пїњ

ќ –јƒ» јЋј’ ¬  ј“≈√ќ–»» ћќƒ”Ћ≈… Ќјƒ CSP- ќЋ№÷ќћ

¬≈—“Ќ»  “ќћ— ќ√ќ √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌќ√ќ ”Ќ»¬≈–—»“≈“ј
2011 ћатематика и механика є 3(15)
”ƒ  512.553+512.541
≈.ј. “имошенко ќ –јƒ» јЋј’ ¬  ј“≈√ќ–»» ћќƒ”Ћ≈… Ќјƒ —8–- ќЋ№÷ќћ1,2
ѕолучено полное описание кручений и кокручений в категории модулей над произвольным —Ѕр-кольцом. ”становлено также, что все радикальные классы этой категории замкнуты относительно чистых подмодулей.
 лючевые слова: модуль, радикал, кручение, кокручение, чистый подмодуль, езр-кольцо.
»сторически пон€тие радикала восходит к работам ‘.Ё. ћолина, Ё.∆.  арта-на, ‘.√. ‘робениуса и ƒж.√.ћ. ¬еддербЄрна, выполненным на рубеже XIX и XX веков (подробнее о вкладе каждого из этих математиков см. [1, 2]). ¬ 1960-е годы пон€тие радикала было распространено на категории модулей (см. [3]).
ƒанна€ стать€ €вл€етс€ продолжением работы [4], в которой было получено полное описание радикалов в категории модулей над —Ѕр-кольцом и образуемой этими радикалами решЄтки. Ќапомним основные определени€ и результаты (все остальные договорЄнности и свойства можно найти в [3, 4]).
ѕусть - кольцо и пусть каждому модулю ј8 из категории ^-модулей то^ сопоставлен однозначно определЄнный подмодуль р(ј). Ѕудем говорить, что р -идемпотентный радикал в то^, если дл€ вс€кого ^-модульного гомоморфизма ф: ј ^¬ выполнено ф(р(ј)) с р(¬) и справедливы следующие свойства:
1) р(р(ј)) = р(ј) дл€ любого ^-модул€ ј;
2) р(ј/р(ј)) = 0 дл€ любого ^-модул€ ј.
ƒл€ идемпотентного радикала (в дальнейшем слово Ђидемпотентныйї часто будет опускатьс€) р, заданного в то^, назовЄм р-радикальным класс ^(р) всех модулей ј, дл€ которых выполнено р(ј) = ј. ¬с€кий радикальный класс замкнут относительно гомоморфных образов, расширений и пр€мых сумм. «аметим, что идемпотентный радикал р однозначно определ€етс€ своим радикальным классом. –адикалы можно естественным образом частично упор€дочить, условившись, что р < ст тогда и только тогда, когда ^(р) с я(а). ќтносительно указанного пор€дка совокупность всех идемпотентных радикалов категории то^ образует полную большую решЄтку.
„ерез Z и ®р обозначим соответственно кольцо целых чисел и кольцо целых р-адических чисел. ƒалее, введЄм обозначени€ ()р, Z(р) и Z(рУ ) соответственно
дл€ пол€ р-адических чисел, циклической группы пор€дка р и квазициклической р-группы (все они естественным образом могут рассматриватьс€ как р-адические модули). —имволом будет обозначатьс€ конец доказательства (либо отсутствие доказательства).
1 –абота выполнена при поддержке ‘÷ѕ ЂЌаучные и научно-педагогические кадры инновационной –оссии на 2009 - 2013 годыї. √осударственный контракт ѕ937 от 20 августа 2009 г.
2 –абота частично профинансирована ‘едеральным агентством по науке и инноваци€м –оссии по контракту є 02.740.11.0238.
ƒл€ левого модул€ SF класс, определ€емый условием T(F) = {AS j A ЃS F = 0}, обладает всеми свойствами замкнутости, которые необходимы дл€ радикального класса. —оответствующий такому классу идемпотентный радикал будем называть T-радикалом, порождЄнным модулем F.
„ерез t(A) обозначим периодическую часть p-адического модул€ A.
“еорема 1 [4]. ≈сли S = Zр, то в mod-S существует ровно шесть радикальных
классов:
RД = {0},
Rm - класс всех периодических делимых S-модулей,
Rl - класс всех периодических S-модулей,
RX - класс всех делимых S-модулей,
R^ = {AS j A/t(A) - делимый S-модуль},
Rv - класс всех S-модулей.
 аждый из этих шести радикальных классов имеет вид T(F ), где F совпадает с одним из модулей Fn = S, Fm = Qp© Z(p), Fi = Qp , Fx = Z(p), F^ = Z(pФ ), Fv = 0 соответственно.
»з теоремы 1 получаем, что решЄтка всех радикалов категории p-адических модулей изоморфна решЄтке M = {i, m, n, X, ц, v}, где n < m < ≤ < ц < v и m < X < ц, а элементы ≤ и X считаютс€ несравнимыми.
ѕредложение 2 [4]. ≈сли S €вл€етс€ полем либо совпадает с кольцом вычетов по модулю pk (где k > 0), то в mod-S есть ровно два радикальных класса: нулевой класс {0} и класс всех S-модулей.
“аким образом, решЄтку всех радикалов категории модулей над полем либо кольцом вычетов по модулю pk можно отождествить с двухэлементной цепью { n, v}. ясно также, что оба указанных радикальных класса можно представить в виде T(F ); достаточно положить F равным модулю Fn = S или Fv = 0.
ѕусть P - некоторое бесконечное множество простых чисел. ƒопустим также,
что дл€ каждого p Ї P выбрано кольцо Kp , которое может совпадать либо с Zp ,
либо с некоторым кольцом вычетов по модулю pk (дл€ разных простых p число k может быть разным). „ерез K обозначим пр€мое произведение колец Kp по всем простым p Ї P. ƒалее, пусть I есть идеал кольца K, состо€щий из всех элементов кольца, дл€ которых почти все p-координаты равны нулю. ѕодкольцо S кольца K назовЄм csp-кольцом, если I с S, а факторкольцо K0 = S/I €вл€етс€ полем.
ѕусть ep - это элемент идеала I, у которого на p-м месте находитс€ единичный элемент кольца Kp , а на всех остальных местах - нули. ƒл€ модул€ AS обозначим Ap = Aep и A0 = A/AI. ≈сли X - это конечное подмножество множества P, то сумму всех идемпотентов ep , таких, что p Ї X, назовЄм идемпотентом конечного типа с носителем X (дл€ таких идемпотентов будем использовать обозначение Ї). ѕри этом считаем, что Ї = 0 - идемпотент с пустым носителем.
ƒл€ удобства введЄм в рассмотрение множество P*, которое получаетс€ из P путЄм присоединени€ элемента 0. ƒалее всюду считаем, что S есть csp-кольцо.
“еорема 3 [4]. ѕусть R есть некоторый радикальный класс в mod-S. ћодуль AS содержитс€ в R тогда и только тогда, когда Ap Ї R при всех p Ї P*.
ясно, что идеал Sp кольца S можно отождествить с кольцом Kp . ѕоэтому при любом p Ї P* можно рассматривать Ap как модуль не только над S, но и над Kp . ќбратно, вс€кий ^-модуль можно естественным образом превратить в S-модуль. Ёто даЄт возможность дл€ вс€кого радикала p категории mod-S рассмотреть класс
јр-модулей, задаваемый условием яр = я(р) ѕ то^јр .  аждый такой класс будет радикальным в категории то^јр ; соответствующий ему радикал этой категории обозначим через рр (здесь р е –*).
»з теоремы 3 следует, что радикал р категории то^ однозначно определЄн радикалами рр , где р е –*. — другой стороны, как показано в работе [4], если дл€ каждого р е –* задан некоторый радикал категории то^јр , то существует такой радикал р категории то^, что набор (рр}ре–* в точности совпадает с исходным набором радикалов. »з теоремы 1 и предложени€ 2 получаем, что решЄтка всех радикалов категории то^јр имеет вид
ќтсюда получаетс€ следующее утверждение.
“еорема 4 [4]. –ешЄтка идемпотентных радикалов категории модулей то^ изоморфна пр€мому произведению решЄток ћр , где р пробегает множество –*. ”казанное пр€мое произведение решЄток далее будем обозначать через №.  роме того, произвольный радикал р категории то^ €вл€етс€ “-радикалом. “ак, дл€ любого р е –* можно представить рр как “-радикал категории то^јр , порождЄнный некоторым модулем р (последний можно выбрать в виде –п , т , –х , –х , –ц или –у). “огда р - это “-радикал, порождЄнный ^-модулем
ѕерейдЄм теперь к основному содержанию работы. –ассмотрим следующие возможные свойства идемпотентного радикала р категории то^:
1') р(¬) = ¬ ѕ р(ј) дл€ любого ^-модул€ ј и ¬ с ј;
2') р(ј/¬) = (р(ј) + ¬)/¬ дл€ любого ^-модул€ ј и ¬ с ј.
»демпотентный радикал р называетс€ кручением, если дл€ него выполнено свойство 1'). »звестно [3], что радикал €вл€етс€ кручением тогда и только тогда, когда его радикальный класс замкнут относительно подмодулей.
–ассмотрим радикальные классы яр с то^јр .
“еорема 5. ѕусть р - произвольный радикал категории ^-модулей.  ласс ^(р) замкнут относительно подмодулей в том и только в том случае, когда при любом р е – класс яр = я(рр) замкнут относительно јр-подмодулей.
ƒоказательство. ≈сли Ћ(р) €вл€етс€ замкнутым относительно подмодулей, то замкнутость класса –р относительно јр-подмодулей непосредственно следует из равенства –р = Ћ(р) ѕ то^јр .
ќбратно, пусть при всех р е – класс –р замкнут относительно јр-подмодулей. ѕредположим, что ј е Ћ(р), а ¬ - некоторый подмодуль модул€ ј. ¬ этом случае по теореме 3 имеем јр е Ћ(р) ѕ то^јр = –р . “огда из ¬р с јр (где р е –) следует ¬р е –р с Ћ(р). “аким образом, модуль ¬/, который совпадает с пр€мой суммой модулей ¬р по всемр е –, также входит в класс ^(р). –ассмотрим два случа€.
а) ѕусть –0 = то^ј0 . ¬ этом случае из включений ¬/¬/ е я0 с Ћ(р), а также замкнутости Ћ(р) относительно расширений следует ¬ е Ћ(р), что и требовалось.
б) ѕусть я0 = {0}. ¬новь примен€€ теорему 3, получаем, что ј/ј/ = ј0 е Ћ(р); поэтому имеем включение ј/ј/ е Ћ(р) ѕ то^ј0 = я0 . —ледовательно, модуль ј совпадает с ј/, т.е. с пр€мой суммой модулей јр по всем р е –. Ёто означает, что дл€ любого а е ј найдЄтс€ идемпотент конечного типа е, такой, что выполнено а = ае е а/. ¬ частности, имеем ¬ = ¬/ и, значит, ¬ е Ћ(р). “еорема доказана.
(1)
рЇ–*
«амечание. ¬ [4] было показано, что дл€ модул€ – вида (1) условие ј – = 0 эквивалентно тому, что при любом р е –* справедливо јр –р = 0 (в последнем равенстве не имеет значени€, рассматриваетс€ ли тензорное произведение над или над кольцом јр). “огда при любом р е –* имеем дл€ класса “(–р) с то^јр равенство “(– ) ѕ то^јр = “(–р).
“еорема 6. –адикал р категории модулей то^ €вл€етс€ кручением тогда и только тогда, когда в решЄтке № ему соответствует последовательность а = (ар), содержаща€ лишь элементы п, I и V.
ƒоказательство. ƒл€ вс€кого р е –, как нетрудно видеть, јр-модули 0 и јр €вл€ютс€ плоскими. ƒалее, если јр = ®р, то ()р €вл€етс€ плоским јр-модулем.
 ак отмечалось в [5], дл€ плоского јр-модул€ –р класс “(–р) с то^јр €вл€етс€ замкнутым относительно подмодулей. ѕусть а не содержит элементов, отличных от п, I и V, тогда модуль –, заданный равенством (1), обладает тем свойством, что дл€ любого р е – модуль –р е то^јр €вл€етс€ плоским. — учЄтом теоремы 5 и сделанного после неЄ замечани€ получаем, что р - кручение.
ќбратно, пусть р - кручение; допустим, что дл€ некоторого р е – элемент ар последовательности а равен т, X или ц. “огда р - это “-радикал, порождЄнный модулем – вида (1), причЄм –р совпадает с ()р© Z(р), Z(р) или Z(). ¬ первых
двух случа€х имеем Z(р∞∞ ) е “(–р), Z(р) г “(–р), в третьем случае - () е “(–р),
» г “(–р). ѕоэтому класс “(–р) с то^јр не €вл€етс€ замкнутым относительно
подмодулей, т.е. р не €вл€етс€ кручением. ѕолученное противоречие доказывает теорему.
»демпотентный радикал р называетс€ кокручением, если дл€ него выполнено свойство 2'). ѕоследнее условие справедливо в том и только в том случае, когда существует идемпотентный идеал 3 кольца , дл€ которого при любом ј е то^ выполнено р(ј) = ј3 [3].
ƒл€ любого р е – идеал 3р выдел€етс€ пр€мым слагаемым в 3. —ледовательно, если 3 - идемпотентный идеал, то каждый идеал 3р тоже идемпотентен, т.е. равен јр или 0. ¬ [6, 7] показано, что идеалы кольца бывают двух типов.
а) ≈сли 3 с /, то 3 совпадает с пр€мой суммой идеалов 3р по всем р е –. ясно, что такой идеал идемпотентен тогда и только тогда, когда он имеет вид
3 =© јр , (2)
ре’
где X - некоторое подмножество множества –.
б) ≈сли 3 /, то дл€ некоторого идемпотента конечного типа е выполнено
3 = (1 -е) © (©3р)
ре’
(где X - это носитель идемпотента е), причЄм можно считать, что при всех р е X имеем 3р ‘ јр . “акой идеал идемпотентен в том и только в том случае, когда
3 = (1 - е). (3)
“еорема 7. »демпотентный радикал р категории то^ €вл€етс€ кокручением тогда и только тогда, когда в решЄтке № ему соответствует последовательность а, содержаща€ лишь элементы п и V, причЄм если выполнено а0 = V, то а содержит лишь конечное число элементов, равных п.
ƒоказательство. ћожем считать, что р(ј) = ј3.
а) ≈сли идемпотентный идеал 3 задан условием (2), то дл€ любого модул€ ј подмодуль р(ј) = ј3 совпадает с пр€мой суммой модулей јр по всем р е X. Ћегко проверить, что в этом случае равенство р(ј) = ј выполнено тогда и только тогда, когда јр = 0 при всех р е –* \X. ¬спомина€ описание идемпотентных радикалов категории то^, получаем, что радикалу р соответствует последовательность а, дл€ которой ар = V при р е X и ар = п, если р е –* \X.
б) ѕусть идеал 3 задан условием (3), тогда дл€ любого ^-модул€ ј выполнено р(ј) = ј3 = ј(1 - е). ѕокажем, что р(ј) = ј тогда и только тогда, когда јр = 0 при всех р е X (здесь X - носитель идемпотента е).
¬ самом деле, условие Ђјр = 0 при всех р е Xї эквивалентно равенству је = 0, из которого сразу следует ј(1 - е) = ј. » обратно, из ј(1 - е) = ј непосредственно вытекает је = 0, что и требовалось. –ассматриваемому радикалу р соответствует последовательность а, у которой ар = п дл€ тех простых р, которые принадлежат конечному множеству X, и ар = V, еслир е –* \X. ƒоказательство завершено.
Ќапомним, что дл€ р-адического модул€ ј чистым называют вс€кий его подмодуль ¬, такой, что ¬ ѕ ј( = Bt дл€ любого целого р-адического числа t. «аметим также, что в этом определении достаточно ограничитьс€ рассмотрением случа€ t = рк, где к > 0.
 ольцом псевдоалгебраических чисел называют вс€кое —Ѕр-кольцо, такое, что соответствующее поле ј0 €вл€етс€ конечным расширением пол€ рациональных чисел. ¬ [8] дл€ модул€ ј над некоторым кольцом псевдоалгебраических чисел чистым был назван вс€кий подмодуль ¬, удовлетвор€ющий условию ¬ ѕ јх = ¬^' дл€ любого элемента х е , который не €вл€етс€ делителем нул€. ѕримем данное определение дл€ случа€ модулей над произвольным —Ѕр-кольцом .
“еорема 8. ѕодмодуль ¬ с ј$ чист тогда и только тогда, когда дл€ вс€кого р, такого, что јр = %, модуль ¬р €вл€етс€ чистым подмодулем ® -модул€ јр .
ƒоказательство. ѕусть ¬ есть чистый подмодуль модул€ ј ; зафиксируем р, такое, что јр = ® . ѕусть дл€ № е ¬р выполнено № = арк, где а е јр . јддитивна€
группа кольца не может содержать элементов пор€дка р, т.е. рк е не €вл€етс€ делителем нул€. —ледовательно, существует элемент с е ¬, дл€ которого № = ерк. »меем № = №ер = (сер)рк, где сер е ¬ер = ¬р , что и требовалось.
ƒопустим теперь, что дл€ вс€кого р, такого, что јр = ®р, подмодуль ¬р чист в
р-адическом модуле јр . ѕусть № = а^' е ¬, где а е ј, а элемент х е не €вл€етс€ делителем нул€. ќбозначим через X множество всех простых чисел р, таких, что элемент х'ер не €вл€етс€ обратимым в кольце јр . ясно, что х г /, поэтому элемент х + / обратим в факторкольце //. ќтсюда следует конечность множества X.  роме того, дл€ всех р е X выполнено равенство јр = ®р (иначе элемент х оказалс€ бы
делителем нул€). „ерез е обозначим идемпотент конечного типа с носителем X.
ћожно найти элемент t е Ѕ, такой, что st = 1 - е. »меем а(1 - е) = а&1 = №t е ¬. –ассмотрим произвольное простое р е X. ƒл€ элемента (аер)(хер) = аер х = №ер е ¬р выполнено аерх е ¬р ѕ јр(хер) = ¬р(хер). —ледовательно, найдЄтс€ элемент ср е ¬р , дл€ которого аер х = ср(хер) = ср х. „ерез с обозначим сумму всех элементов ср , где р е X. “огда дл€ элемента с + а(1 - е) е ¬ имеем
(с + а(1 - е))х = а' + а(1 - е)х = аех + а(1 - е)х = а&' = №, т.е. подмодуль ¬ с ј8 действительно €вл€етс€ чистым.
«амечание. Ћегко показать, что в категории модулей над —Ѕр-кольцом вс€кий подмодуль, чистый в смысле  она, будет чистым (обратное утверждение, вообще говор€, неверно).
¬ статье [9] доказано, что радикальный класс вс€кого “-радикала категории абелевых групп €вл€етс€ замкнутым относительно вз€ти€ сервантных подгрупп. ѕоскольку в категории модулей над —Ѕр-кольцом вс€кий радикал представим как “-радикал, то аналог указанного результата дл€ —Ѕр-кольца выгл€дит так:
ѕредложение 9. –адикальные классы категории то^^ €вл€ютс€ замкнутыми относительно чистых подмодулей.
ƒоказательство.  ак уже известно, вс€кий радикальный класс в то^^ имеет вид “(– ), где – задаЄтс€ равенством (1). ѕусть ¬ - некоторый чистый подмодуль модул€ ј е “(– ). ѕоследнее включение, как отмечалось перед теоремой 6, эквивалентно тому, что при всехр е –* выполнено јр Ѓ8–р = 0.
а) ѕредположим сначала, что р = 0 или јр ‘ ®р. Ћегко видеть, что модуль ¬р
вкладываетс€ в јр ; можно считать, что справедливо равенство –р = 0 или –р = јр . ¬ первом случае условие ¬р Ѓ5 –р = 0 очевидно, во втором - следует из равенства јр Ѓ8 –р = 0, а также того факта, что јр-модуль –р €вл€етс€ плоским.
б) ƒопустим теперь, что выполнено равенство јр = ®р; тогда ¬р есть чистый
подмодуль р-адического модул€ јр и, значит, чистый подмодуль в смысле  она. ѕоэтому из услови€ јр Ѓх –р = 0 следует ¬р Ѓх –р = 0.
»так, при любомр е –* выполнено ¬р Ѓ8–р = 0, т.е. ¬ е “(–).
„ерез л обозначим решЄточную операцию пересечени€ радикалов. ¬ [9] было показано, что ЂрешЄточноеї пересечение “-радикалов категории абелевых групп совпадает с Ђпоточечнымї. “очнее, справедлив следующий факт:
“еорема 10 [9]. ѕусть {р,},е” - некоторое семейство “-радикалов категории абелевых групп. “огда равенство
выполнено дл€ любой абелевой группы ј.
јналогичный факт верен и в категории модулей над —Ѕр-кольцом .
“еорема 11. ѕусть {р,},е” - некоторое семейство радикалов категории то^^. “огда равенство (4) справедливо дл€ любого ^-модул€ ј.
ƒоказательство. ќбозначим через ¬ подмодуль модул€ ј, сто€щий в правой части (4). ѕусть простое число р таково, что выполнено јр = ®р. —праведливо
равенство р,(ј) = р,(јр) © р,(ј)(1 - ер), поэтому модуль ¬р = ¬ер есть пересечение модулей р,(јр) по всем I е ”. «на€ все радикалы категории р-адических модулей, отсюда уже нетрудно получить, что имеет место равенство ¬р = а(јр), где ст - это некоторый радикал указанной категории. »з последнего факта, в свою очередь, легко вывести, что ¬р есть чистый подмодуль р-адического модул€ јр .
ѕолучили, что подмодуль ¬ чист в ј и, значит, в каждом из модулей р,(ј). ¬се классы я(р,) замкнуты относительно чистых подмодулей, поэтому модуль ¬ принадлежит каждому из этих классов. ќтсюда следует равенство р(¬) = ¬ (где р -ЂрешЄточноеї пересечение радикалов р,- по всем /) и, далее, включение ¬ с р(ј).  роме того, р(ј) содержитс€ в каждом из подмодулей р,(ј), так что выполнено р(ј) с ¬. ќтсюда следует равенство (4).
(4)
«амечание. јналог теоремы 11 дл€ решЄточной операции объединени€ v уже, вообще говор€, неверен. “ак, если р и ст - T-радикалы, порождЄнные S'-модул€ми I и S/I соответственно, то имеем (р v ct)(S ) = S ‘ I = 0 + I = p(S ) + ct(S ).
Ћ»“≈–ј“”–ј
1. Parshall K. V.H. Joseph H. M. Wedderbum and the structure theory of algebras // Arch. Hist. Exact Sci. 1985. V. 32. No. 3-4. P. 223-349.
2. Ѕурбаки Ќ. јлгебра (ћодули, кольца, формы). ћ.: Ќаука, 1966.
3.  ашуј.». –адикалы и кручени€ в модул€х.  ишинЄв: Ўтиинца, 1983.
4. “имошенко ≈.ј. –адикалы в категории модулей над csp-кольцом // ѕроблемы теоретической и прикладной математики: тезисы 41-й ¬сероссийской молодЄжной конференции. ≈катеринбург: »ћћ ”рќ –јЌ, 2010. —. 85-91.
5. “имошенко ≈.ј. T-радикалы и E-радикалы в категории модулей // —иб. матем. журн. 2004. “. 45. є 1. —. 201-210.
6.  рылов ѕ.ј., ѕахомова ≈.√., ѕодберезина ≈.». ќб одном классе смешанных абелевых групп // ¬естник “√”. 2000. є 269. —. 47-51.
7. ÷арЄв ј.¬. ѕроективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // ћат. заметки. 2006. “. 80. є 3. —. 437-448.
8. «иновьев ≈.√.  ольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними: дис. ... канд. физ.-мат. наук. “омск, 2009.
9. “имошенко ≈.ј. T-радикалы в категории абелевых групп // ‘ундам. и прикл. матем. 2007. “. 13. є 3. —. 193-208.
—тать€ поступила 13.06.2011 г.
Timoshenko E. A. ON RADICALS IN THE CATEGORY OF MODULES OVER A CSP-RING. We obtain a complete description of torsions and cotorsions of the category of modules over an arbitrary csp-ring. It is also proved that all radical classes of this category are closed under pure submodules.
Keywords: module, radical, torsion, cotorsion, pure submodule, csp-ring.
TIMOSHENKO Egor Aleksandrovich (Tomsk State University)
E-mail: tea471@mail.tsu.ru.

пїњ