' ОА ' 08 ' 12 ' 16 ' 2,0
Время, с Время, с
Рис. 4. Последовательность выделения относительных флуктуаций: а) исходный акустический шум дизельного автомобильного двигателя (800 об/мин); б) интегрированная последовательность и тренд (усредненное значение); в) относительные флуктуации; г) последовательности ранжированных амплитуд
2. Кластеризация выделенных фрагментов по статистически однородному признаку (признаковое описание). Использование последовательности ранжированных амплитуд позволят выражать количественно относительные флуктуации в терминах некоего «универсального» набора параметров, вхо-
дящих в приближенное аналитическое выражение для ПРАОФ. Огибающие ПРАОФ заменяются подгоночными функциями ^(0 вида [7]:
т
^ (0 = С/'1, (10)
'=1
или
т
^) = С/\ (11)
'=1
Выбор между гипотезами об экспоненциальной или степенной зависимости огибающей ПРАОФ производится по минимальной величине стандартного отклонения и близости к единице коэффициента корреляции Пирсона, вычисляемого для последовательности ранжированных амплитуд и соответствующей подгоночной кривой.
Вычисленные подгоночные параметры функции ^(У) из формул (10), (11) позволяют разделить амплитуды нестационарного шума у* (] = 1,...,N) на некие оптимальные статистические группы с параметрами (Ст, Хт) или (Ст, ат), что соответствует редуцированному (сокращенному) описанию рассматриваемого процесса. Эти параметры позволяют количественно сопоставить произвольные участки акустического шума и разделить их во временной области по признаковым отличиям. Увеличивая число подгоночных параметров, можно при необходимости выявлять количественные различия между двумя участками шума. Если эти различия несущественны, то всегда можно определить доверительный интервал, попадая в который, два сравниваемых участка становятся «неразличимыми». Функция обобщенного среднего, выраженная в терминах высших и дробных моментов, позволяет предсказывать возможное поведение анализируемого случайного шума.
3. Изучение полученных закономерностей на основе кластеризации фрагментов шума и визуализация найденных кластеров методами, упрощающими анализ полученных результатов. Диагностируемых состояний двигателя внутреннего сгорания может насчитываться от десятков до сотен. Поэтому для уверенного распознавания необходимо располагать значительным количеством информативных признаков. Детализация этих признаков достигается путем количественного сравнения параметров подгонки последовательностей ранжированных амплитуд относительных флуктуаций звукового шума двигателя.
Особенностью анализа звукового шума двигателя является то, что основной ритм циклических процессов определяется частотой вращения коленчатого вала. Неисправности в работающем двигателе могут по-разному проявлять себя при различных режимах его работы. В частности, для трех фиксированных значений частоты вращения коленчатого вала (800, 2000 и 3000 об/мин) характерные времена нестационарности равны соответственно 37,5, 15 и 10 мс (рис. 5). Значительный разброс этих значений характеризует изменения общей шумовой картины двигателя. Количественно эти изменения могут быть выявлены из сравнения текущего шума с эталонными значениями, полученными для исправно работающего двигателя, в терминах ФОС и ПРАОФ. Помимо параметров (Ст, ат) для межкластерной классификации по принципу тест-образец могут быть включены функции обобщенного среднего для соответствующих трендов и функции нестационар-
тМ)
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
У('* д)
1,8 2,0 Время, с
ности у(^, т) для выделенных статистически однородных участков.
Это дает возможность использовать динамику общего шума двигателя для определения соответствия его различных состояний условиям эксплуатации автомобиля.
Шум пчелиной семьи в процессе роения. Возможности диагностики физиологического состояния пчелиных семей по структуре генерируемых ими звуков посвящено большое количество специальных исследований [5-6, 17, 1921, 23-25]. Предпринимались также попытки разработки способов акустической диагностики подготовки семей к размножению. В результате установлено, что с этим связаны специфические изменения в спектре акустического шума, генерируемого пчелиными семьями. Но практическое использование этих результатов осложняется их противоречивостью. Так, по данным Е.К. Еськова [6], подготовка пчелиных семей к размножению сопряжена с усилением спектральных составляющих в диапазоне 210-240 Гц. На наличие связанного с размножением более широкого диапазона ранжированных частотных
полос (210-240, 300-330, 390-420, 420-450 Гц) указывает А.Ф. Рыбочкин [17]. В других работах отмечается вначале увеличение спектральной энергии на частоте около 110 Гц, а при приближении вылета роя частотный спектр смещается на 500-600 Гц [19].
Несовпадение результатов акустической диагностики физиологического состояния пчелиных семей можно объяснить в значительной мере использованием методов анализа, не в полной мере отражающих связи между изменениями структуры шума и поведения пчел. Применение для выделения значимых спектральных составляющих фильтрации акустических шумов не позволит отделять звуки, генерируемые пчелами, готовящимися к отделению, от множества их других звуков.
Так как трудно отделить синхронизованные звуки пчел, готовящихся к размножению, от звуков пчел, находящихся в разных поведенческих контекстах (на-
Врсмя, с
Рис. 5. Функция нестационарности для выделенных участков длительностью 2 с при фиксированных скоростях вращения вала дизельного двигателя: а) 800; б) 2000; в) 3000 об/мин.
пример, пчел-вентилировщиц или фуражиров), то влияние последних на нахождение статистически однородных участков должно быть сведено к минимуму. Этим требованиям удовлетворяет общий акустический шум пчел, записанный в ночное время (с 24 до 3 ч утра). Пример выделения статистически однородных участков, несущих в себе диагностическую информацию о роевом состоянии
О 0,2 0,4 0.6 0,8 1,0 1,2 1.4 1,6 1,8 2,0
Время, с
Рис. 6. Выделение статистически однородных участков акустического шума, несущих в себе диагностическую информацию (за 3 дня до выхода роя). топт=100 мс
&
Время, с
У,>
Рис. 7. Динамика изменения усредненных значений (трендов Л) проинтегрированной последовательности (а) для выделенных участков акустического шума и взаимная корреляция ПРА относительных флуктуаций (б): 1 - семья в активном (не роевом) состоянии; 2 - за 10 дней до отделения роевых пчел; 3 - за день
пчел, показан на рис. 6 (участки выделены прямоугольниками). Составленные таким образом фрагменты позволяют с высокой надежностью определять степень готовности к вылету из улья новой семьи.
Исследование в терминах ПРА-ОФ и ФОС акустического шума показывает, что с приближением вылета роя повышается вероятность генерации пчелами статистически однородных участков шума. На это указывает увеличение общей длины таких участков и оптимальной ширины участков разбиения акустического шума на фрагменты топт. К примеру, за 10 дней до выхода роя указанная величина равнялась 48 мс, а уже за день до выхода роя увеличилась до 128 мс. Общая длина статистически однородных участков увеличилась в среднем с 0.3 до 0.5 с на каждые 1 с зарегистрированного акустического шума. По-видимому, это связано с координированным синхронизованным движением крыльев множества особей, составляющих основу будущего роя. Такую же динамику изменения шума пчел подтверждает анализ трендов и функций обобщенного среднего. К моменту выхода роя интегрированные последовательности выделенных участков акустического шума становятся детрендированными, т.е. разброс значений ^ относительно оси абсцисс незначителен (рис. 7, а).
В динамике флуктуаций звукового шума, представленной функциональной зависимостью У„(0) относительно эталонного значения У0, прослеживается увеличение сте-
пени корреляции с приближением дня выхода роя (Yn - относительные флуктуации за n дней до выхода роя (n = 30), Y0 - соответствует ПРАОФ акустического шума в день выхода роя, числовые характеристики которой получены статистической обработкой семей (N > 30), отпустивших рой. Что касается надежности анализа, ее можно оценить по относительной величине тангенса угла наклона прямой и величине отсечки по отношению к ПРАОФ, отнесенного к эталонным значениям ПРАОФ Y0 (рис. 7, б). Так как функции Yn(Y0) различны и ФОС для трендов и относительных флуктуаций шума имеют также разные количественные характеристики, их можно использовать для идентификации и количественной дифференциации роевого состояния пчел. Начало периода размножения определяется по значительному увеличению угла наклона соответствующей прямой, значение тангенса которого становится больше единицы (рис. 7, б).
Динамика изменения этого параметра такова, что с приближением дня выхода роя он стремится к единице. За пять дней до отделения семей среднее значение тангенса угла наклона прямых равнялось 1,12±0,4, а за три дня -1,04±0,02. Для всех восьми семей, отпустивших рои, величина отсечки (значение ординаты прямой в нулевой точке) в эти дни не превышала 0,02±0,01. Из сравнения зависимостей Yn(Y0) можно выделить ещё два параметра: величину относительной ошибки подгонки прямой (5), которая в идеале близка к нулю, и обобщенную функцию корреляции Пирсона (ОФКП), определенную в пространстве дробных моментов и равную в идеале единице [16]. Найденные четыре количественные характеристики шума образуют кластер параметров по отношению к моменту приближения выхода роя.
Для наглядности интерпретации и визуализации роевого состояния по найденным количественным характеристикам построен эллиптический классификатор:
r (ф) = r0 +----Р--------,
a + (1.2 -s) cos ф
х(ф) = r (ф) cos ф, у(ф) = r (ф) sin ф .
Первый параметр (r0) характеризует относительную ошибку подгонки прямой, а параметр s характеризует класс корреляций ОФКП. Величина p равна тангенсу угла наклона при сравнении безотносительных корреляций относительных флуктуаций в системе координат ФОСп-ФОС0 (или Yn-Y0). Параметр a определяет отсечку прямой на оси ординат и выбран так, что при прохождении прямой через начало координат a = 1. О роевом состоянии семьи можно судить по попаданию эллипса, построенного по количественным характеристикам статистически однородных участков соответствующего акустического шума, в заштрихованную область (рис. 8).
Разумеется, полученные выше результаты не решают всех проблем, связанных с размножением пчел, предложенный подход основан на изучении только временной структуры общего шума пчел. Несмотря на информативность коллективного шума, многие вопросы поведения пчел в роевой период остаются неясными. Для исчерпывающего понимания акустической коммуникации пчел требуется расшифровка сообщений и намерений отдельных
особей, передаваемых как с помощью вибраций, так и звуков, распространяющихся по воздуху. Ответ на важный вопрос об их биологическом значении на данном этапе получить нелегко, так как для этого необходимо учитывать «чувственный мир», в котором живут медоносные пчелы.
Заключение. Важным свойством процесса является его стационарность (или нестационар-ность). Ранее при обнаружении нестационарности временной ряд отвергался как непригодный для детального анализа или делился на сегменты, достаточно короткие, чтобы рассматривать их как стационарные. Позднее авторы начали использовать информацию о характере нестационарности как полезную для исследования процесса [10, 18]. В некоторых задачах изменяющиеся свойства процесса представляют собой наиболее интересную часть временного ряда. Чтобы более или менее надежно проверить стационарность процесса по временному ряду, длительность последнего должна существенно превышать все интересующие исследователя временные масштабы колебаний системы [2]. При наличии составляющих с характерными временами порядка длины ряда процесс признается нестационарным. Но зачастую процесс можно считать стационарным и в том случае, когда длина временного ряда существенно меньше характерных времен более медленных процессов в системе. Для нестационарного процесса имеется набор характерных времен т, определяемых динамикой исследуемого процесса. Выявление таких временных интервалов дает возможность более точного обнаружения момента изменения параметров изучаемого процесса.
Статистика дробных моментов, выраженная в терминах ФОС, представляет уникальную возможность сравнивать различные фрагменты случайного процесса и оценивать их статистическую близость друг другу. На этой основе возможны выявление и классификация его внутренней структуры по сравнительно коротким фрагментам, что подтверждается рассмотренными выше примерами реальных акустических шумов. Обнаружение участков стационарности (или нестационарности) связано с вычислением функции Г(^, т), которая выражается через отношение ФОС для различных фрагментов одного и того же процесса. Наличие подобного параметра позволяет установить тип нестационарности процесса и исследовать его характерные свойства на основе экспериментальных данных.
Рис. 8. Эллиптический классификатор определения роевого состояния пчел по акустическому шуму. Эллипсы построены из сравнения ФОС и ПРА относительных флуктуаций акустического шума в зависимости от близости момента выхода роя: 1 - за 20 дней до выхода роя; 2 - за 15 дней;
3 - день выхода роя. Заштрихованная область соответствует акустическому шуму пчелой семьи, готовящейся к размножению (Р)
Литература
1. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей / С.А. Айвазян. М.: Металлургия, 1968. 227 с.
2. Безручко Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.
3. Боровиков В.П. Statistica. Статистический анализ и обработка данных в среде Windows / В.П. Боровиков, И.П. Боровиков. М.: Филинъ, 1997. 608 с.
4. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Г.М. Цветкова. М.: МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2000. 448 с.
5. Дрейзин В.Е. Акустическая динамика автомобильных двигателей / В.Е. Дрейзин, М.М. Касем, Д.С. Сабельников // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2009. № 4. С. 48-54.
6. Еськов Е.К. Структура звукового фона пчелиной семьи / Е.К. Еськов // Зоол. журн. 1972. Т. 51, № 7. С. 1018-1024.
7. Еськов Е.К. Анализ статистически однородных фрагментов акустических шумов, генерируемых скоплениями насекомых / Е.К. Еськов, В А Тобоев // Биофизика, 2010. Т. 55, вып.1. С. 113-125.
8. Еськов Е.К. Экология медоносной пчелы / Е.К. Еськов. Рязань: Русское слово, 1995. 392 с.
9. Кендалл Дж. Статистические выводы и связи / Дж. Кендалл, А. Стьюарт. М.: Наука, 1973. 899 с.
10. Тимашев С.Ф. Фликкер-шумовая спектроскопия: информация в хаотических сигналах / С.Ф. Тимашев. М.: Физматлит, 2007. 248 с.
11. Нигматуллин Р.Р. Универсальная функция распределения флуктуаций сильно коррелированных систем / Р.Р. Нигматуллин // Нелинейный мир. 2007. Т. 5, № 9. С. 572-602.
12. Нигматуллин Р.Р. Что такое КУМа и с чем ее «едят»? / Р.Р. Нигматуллин // Флуктуации и шумы в сложных системах живой и неживой природы / под ред. P.M. Юльметьева, А.В. Мокшина, С.А. Дёмина, М.Х. Салахова. Казань: РИЦ «Школа», 2008. С. 175-216.
13. Нигматуллин Р.Р. Новый подход к анализу сильно коррелированных акустических последовательностей: детектирование состояния пчелиных семей / Р.Р. Нигматуллин, В.А. Тобоев // Нелинейный мир. 2009. Т. 7, № 1. С. 14-27.
14. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика / В.С. Пугачёв. М.: Физматлит, 2002. 496 с.
15. Тобоев В.А. Временная структура акустического шума зимующих пчел / В.А. Тобоев. Пчеловодство. 2009. № 3. С. 28-31.
16. Тобоев В.А. Новый метод статистической обработки временных рядов: исследование коллективного поведения общественных насекомых по их терморегуляторной активности / В.А. Тобоев, Р.Р. Нигматуллин // Нелинейный мир. 2007. Т. 5, № 4. С. 183-193.
17. Рыбочкин А.Ф. Акустический шум семьи - источник информации / А.Ф. Рыбочкин. Пчеловодство. 2007. № 3. С. 15-17.
18. Юльметьев Р.М. Механизмы формирования долговременных корреляций в сложных системах за счет статистических эффектов памяти / Р.М. Юльметьев, П. Ханги // Флуктуации и шумы в сложных системах живой и неживой природы / под ред. P.M. Юльметьева, А.В. Мокшина, С.А. Дёмина, М.Х. Салахова. Казань: РИЦ «Школа», 2008. С. 97-140.
19. Ferrari S. Monitoring of swarming sounds for early detection of the swarming period / S. Ferrari, D. Silva, M. Guarino, D. Berckmans // Computers and Electronics in Agriculture. 2008. Vol. 64. P. 72-77.
20. Frisch K. The dance language and orientation of bees / K. Frisch. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts. 1967.
21. Michelsen A. Sound and irrational signals in the dance language of the honeybee. Apis mellifera /
A. Michelsen, W.N. Kirchner, M. Lindauer // Behav. Ecol. Sociobiol. 1986. Vol.18. P. 207-218.
22. Nigmatullin R.R. The statistics of the fractional moments: Is there any chance to “read quantitatively” any randomness? / R.R. Nigmatullin // J. Signal Process. 2006. Vol. 86. P. 2529-2547.
23. Wenner A. Sound production during the waggle dance of the honey-bee / A. Wenner // Anim. Behav.
1962. Vol. 10. P. 79-95.
24. Wenner A. The elusive honey bee dance “language” hypothesis / A. Wenner // J. of Insect Behavior. 2002. Vol. 15, № 6. P. 859-878.
25. Winston M. The biology of the honeybee / M. Winston. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts. 1987. 294 p.
ТОБОЕВ ВЯЧЕСЛАВ АНДРЕЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (stoboev@gmail.ru).
TOBOEV VYACHESLAV ANDREYEVICH - candidate of physics and mathematical sciences, associate professor of Higher Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
ТОЛСТОВ МИХАИЛ СЕРГЕЕВИЧ - студент IV курса, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (stoboev@gmail.ru).
TOLSTOV MIKHAIL SERGEYEVICH - student, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.