О РАДИКАЛАХ В КАТЕГОРИИ МОДУЛЕЙ НАД CSP-КОЛЬЦОМ

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 Математика и механика № 3(15)
УДК 512.553+512.541
Е.А. Тимошенко О РАДИКАЛАХ В КАТЕГОРИИ МОДУЛЕЙ НАД С8Р-КОЛЬЦОМ1,2
Получено полное описание кручений и кокручений в категории модулей над произвольным СБр-кольцом. Установлено также, что все радикальные классы этой категории замкнуты относительно чистых подмодулей.
Ключевые слова: модуль, радикал, кручение, кокручение, чистый подмодуль, езр-кольцо.
Исторически понятие радикала восходит к работам Ф.Э. Молина, Э.Ж. Карта-на, Ф.Г. Фробениуса и Дж.Г.М. Веддербёрна, выполненным на рубеже XIX и XX веков (подробнее о вкладе каждого из этих математиков см. [1, 2]). В 1960-е годы понятие радикала было распространено на категории модулей (см. [3]).
Данная статья является продолжением работы [4], в которой было получено полное описание радикалов в категории модулей над СБр-кольцом и образуемой этими радикалами решётки. Напомним основные определения и результаты (все остальные договорённости и свойства можно найти в [3, 4]).
Пусть - кольцо и пусть каждому модулю А8 из категории ^-модулей то^ сопоставлен однозначно определённый подмодуль р(А). Будем говорить, что р -идемпотентный радикал в то^, если для всякого ^-модульного гомоморфизма ф: А ^В выполнено ф(р(А)) с р(В) и справедливы следующие свойства:
1) р(р(А)) = р(А) для любого ^-модуля А;
2) р(А/р(А)) = 0 для любого ^-модуля А.
Для идемпотентного радикала (в дальнейшем слово «идемпотентный» часто будет опускаться) р, заданного в то^, назовём р-радикальным класс ^(р) всех модулей А, для которых выполнено р(А) = А. Всякий радикальный класс замкнут относительно гомоморфных образов, расширений и прямых сумм. Заметим, что идемпотентный радикал р однозначно определяется своим радикальным классом. Радикалы можно естественным образом частично упорядочить, условившись, что р < ст тогда и только тогда, когда ^(р) с Я(а). Относительно указанного порядка совокупность всех идемпотентных радикалов категории то^ образует полную большую решётку.
Через Z и Ёр обозначим соответственно кольцо целых чисел и кольцо целых р-адических чисел. Далее, введём обозначения ()р, Z(р) и Z(р“ ) соответственно
для поля р-адических чисел, циклической группы порядка р и квазициклической р-группы (все они естественным образом могут рассматриваться как р-адические модули). Символом будет обозначаться конец доказательства (либо отсутствие доказательства).
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы». Государственный контракт П937 от 20 августа 2009 г.
2 Работа частично профинансирована Федеральным агентством по науке и инновациям России по контракту № 02.740.11.0238.
Для левого модуля SF класс, определяемый условием T(F) = {AS j A ®S F = 0}, обладает всеми свойствами замкнутости, которые необходимы для радикального класса. Соответствующий такому классу идемпотентный радикал будем называть T-радикалом, порождённым модулем F.
Через t(A) обозначим периодическую часть p-адического модуля A.
Теорема 1 [4]. Если S = Zр, то в mod-S существует ровно шесть радикальных
классов:
R„ = {0},
Rm - класс всех периодических делимых S-модулей,
Rl - класс всех периодических S-модулей,
RX - класс всех делимых S-модулей,
R^ = {AS j A/t(A) - делимый S-модуль},
Rv - класс всех S-модулей.
Каждый из этих шести радикальных классов имеет вид T(F ), где F совпадает с одним из модулей Fn = S, Fm = Qp© Z(p), Fi = Qp , Fx = Z(p), F^ = Z(p” ), Fv = 0 соответственно.
Из теоремы 1 получаем, что решётка всех радикалов категории p-адических модулей изоморфна решётке M = {i, m, n, X, ц, v}, где n < m < І < ц < v и m < X < ц, а элементы І и X считаются несравнимыми.
Предложение 2 [4]. Если S является полем либо совпадает с кольцом вычетов по модулю pk (где k > 0), то в mod-S есть ровно два радикальных класса: нулевой класс {0} и класс всех S-модулей.
Таким образом, решётку всех радикалов категории модулей над полем либо кольцом вычетов по модулю pk можно отождествить с двухэлементной цепью { n, v}. Ясно также, что оба указанных радикальных класса можно представить в виде T(F ); достаточно положить F равным модулю Fn = S или Fv = 0.
Пусть P - некоторое бесконечное множество простых чисел. Допустим также,
что для каждого p є P выбрано кольцо Kp , которое может совпадать либо с Zp ,
либо с некоторым кольцом вычетов по модулю pk (для разных простых p число k может быть разным). Через K обозначим прямое произведение колец Kp по всем простым p є P. Далее, пусть I есть идеал кольца K, состоящий из всех элементов кольца, для которых почти все p-координаты равны нулю. Подкольцо S кольца K назовём csp-кольцом, если I с S, а факторкольцо K0 = S/I является полем.
Пусть ep - это элемент идеала I, у которого на p-м месте находится единичный элемент кольца Kp , а на всех остальных местах - нули. Для модуля AS обозначим Ap = Aep и A0 = A/AI. Если X - это конечное подмножество множества P, то сумму всех идемпотентов ep , таких, что p є X, назовём идемпотентом конечного типа с носителем X (для таких идемпотентов будем использовать обозначение є). При этом считаем, что є = 0 - идемпотент с пустым носителем.
Для удобства введём в рассмотрение множество P*, которое получается из P путём присоединения элемента 0. Далее всюду считаем, что S есть csp-кольцо.
Теорема 3 [4]. Пусть R есть некоторый радикальный класс в mod-S. Модуль AS содержится в R тогда и только тогда, когда Ap є R при всех p є P*.
Ясно, что идеал Sp кольца S можно отождествить с кольцом Kp . Поэтому при любом p є P* можно рассматривать Ap как модуль не только над S, но и над Kp . Обратно, всякий ^-модуль можно естественным образом превратить в S-модуль. Это даёт возможность для всякого радикала p категории mod-S рассмотреть класс
Ар-модулей, задаваемый условием Яр = Я(р) П то^Ар . Каждый такой класс будет радикальным в категории то^Ар ; соответствующий ему радикал этой категории обозначим через рр (здесь р е Р*).
Из теоремы 3 следует, что радикал р категории то^ однозначно определён радикалами рр , где р е Р*. С другой стороны, как показано в работе [4], если для каждого р е Р* задан некоторый радикал категории то^Ар , то существует такой радикал р категории то^, что набор (рр}реР* в точности совпадает с исходным набором радикалов. Из теоремы 1 и предложения 2 получаем, что решётка всех радикалов категории то^Ар имеет вид
Отсюда получается следующее утверждение.
Теорема 4 [4]. Решётка идемпотентных радикалов категории модулей то^ изоморфна прямому произведению решёток Мр , где р пробегает множество Р*. Указанное прямое произведение решёток далее будем обозначать через Ь. Кроме того, произвольный радикал р категории то^ является Т-радикалом. Так, для любого р е Р* можно представить рр как Т-радикал категории то^Ар , порождённый некоторым модулем р (последний можно выбрать в виде Рп , т , Рх , Рх , Рц или Ру). Тогда р - это Т-радикал, порождённый ^-модулем
Перейдём теперь к основному содержанию работы. Рассмотрим следующие возможные свойства идемпотентного радикала р категории то^:
1') р(В) = В П р(А) для любого ^-модуля А и В с А;
2') р(А/В) = (р(А) + В)/В для любого ^-модуля А и В с А.
Идемпотентный радикал р называется кручением, если для него выполнено свойство 1'). Известно [3], что радикал является кручением тогда и только тогда, когда его радикальный класс замкнут относительно подмодулей.
Рассмотрим радикальные классы Яр с то^Ар .
Теорема 5. Пусть р - произвольный радикал категории ^-модулей. Класс ^(р) замкнут относительно подмодулей в том и только в том случае, когда при любом р е Р класс Яр = Я(рр) замкнут относительно Ар-подмодулей.
Доказательство. Если Л(р) является замкнутым относительно подмодулей, то замкнутость класса Рр относительно Ар-подмодулей непосредственно следует из равенства Рр = Л(р) П то^Ар .
Обратно, пусть при всех р е Р класс Рр замкнут относительно Ар-подмодулей. Предположим, что А е Л(р), а В - некоторый подмодуль модуля А. В этом случае по теореме 3 имеем Ар е Л(р) П то^Ар = Рр . Тогда из Вр с Ар (где р е Р) следует Вр е Рр с Л(р). Таким образом, модуль В/, который совпадает с прямой суммой модулей Вр по всемр е Р, также входит в класс ^(р). Рассмотрим два случая.
а) Пусть Р0 = то^А0 . В этом случае из включений В/В/ е Я0 с Л(р), а также замкнутости Л(р) относительно расширений следует В е Л(р), что и требовалось.
б) Пусть Я0 = {0}. Вновь применяя теорему 3, получаем, что А/А/ = А0 е Л(р); поэтому имеем включение А/А/ е Л(р) П то^А0 = Я0 . Следовательно, модуль А совпадает с А/, т.е. с прямой суммой модулей Ар по всем р е Р. Это означает, что для любого а е А найдётся идемпотент конечного типа е, такой, что выполнено а = ае е а/. В частности, имеем В = В/ и, значит, В е Л(р). Теорема доказана.
(1)
рєР*
Замечание. В [4] было показано, что для модуля Р вида (1) условие А Р = 0 эквивалентно тому, что при любом р е Р* справедливо Ар Рр = 0 (в последнем равенстве не имеет значения, рассматривается ли тензорное произведение над или над кольцом Ар). Тогда при любом р е Р* имеем для класса Т(Рр) с то^Ар равенство Т(Р ) П то^Ар = Т(Рр).
Теорема 6. Радикал р категории модулей то^ является кручением тогда и только тогда, когда в решётке Ь ему соответствует последовательность а = (ар), содержащая лишь элементы п, I и V.
Доказательство. Для всякого р е Р, как нетрудно видеть, Ар-модули 0 и Ар являются плоскими. Далее, если Ар = Ёр, то ()р является плоским Ар-модулем.
Как отмечалось в [5], для плоского Ар-модуля Рр класс Т(Рр) с то^Ар является замкнутым относительно подмодулей. Пусть а не содержит элементов, отличных от п, I и V, тогда модуль Р, заданный равенством (1), обладает тем свойством, что для любого р е Р модуль Рр е то^Ар является плоским. С учётом теоремы 5 и сделанного после неё замечания получаем, что р - кручение.
Обратно, пусть р - кручение; допустим, что для некоторого р е Р элемент ар последовательности а равен т, X или ц. Тогда р - это Т-радикал, порождённый модулем Р вида (1), причём Рр совпадает с ()р© Z(р), Z(р) или Z(). В первых
двух случаях имеем Z(р°° ) е Т(Рр), Z(р) г Т(Рр), в третьем случае - () е Т(Рр),
И г Т(Рр). Поэтому класс Т(Рр) с то^Ар не является замкнутым относительно
подмодулей, т.е. р не является кручением. Полученное противоречие доказывает теорему.
Идемпотентный радикал р называется кокручением, если для него выполнено свойство 2'). Последнее условие справедливо в том и только в том случае, когда существует идемпотентный идеал 3 кольца , для которого при любом А е то^ выполнено р(А) = А3 [3].
Для любого р е Р идеал 3р выделяется прямым слагаемым в 3. Следовательно, если 3 - идемпотентный идеал, то каждый идеал 3р тоже идемпотентен, т.е. равен Ар или 0. В [6, 7] показано, что идеалы кольца бывают двух типов.
а) Если 3 с /, то 3 совпадает с прямой суммой идеалов 3р по всем р е Р. Ясно, что такой идеал идемпотентен тогда и только тогда, когда он имеет вид
3 =© Ар , (2)
реХ
где X - некоторое подмножество множества Р.
б) Если 3 /, то для некоторого идемпотента конечного типа е выполнено
3 = (1 -е) © (©3р)
реХ
(где X - это носитель идемпотента е), причём можно считать, что при всех р е X имеем 3р Ф Ар . Такой идеал идемпотентен в том и только в том случае, когда
3 = (1 - е). (3)
Теорема 7. Идемпотентный радикал р категории то^ является кокручением тогда и только тогда, когда в решётке Ь ему соответствует последовательность а, содержащая лишь элементы п и V, причём если выполнено а0 = V, то а содержит лишь конечное число элементов, равных п.
Доказательство. Можем считать, что р(А) = А3.
а) Если идемпотентный идеал 3 задан условием (2), то для любого модуля А подмодуль р(А) = А3 совпадает с прямой суммой модулей Ар по всем р е X. Легко проверить, что в этом случае равенство р(А) = А выполнено тогда и только тогда, когда Ар = 0 при всех р е Р* \X. Вспоминая описание идемпотентных радикалов категории то^, получаем, что радикалу р соответствует последовательность а, для которой ар = V при р е X и ар = п, если р е Р* \X.
б) Пусть идеал 3 задан условием (3), тогда для любого ^-модуля А выполнено р(А) = А3 = А(1 - е). Покажем, что р(А) = А тогда и только тогда, когда Ар = 0 при всех р е X (здесь X - носитель идемпотента е).
В самом деле, условие «Ар = 0 при всех р е X» эквивалентно равенству Ае = 0, из которого сразу следует А(1 - е) = А. И обратно, из А(1 - е) = А непосредственно вытекает Ае = 0, что и требовалось. Рассматриваемому радикалу р соответствует последовательность а, у которой ар = п для тех простых р, которые принадлежат конечному множеству X, и ар = V, еслир е Р* \X. Доказательство завершено.
Напомним, что для р-адического модуля А чистым называют всякий его подмодуль В, такой, что В П А( = Bt для любого целого р-адического числа t. Заметим также, что в этом определении достаточно ограничиться рассмотрением случая t = рк, где к > 0.
Кольцом псевдоалгебраических чисел называют всякое СБр-кольцо, такое, что соответствующее поле А0 является конечным расширением поля рациональных чисел. В [8] для модуля А над некоторым кольцом псевдоалгебраических чисел чистым был назван всякий подмодуль В, удовлетворяющий условию В П Ах = В^' для любого элемента х е , который не является делителем нуля. Примем данное определение для случая модулей над произвольным СБр-кольцом .
Теорема 8. Подмодуль В с А$ чист тогда и только тогда, когда для всякого р, такого, что Ар = %, модуль Вр является чистым подмодулем Ё -модуля Ар .
Доказательство. Пусть В есть чистый подмодуль модуля А ; зафиксируем р, такое, что Ар = Ё . Пусть для Ь е Вр выполнено Ь = арк, где а е Ар . Аддитивная
группа кольца не может содержать элементов порядка р, т.е. рк е не является делителем нуля. Следовательно, существует элемент с е В, для которого Ь = ерк. Имеем Ь = Ьер = (сер)рк, где сер е Вер = Вр , что и требовалось.
Допустим теперь, что для всякого р, такого, что Ар = Ёр, подмодуль Вр чист в
р-адическом модуле Ар . Пусть Ь = а^' е В, где а е А, а элемент х е не является делителем нуля. Обозначим через X множество всех простых чисел р, таких, что элемент х'ер не является обратимым в кольце Ар . Ясно, что х г /, поэтому элемент х + / обратим в факторкольце //. Отсюда следует конечность множества X. Кроме того, для всех р е X выполнено равенство Ар = Ёр (иначе элемент х оказался бы
делителем нуля). Через е обозначим идемпотент конечного типа с носителем X.
Можно найти элемент t е Б, такой, что st = 1 - е. Имеем а(1 - е) = а&1 = Ьt е В. Рассмотрим произвольное простое р е X. Для элемента (аер)(хер) = аер х = Ьер е Вр выполнено аерх е Вр П Ар(хер) = Вр(хер). Следовательно, найдётся элемент ср е Вр , для которого аер х = ср(хер) = ср х. Через с обозначим сумму всех элементов ср , где р е X. Тогда для элемента с + а(1 - е) е В имеем
(с + а(1 - е))х = а' + а(1 - е)х = аех + а(1 - е)х = а&' = Ь, т.е. подмодуль В с А8 действительно является чистым.
Замечание. Легко показать, что в категории модулей над СБр-кольцом всякий подмодуль, чистый в смысле Кона, будет чистым (обратное утверждение, вообще говоря, неверно).
В статье [9] доказано, что радикальный класс всякого Т-радикала категории абелевых групп является замкнутым относительно взятия сервантных подгрупп. Поскольку в категории модулей над СБр-кольцом всякий радикал представим как Т-радикал, то аналог указанного результата для СБр-кольца выглядит так:
Предложение 9. Радикальные классы категории то^^ являются замкнутыми относительно чистых подмодулей.
Доказательство. Как уже известно, всякий радикальный класс в то^^ имеет вид Т(Р ), где Р задаётся равенством (1). Пусть В - некоторый чистый подмодуль модуля А е Т(Р ). Последнее включение, как отмечалось перед теоремой 6, эквивалентно тому, что при всехр е Р* выполнено Ар ®8Рр = 0.
а) Предположим сначала, что р = 0 или Ар Ф Ёр. Легко видеть, что модуль Вр
вкладывается в Ар ; можно считать, что справедливо равенство Рр = 0 или Рр = Ар . В первом случае условие Вр ®5 Рр = 0 очевидно, во втором - следует из равенства Ар ®8 Рр = 0, а также того факта, что Ар-модуль Рр является плоским.
б) Допустим теперь, что выполнено равенство Ар = Ёр; тогда Вр есть чистый
подмодуль р-адического модуля Ар и, значит, чистый подмодуль в смысле Кона. Поэтому из условия Ар ®х Рр = 0 следует Вр ®х Рр = 0.
Итак, при любомр е Р* выполнено Вр ®8Рр = 0, т.е. В е Т(Р).
Через л обозначим решёточную операцию пересечения радикалов. В [9] было показано, что «решёточное» пересечение Т-радикалов категории абелевых групп совпадает с «поточечным». Точнее, справедлив следующий факт:
Теорема 10 [9]. Пусть {р,},еУ - некоторое семейство Т-радикалов категории абелевых групп. Тогда равенство
выполнено для любой абелевой группы А.
Аналогичный факт верен и в категории модулей над СБр-кольцом .
Теорема 11. Пусть {р,},еУ - некоторое семейство радикалов категории то^^. Тогда равенство (4) справедливо для любого ^-модуля А.
Доказательство. Обозначим через В подмодуль модуля А, стоящий в правой части (4). Пусть простое число р таково, что выполнено Ар = Ёр. Справедливо
равенство р,(А) = р,(Ар) © р,(А)(1 - ер), поэтому модуль Вр = Вер есть пересечение модулей р,(Ар) по всем I е У. Зная все радикалы категории р-адических модулей, отсюда уже нетрудно получить, что имеет место равенство Вр = а(Ар), где ст - это некоторый радикал указанной категории. Из последнего факта, в свою очередь, легко вывести, что Вр есть чистый подмодуль р-адического модуля Ар .
Получили, что подмодуль В чист в А и, значит, в каждом из модулей р,(А). Все классы Я(р,) замкнуты относительно чистых подмодулей, поэтому модуль В принадлежит каждому из этих классов. Отсюда следует равенство р(В) = В (где р -«решёточное» пересечение радикалов р,- по всем /) и, далее, включение В с р(А). Кроме того, р(А) содержится в каждом из подмодулей р,(А), так что выполнено р(А) с В. Отсюда следует равенство (4).
(4)
Замечание. Аналог теоремы 11 для решёточной операции объединения v уже, вообще говоря, неверен. Так, если р и ст - T-радикалы, порождённые S'-модулями I и S/I соответственно, то имеем (р v ct)(S ) = S Ф I = 0 + I = p(S ) + ct(S ).
ЛИТЕРАТУРА
1. Parshall K. V.H. Joseph H. M. Wedderbum and the structure theory of algebras // Arch. Hist. Exact Sci. 1985. V. 32. No. 3-4. P. 223-349.
2. Бурбаки Н. Алгебра (Модули, кольца, формы). М.: Наука, 1966.
3. КашуА.И. Радикалы и кручения в модулях. Кишинёв: Штиинца, 1983.
4. Тимошенко Е.А. Радикалы в категории модулей над csp-кольцом // Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы 41-й Всероссийской молодёжной конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. С. 85-91.
5. Тимошенко Е.А. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45. № 1. С. 201-210.
6. Крылов П.А., Пахомова Е.Г., Подберезина Е.И. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 47-51.
7. Царёв А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Мат. заметки. 2006. Т. 80. № 3. С. 437-448.
8. Зиновьев Е.Г. Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 2009.
9. Тимошенко Е.А. T-радикалы в категории абелевых групп // Фундам. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 3. С. 193-208.
Статья поступила 13.06.2011 г.
Timoshenko E. A. ON RADICALS IN THE CATEGORY OF MODULES OVER A CSP-RING. We obtain a complete description of torsions and cotorsions of the category of modules over an arbitrary csp-ring. It is also proved that all radical classes of this category are closed under pure submodules.
Keywords: module, radical, torsion, cotorsion, pure submodule, csp-ring.
TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: tea471@mail.tsu.ru.