пїњ

ќѕ“»ћ»«ј÷»я ƒ¬»∆≈Ќ»я  ќ—ћ»„≈— ќ√ќ јѕѕј–ј“ј — ƒ¬»√ј“≈Ћ≈ћ ћјЋќ… “я√» ¬ —»—“≈ћ≈ «≈ћЋя-Ћ”Ќј

”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ » ћќƒ≈Ћ»–ќ¬јЌ»≈
”ƒ  629.78
ќѕ“»ћ»«ј÷»я ƒ¬»∆≈Ќ»я  ќ—ћ»„≈— ќ√ќ јѕѕј–ј“ј — ƒ¬»√ј“≈Ћ≈ћ ћјЋќ… “я√» ¬ —»—“≈ћ≈ "«≈ћЋя-Ћ”Ќј"
© 2006 ќ.Ћ. —таринова —амарский государственный аэрокосмический университет
ќписываетс€ оптимизаци€ законов управлени€ и траекторий движени€ космического аппарата с двигателем малой т€ги, выполн€ющего транспортные задачи в системе "«емл€ - Ћуна". — использованием формализма принципа максимума ѕонтр€гина получены необходимые услови€ оптимальности управлени€ с точки зрени€ быстродействи€. ƒвижение рассматриваетс€ в рамках плоской круговой ограниченной задачи трех тел. ѕолучены решени€ дл€ задач оптимального по быстродействию достижени€ устойчивых точек либрации системы и пролета Ћуны на требуемом угловом рассто€нии. ѕредложен подход к выбору начальных параметров краевых задач.
ƒвижение космических аппаратов ( ј) в системе «емл€-Ћуна традиционно рассчитывалось в рамках теории сфер действи€. Ёто оправдано при использовании двигателей большой т€ги в рамках импульсной постановки баллистических задач. ќднако, при расчете движени€ в системе «емл€-Ћуна  ј с малой т€гой, реактивное ускорение от двигательной системы сравнимо с возмущающими ускорени€ми «емли и Ћуны. ¬ таких услови€х некорректно полагать, что оптимальное управление не зависит от гравитационных воздействий второго прит€гивающего центра. ¬ данной работе рассматриваетс€ проблема оптимального с точки зрени€ быстродействи€ управлени€ и соответствующих ему траекторий движени€ в рамках плоской круговой ограниченной задачи трех тел.
–ассматриваетс€ движение  ј с электрореактивной двигательной установкой (Ё–ƒ”) под действием гравитационных сил прит€жени€ «емли и Ћуны. —читаетс€, что орбиты «емли и Ћуны относительно барицентра системы - круговые, возмущени€ от нецентральности гравитационного пол€ прит€жени€ «емли и других небесных тел не учитываютс€. ¬озмущени€, св€занные с работой двигательной установки, например падение мощности при воздействии радиационных по€сов «емли или ограничени€ на управление, св€занные с особенност€ми углового движени€  ј в данной работе не учитываютс€.
ћатематическа€ модель движени€ и оптимальное по быстродействию управление
ƒвижение аппарата описываетс€ в инер-циальной пол€рной барицентрической системе координат (рис. 1). ќсновна€ плоскость совмещена со средней плоскостью движени€ Ћуны, пол€рна€ ось направлена в этой плоскости в сторону точки весеннего равноденстви€, центр координат находитс€ в центре т€жести системы «емл€ - Ћуна. ѕоложение центра масс  ј относительно барицентра определ€етс€ радиус-вектором √ и пол€рным углом р . –ассто€ние от  ј до «емли и Ћуны
соответственно задаетс€ векторами г« и гЋ .
¬ектор реактивного ускорени€ от т€ги двигателей лежит в основной плоскости, его величина зависит только от массы  ј. Ќаправление ускорени€ задаетс€ углом управлени€ л(), который отсчитываетс€ от радиус-вектора против часовой стрелки. ѕоложение «емли и Ћуны определ€етс€ посто€нными по величине радиус-векторами я« и яЋ и углом
5 , имеющим посто€нную скорость изменени€ щ равную средней угловой скорости движени€ Ћуны по орбите.
¬се фазовые координаты системы привод€тс€ к безразмерному виду. ƒл€ этого все линейные рассто€ни€ относ€тс€ к среднему
 ј
Ћуна
Ѕарицентр «емл€

= 0+ ( \ V
‘ _ г с» г
Ћр _ ”р — г
су V (л \г +   cos(р-3) »л(г ~  cos(р-3))
_--(1 - »л )-3---3-
Ћ г г гл
—уу _-  ”р + ( - ,, ) з ем (р - 3) - »л л ем (р - 3)
_ V1 /"л ) 3 3
(1)
—т а08
л
а0$ л
-COS ј
(1 - т )
а р _
а0$ л
^т ј
(1 - т )
чени€-выключени€ двигателеи;
т _
тп
—(јр) _

—; г
¬ этих обозначени€х рассто€ни€ от  ј до «емли и Ћуны равны соответственно:
гз _д/г2 + ћ2 + 2гя« ^(ј р),
Ђ«
–ис. 1. »нерциальна€ пол€рна€ барицентрическа€ система координат
рассто€нию от Ћуны до барицентра ћл, врем€ к среднему периоду обращени€ Ћуны, ускорение к гравитационному ускорению на орбите Ћуны. ¬ этом случае уравнени€ движени€ имеют вид:
√л г2 + ћл - 2гћла4ј<р). (2)
¬ качестве критери€ оптимальности будем использовать минимальную длительность выполнени€ целевои задачи:
1
т _ | а
^ тт
(3)
¬ведем вектор фазовых координат  ј X _(г, јр, ”г, V р, т) . ‘ормально задача оптимизации описываетс€ следующим образом: требуетс€ определить вектор функций управлени€ и(;)_(ј(:),д(;))т из допустимого множества и, удовлетвор€ющий граничным услови€м X(;0) _ X0 , X(“) _ ’к и
доставл€ющий минимум критерию оптимальности “ при фиксированном векторе
проектных параметрах р _\а0, с}т :
I ор;
()_ aгgminT(и|р _ /хе^0 _ /хе^к _ /хе)
и (;
«десь ”√, V р - компоненты безразмерного вектора скорости  ј относительно барицентра; мл ? 0.0123 - отношение массы Ћуны
к суммарной массе системы «емл€-Ћуна; а0
- номинальное безразмерное ускорение от т€ги двигателей; с - безразмерна€ скорость истечени€ рабочего тела; д - функци€ вклю-
(4)
¬ соответствии с формализмом принципа максимума ѕонтр€гина введем вектор сопр€женных переменных р_(рг, рар, ру, ру, рт
и √амильтониан н _

к —; J

»з услови€ максимума √амильтониана определим оптимальное направление вектора ускорени€ јор* (;) и функции включени€-выключени€ двигателей:
р
относительный расход рабочего тела.
«аменим в уравнени€х (1) угол ц на угол
Ћуна - барицентр -  ј по формуле јр _ р -3 . ƒифференциальное уравнение, описывающее изменение этого угла, примет вид:
Ђѕ јор( _
с^ _
–к2 + –р2

–к2 + –”р2
(5)
+ а

аг =
ч>
5 =
[0, Ћ< 0 11, Ћ > 0 !

Ћо = аг^р- в = ,р2 + р 2, р , –
Ћу :
где
–к2 + –у!
р
Ћ = -т + _ с 1 - т
(6)
—истема сопр€женных уравнений дл€ этой задачи имеет вид:
ср dt
(^2
к »л 3(1- »л \г + ^ —ќ€ лу)ъ
2-+ ~ + 3 г г √3
3 » Ћ (г - я Ћ —ќ« Ћ у )
к
+ р -у +
у г 2
+–к
 г у 3я« (1 - ил )вт Ћу(г + я« соз Ћу)
3иЋRЋ sin Ћ у (г - RЋ соз Ћ у)
д–,
Ћу

= р
/ sin Ћу
-(1 - »л ) 3 3 + -+
( –г = +1 - из услови€ нормировки), чтобы на концах оптимальной траектории выполн€лись начальное и конечное услови€
х(х() ) = х^ ’(“)=’т.
ѕусть стартова€ орбита кругова€, радиусом г0, и положение  ј относительно Ћуны
в начальный момент Ћу0, в этом случае начальный вектор фазовых координат задаетс€
значени€ми
(
X 0 =


 г 0 = 0,
V =
' у 0
V

(8)
¬ зависимости от цели перелета конечные значени€ вектора фазовых координат задаютс€ следующим образом:
1) дл€ задачи достижени€ устойчивых точек либрации системы
3(1 - ил )гр3 sin Ћу(г + я3 со€ Ћу)
+-5-+
’“ =|1,
л
Ћук = + у,  гк = 0,
V. = 1
;(9)
+
»^Ћ €т Ћу 3ил ^Ћ €т Ћу(г - RЋ cos Ћу)
- -1 к

я3 со€ Ћу »лрл со€ Ћу

+
V гз
' Ћ
+ 3я3г €т2 Ћу + 3иля2лг €т2 Ћу^
– dt
' Ћ
V
= - –г + –у.  у ,

– –к/г - 2–,√у - –Ћу
<– _ <–

д–т
т
дх

а05
(1 - т )
–2 + –2
Ч\2 V  г ' .
т,
(7)
“аким образом, задача об оптимальном по быстродействию плоском движении в системе "«емл€-Ћуна" сводитс€ к следующей двухточечной четырехпара-метрической краевой задаче. “ребуетс€ найти такие начальные значени€
2) дл€ пролета Ћуны на заданном угловом рассто€нии Ћук с не фиксированным
вектором скорости  т = ( г“,  ут ) , с учетом
условий трансверсальности дл€ вектора скорости
’т =(1, Ћук, –уг = 0, –у = 0/. (10) д–т г 1
“ак как - 0 , при всех X е [х0, “\, и
дл€ задачи на оптимальное быстродействие расход рабочего тела в конечный момент времени не фиксирован, то, согласно услови€м
трансверсальности, –т (“) = 0 . ѕри х е [0, “)
–т (х) > 0 , поэтому дл€ задачи на оптимальное быстродействие функци€ включени€-выключени€ двигателей, согласно (6) 5(х) = 1, то есть двигатель работает без выключений.  роме того, в силу монотонного убывани€
функции –т (х) удобно использовать эту сопр€женную переменную дл€ выхода из ин-
7'
г
г

2
5
г
г
г
«
г
Ћ
г
3

г
3
3
5
г
г
Ћ
Ћ
3
г
3
г
г
тегрировани€. ќстальные сопр€женные переменные и фазовые координаты могут измен€тьс€ немонотонно, а длительность перелета неизвестна.
„исленные методы, примен€емые при решении
ћоделирование оптимального движени€  ј сводитс€ к решению задачи  оши дл€ системы дифференциальных уравнений движени€ и сопр€женных множителей (1-2), (7) и оптимального управлени€ (5-6). ƒл€ ее решени€ численного решени€ использовалс€ метод –унге- утты 4 пор€дка с посто€нным шагом.
¬ведение расширенного вектора фазовых координат системы
7 = {г, јф, V,, V,, т, –г, –, –√г, –√г, –т }
позвол€ет привести решение двухточечной краевой задачи к решению системы нелинейных уравнений:
/ (7 (/ 0 ))= 0, (11)
где / (г (t 0)) - векторна€ функци€ нев€зок в конечный момент времени завис€ща€ от начальных значений фазовых координат и сопр€женных множителей в начальный момент
времени 7 (/0 ). ƒл€ задачи достижени€ устойчивых точек либрации
/(7/))=(г(“)-1, јф(“)-јфк, г(“), ф(“)-1^,
(12)
а дл€ пролета Ћуны на заданном рассто€нии / (г (/ о)) = (г (“) -1, јф(т)-јфк, –г (“), –^ (“))“.
(13)
≈сли определено начальное значение вектора 7 (/0), удовлетвор€ющее услови€м (11 или 12) с заданной погрешностью при дифференциальных уравнени€х (1-6), то требуема€ задача оптимизации решена.
‘ункци€ нев€зок системы (11) очень чувствительна к начальным значени€м подбираемых параметров 7 и имеют многоэкстремальный, "овражистый" характер.
ƒл€ решени€ системы нелинейных уравнений (11) был использован модифицированный метод Ќьютона с автоматической оцен-
кой сходимости и изменением шага вычислени€ производных и ограничений на приращени€. ƒл€ получени€ решений с различными значени€ми проектных параметров  ј и граничными услови€ми перелетов использован метод продолжени€ по параметру, суть которого изложена ниже.
ѕусть известно решение задачи оптимизации дл€ некоторого фиксированного вектора проектно-баллистических параметров перелета №0 , т.е. известно значение расширенного вектора фазовых координат 7 (/0) доставл€ющего минимум критерию оптимальности “ (ь0). “ребуетс€ найти решение задачи в той же постановке, но дл€ других параметров перелета №* . ≈сли постановка задачи
корректна, то при небольшом отличии №0 от
№* решение задачи оптимизации (4) и критерий оптимальности (3) будут отличатьс€ незначительно.
–азобьем отрезок от №0 до №* на к частей и построим последовательность
Ч Ч ь* - ь № = №0
к
, такую что при I = 0
bi = №0 , а при I = к, bi = №*. “ак как задача оптимизации при №0 решена, то известно
начальное значение вектора 70 . ≈сли считать,
что при незначительном изменении вектора проектно-баллистических параметров значени€ вектора 7 измен€ютс€ линейно, то получим
("1 )= 7(ь√)+ ј (№~ - ь),
где а=(7 (~)-7 ))- (7 - ~;)-1. (14)
Ќаиболее просто формула (13) выгл€дит в случае, когда в векторе bi измен€етс€ только одна переменна€.
¬ работе [2] методика продолжени€ по параметру продемонстрировала высокую эффективность дл€ решени€ задачи об опти-
мальном по быстродействию движении  ј в системе "«емл€-Ћуна" в случае использовани€ усредненных уравнений движени€. ¬ данной работе использование этого метода позволило получить решение поставленной задачи дл€ различных значений проектно-баллистических параметров и граничных условий перелета.
ƒостижение точек либрации системы "«емл€-Ћуна"
–ассматриваетс€ задача достижени€ точки либрации системы «емл€-Ћуна L4 ( ј движетс€ по круговой орбите радиусом равным среднему радиусу орбиты Ћуны, опережа€ ее на 60е). ѕроектные параметры аппарата выбраны близкими к параметрам исследовательского  ј ≈вропейского космического агентства SMART-1: т0 = 400 кг, – = 0,5 Ќ, с = 15 км/с.
ћаневры набора скорости и увеличени€ большой полуоси орбиты аппаратами с двигател€ми малой т€ги на низких околоземных орбитах хорошо изучены, в том числе с учетом возмущений от гравитации Ћуны и других небесных тел; нецентральности гравитационного пол€ и атмосферы «емли. — точки зрени€ вли€ни€ т€готени€ Ћуны на оптимальные законы управлени€ и траектории движени€ интерес представл€ет поведение аппарата на высоких орбитах, поэтому в качестве стартовой рассматриваетс€ кругова€ орбита с большой полуосью а0 = 100000 км.
ƒифференциальные уравнени€, описывающие поведение системы (1-7) позвол€ют осуществить непрерывное изменение параметра второго гравитирующего тела от нул€ до требуемого значени€. Ёто дает возможность использовать в качестве начальных приближений дл€ подбираемых значений сопр€женных множителей результаты решени€ задачи об оптимальном по быстродействию перелете между круговыми, компланарными орбитами при не фиксированной угловой дальности перелета в конечный момент времени. ¬ этом случае, согласно условию трансверсальности –јр (“) = 0 . ≈сли в уравнени€х (1-7) положить иЋ = 0 (гравита-
цию Ћуны не учитывать), то в любой момент времени –јр () = 0 и пор€док краевой задачи
снижаетс€ до трех. –ешение этой задачи и приближенные формулы дл€ начальных значений сопр€женных множителей были получены в работе [1].
»спользу€ метод перемещени€ по гравитационному параметру второго прит€гивающего тела от 0 до лЋ, определ€етс€ измененный вектор 2 (?0) и соответствующее управление и траектори€ движени€ с учетом гравитации Ћуны с некоторой нефиксированной конечной угловой дальностью  ј-Ћуна
јр* (“) =60е. «атем условие трансверсальности в конечный момент времени –јр (т) = 0 замен€етс€ на условие достижени€ требуемой угловой дальности  ј-Ћуна јр(“) = јрк . “еперь, осуществл€€ процедуру перемещени€ по переменной јр(т) от јр* к јрк =60е
можно получить измененный вектор 2 (/0), оптимальные управление и траекторию при требуемых граничных услови€х.
»спользование такой методики позвол€ет не испытывать существенных трудностей в выборе начальных значений сопр€женных множителей дл€ решени€ краевой задачи и получить решени€ дл€ различных граничных условий и проектных параметров  ј.
Ќа рис. 2а показана траектори€, использующа€с€ в качестве начального приближени€ (достижение орбиты Ћуны с нефиксированной угловой дальностью «емл€-Ћуна без учета гравитации Ћуны). Ќа рис. 2б изображена итогова€ оптимальна€ траектори€ достижени€ точки либрации L4, с учетом гравитации Ћуны и с фиксированной угловой дальностью в конечный момент времени
јр(“)= 60∞.
Ќа рис. 3-5 показаны зависимости компонент скорости  ј и сопр€женного
множител€ –јр на оптимальной траектории от угловой дальности перелета. ƒл€ сравнени€ приведены аналогичные зависимости дл€ задачи пролета орбиты
тыс. км
200
0
-200
-400 . км
–ис. 2.
а - траектории достижени€ орбиты Ћуны без учета гравитации; б - оптимальное по быстродействию достижение точки либрации L4 системы "«емл€-Ћуна"

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
-0.01 -0.02 -0.03
0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320 4680 5040 ф , град
–ис. 3. «ависимость безразмерной радиальной составл€ющей скорости Vr от угловой дальности перелета
дл€ задачи достижени€ точки либрации L4

Ћу] та \  ј
\ * - ,
/ / \ \
/ 1 м “
\ Ў л ” )
\ ”/ / /
1 \

4 х орбита Ћуны
-400 -200 0 200 х, тыс
–ис. 4. «ависимость безразмерной составл€ющей скорости Vф от угловой дальности перелета
–‘
0.01 0.005 0
0.005 -0.01 0.015 -0.02 -0.025 -0.03
1 1 1 1 1
/ — уч юто м гр ави гаци и Ћ уны
/ /




Ѕез учета гравитации Ћуных /


0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320 4680 5040 ф , град –ис. 5. «ависимость сопр€женного множител€ PAр от угловой дальности перелета
 
град
140
120 100 80 60 40 20 0

— учетом гравитации Ћуны

  /   1
„/ V \ /\ \ Ћ 41 \
V ” V VI
\
Ѕез уче та г рав1 тац ии Ћ уны >1
1 1 1 1 1
0 360 720 1080 1440 1800 2160 2520 2880 3240 3600 3960 4320 4680 5040 ф , град
–ис. 6. ќптимальна€ программа управлени€, соответствующа€ достижению точки либрации L4 системы "«емл€-Ћуна"
Ћуны без учета гравитации Ћуны использованные в качестве начального приближени€ (штриховые линии). Ќа рис. 6 показана оптимальна€ программа управлени€, соответствующа€ достижению точки либрации L4.
Ќаибольшее вли€ние на оптимальное управление и изменение фазовых координат Ћуна оказывает на последних витках орбиты в моменты своего максимального сближени€ с  ј. ќсобенно заметно это вли€ние на компоненты вектора скорости
(рис. 3-4) и сопр€женный множитель PAр .
ќднако в целом длительность и углова€ дальность перелета, оптимальное управление и траектории движени€ оказались близки к решению, использованному в качестве начального приближени€.
«адача пролета Ћуны на заданном угловом рассто€нии
–ассматриваетс€ задача пролета Ћуны при фиксированном угловом рассто€нии  ј-Ћуна в конечный момент времени. Ќачальные значени€ проектных параметров (кроме т€ги двигателей) и стартовой орбиты выбраны такими же, как дл€ задачи достижени€ точек либрации. Ќоминальна€ т€га двигательной установки увеличена до P = 1 Ќ.
¬ качестве начального приближени€ дл€ решени€ задачи использовано решение задачи о достижении круговой орбиты с радиусом равным среднему радиусу орбиты Ћуны, описанное в работе [1]. »спользование методики перемещени€ по параметру позвол€ет получить решени€ задачи оптимизации дл€ различных граничных условий и проектных параметров  ј.

Ћу] та √ N V
N V
\
 ј к \
1\ 1 1
\\ \\ ї \ 1 1 /
Vї. / у

\ х орбита Ћуны
”,
тыс. км
200
-200
400
-400 -200 0
200
х, тыс. км
х орбита Ћуны -400 -200 0 200 ' хтыс. км
–ис. 7. ќптимальные по быстродействию траектории пролета Ћуны, ј<–к 5 : а) монотонное изменение радиуса орбиты ^ = 39,31 сут, јр0 = Ч43∞ );
б) текущий радиус орбиты превышает радиус орбиты Ћуны ^ = 68,13 сут, јр0 = 87∞)
0
0
ь,
град
280 240 200 160 120 80 40 0
0 225 450 675 900 1125 1350 1575 1800 2025 2250 2475 2700 2925 3150 ф , град
>
\
\
а)


/


–ис. 8. ќптимальна€ программа управлени€, соответствующа€ задаче пролета Ћуны јр  = 5∞ а) монотонное изменение радиуса орбиты ^ = 39.31 сут, јр0 = Ч43∞); б) текущий радиус орбиты превышает радиус орбиты Ћуны ^ = 68.13 сут, јр0 = 87∞)
ѕоказано, что гравитаци€ Ћуны оказывает существенное вли€ние на оптимальный закон управлени€ и соответствующую траекторию движени€. Ќапример, на рис. 7 изображены оптимальные траектории дл€ пролета Ћуны на угловом рассто€нии от нее 5е при старте с круговой орбиты с
от0 =100000 км. —плошной линией показано движение с включенным двигателем и оптимальным законом направлени€ т€ги. ѕунктиром - траектории пассивного движени€  ј после завершени€ целевой задачи и отключени€ двигателей.
«адача оптимизации имеет многоэкстремальный характер. ¬о-первых, существуют различные классы решений, показанные на рис. 7а и 7б: траектории с монотонным изменением радиуса орбиты  ј и траектории с увеличением радиуса траектории существенно больше радиуса орбиты Ћуны.  роме того, в пределах одного класса возможны траектории, углова€ дальность которых отличаетс€ на целое количество витков. ≈стественно, значение критери€ оптимальности полученное дл€ всех этих траекторий различно.
Ќа траектори€х с монотонным изменением радиуса орбиты (рис. 7а),  ј после выключени€ двигателей оказываетс€ захваченным гравитационным полем Ћуны и выходит на замкнутую селеноцентрическую траекторию. Ёти траектории могут использоватьс€ дл€ формировани€ орбиты вокруг Ћуны с заданными параметрами. “раектории
с немонотонным изменением радиуса орбиты (рис. 7б) характеризуютс€ большой относительной скоростью  ј - Ћуна в момент отключени€ двигателей и могут быть использованы дл€ формировани€ траектории возвращени€ к «емле.
Ќа рис. 8. показана программа оптимального управлени€ дл€ монотонных и немонотонных оптимальных траекторий.
“аким образом, предложенна€ методика показала свою эффективность дл€ оптимизации сложных многовитковых траекторий движени€  ј с двигател€ми малой т€ги в поле прит€жени€ двух тел. ѕолученные оптимальные законы управлени€ и соответствующие ему траектории движени€ могут быть использованы дл€ решени€ задач формировани€ заданных селеноцентрических орбит.
—ѕ»—ќ  Ћ»“≈–ј“”–џ
1. —таринова ќ.Ћ. ќптимальное по быстродействию движение между круговыми компланарными орбитами //»звести€ —амарского научного центра –јЌ. 2005. “. 7. є1.
2. M.S. Konstantinov, G.G. Fedotov, V.G. Petukhov, et al. Electric Propulsion Mission to GEO Using Soyuz/Fregat Launch Vehicle. 52 nd International Astronautical Congress. IAF-01-V.3.02, Toulouse, France, October 15, 2001.
OPTIMIZATION OF DRIVING OF A SPACE VEHICLE WITH ION ENGINE IN A SYSTEM "EARTH - MOON "
© 2006 O.L. Starinova
Samara State Aerospace University
The optimization of control lawes and trajectories of driving of a space vehicle with the low-thrust engine fulfilling transport problems in a system the "Earth - Moon" is featured. With use of a formalism of the Pontryagin maximum principle the necessary requirements of an optimality of control are obtained from the point of view of minimum duration. The driving is considered within the framework of a flat circular restricted problem of three body. The solutions for problems optimum on response of reaching of inconvertible points of a libration of a system and flyby of Moon on required angular distance are obtained. The approach to a choice of initial parameters of boundary value problems is offered.

пїњ