пїњ

ќѕ“»ћ»«ј÷»ќЌЌџ≈ ћќƒ≈Ћ» ѕќ—“ј¬ » “ќ¬ј–ќ¬

—оциально-экономические и гуманитарные науки
”ƒ  519.863:658.7.027
ќѕ“»ћ»«ј÷»ќЌЌџ≈ ћќƒ≈Ћ» ѕќ—“ј¬ » “ќ¬ј–ќ¬
A.A. ћицель*, A.A. √ерасимова**, ќ.¬.  аштанова*
* “омский государственный университет систем управлени€ и радиоэлектроники ** “омский государственный университет E-mail: maa@asu.tusur.ru
ѕредлагаютс€ оптимизационные модели поставщика при заданных услови€х проведени€ расчетов с покупателем. –ассмотрены модели, включающие определение условий выполнени€ договора: а) в случае осуществлени€ неоднократных поставок без привлечени€ кредитов; 6) с учетом механизма кредитовани€ поставщика; в) с использованием вексельных расчетов.  ритерий качества моделей рассматриваетс€ с позиции покупател€.
¬ведение
¬ насто€щее врем€ многие организации закупают необходимую продукцию путем проведени€ различных конкурсов (торгов, тендеров). ѕо результатам проведени€ конкурса заключаетс€ договор (контракт) - основной документ, регламентирующий взаимоотношени€ покупател€ и поставщика. ѕри проведении конкурса услови€ поставки предлагаютс€, как правило, покупателем.
ѕо договору поставки одна сторона (поставщик) об€зуетс€ передать товар (продукцию) в собственность другой стороне (покупателю), а покупатель об€зуетс€ прин€ть этот товар и уплатить за него определенную денежную сумму (цену). ѕри этом исполнение покупателем своих об€зательств зависит от наличи€ у него денежных средств. ѕоэтому, возникает задача выбора оптимальных(с точки зрени€ покупател€) условий дл€ заключени€ договоров поставки, при заранее определенном графике поступлени€ оплаты по договору.
–асчеты при исполнении договора могут производитьс€ одним из следующих способов: расчет путем полной предоплаты; полна€ разова€ оплата после исполнени€ об€зательств поставщика по поставке товара; выплата суммы договора в течение срока действи€ несколькими платежами; иные способы расчетов.
”слови€ расчета "по факту поставки" не интересны поставщику. — другой стороны, покупатель дл€ уменьшени€ риска и экономической неэффективности стремитс€ не примен€ть предоплату.
ѕри расчетах путем выплаты суммы договора част€ми, поставщику предоставл€етс€ возможность
получени€ дополнительного дохода по результатам исполнени€ договора за счет реинвестировани€ поступающих средств. ѕоэтому возникает необходимость определени€ условий осуществлени€ поставок таким образом, чтобы доход поставщика по результатам исполнени€ договора составил определенную сумму - премию, установленную в размере некоторого фиксированного процента от суммы договора. ¬еличина этого процента определ€етс€ покупателем и может интерпретироватьс€ как вознаграждение, которое покупатель готов заплатить поставщику за возможно неэффективные дл€ поставщика услови€ заключени€ договора.
¬ статье предлагаютс€ математические модели дл€ определени€ условий поставки товаров в случа€х оплаты в рассрочку равными платежами в течение срока действи€ договора (в том числе с возможностью привлечени€ механизма кредитовани€ поставщика) и выдачи поставщику вексел€.
ќбща€ постановка задачи
ѕусть: срок действи€ договора составл€ет '/Тодинаковых по продолжительности периодов времени; оплата по договору производитс€ равными суммами я в начале очередного временного интервала; поставка товаров по договору осуществл€етс€ т раз в течение срока действи€ договора в заранее оговоренные сроки времени кр (у = 1, т) на сумму в объе-
т
ме ”/ (= N. где N - стоимость товаров по до-
м
говору). ѕоставка производитс€ в начале периода с
номером кр причем до поступлени€ очередного платежа по договору.
ѕолуча€ средства в счет оплаты будущих поставок с начала срока действи€ договора и вплоть до наступлени€ времени поставки, каждый поставщик найдет способ реинвестировани€ получаемых средств. ћы предположим, что по мере поступлени€ денежных средств поставщик будет вкладывать их в основное производство с некоторой рентабельностью г.
ѕри наступлении очередного момента ^ поставщик производит поставку товаров на сумму
(у = 1, т). ѕри осуществлении очередной поставки, существует веро€тность возникновени€ необходимости привлечени€ дополнительных средств. ѕредположим, что поставщик изымает недостающую сумму из собственных оборотных средств, либо берет кредит в размере, необходимом дл€ совершени€ поставки.
«адача состоит в таком планировании объемов (том, чтобы так спланировать объемы) поставок
”] (у = 1 ,т), чтобы: а) обеспечить поставщику возмещение его затрат, св€занных с осуществлением поставок, либо с обслуживанием и возвратом кредита; б) доход поставщика после исполнени€ договора составил величину в размере фиксированной нормы процента /от суммы договора N.
¬еличина /€вл€етс€ тем вознаграждением, которое покупатель готов заплатить поставщику за возможность приобретени€ товаров, работ и услуг до осуществлени€ полной оплаты по договору.
ѕостановка задачи 1: ќпределение условий договора
в случае осуществлени€ неоднократных поставок
ѕри наступлении очередного момента ^ поставщик производит поставку товаров в объеме
”] (” = йќ-
ќпределим размеры сумм 5*., у = 1 ,т которыми располагает поставщик на моменты поставок 4у,у = \,т с учетом всех предыдущих поступлений и расходов.
–ассмотрим формирование суммы . ƒл€ ее определени€ достаточно применить формулу начислени€ сложных процентов [1-3]. Ќаращение будем
проводить по ставке г:
г-к 1 + Ћ
, котора€ уже включа-
€,, =л,1∞(1+0*|"=-€(1+Сћ
1=1
кгко-'
где .V,
- коэффициент нараще-
ни€, &о=1.
—умма средств 5* , которой располагает поставщик ко времени осуществлени€ второй поставки, складываетс€ из следующих составл€ющих: величины денежных средств, которой располагал поставщик после первой поставки, наращенной до момента времени к2 эта величина может быть отрицательной, и ее наращение объ€сн€етс€ необходимостью компенсации упущенной выгоды поставщика); суммы очередных платежей, поступивших поставщику по договору за интервал времени
[,, кг) и вложенных в его основное производство по мере их поступлени€ с доходностью, определ€емой ставкой /.
“аким образом, (
я,, =к +л'о+о*2'*'У-
ѕосле некоторых преобразований последнее выражение примет вид:
1 + /
ƒейству€ аналогично, получим, что к моменту времени последней поставки кт, поставщик располагает суммой денежных средств в размере:
ЋV Ч1с Ч1
т т-1 . \ к -к -/ 1 х/
+Ћ (1 + 0 » Ч X
1=0
I
+
х{≈((1+0С^-,-1)п(1+0^,+
j=1 ' //=у+1
(ќ+ќ^'^-ф-≈^.пќ+ќ"'"'-1-
\ / /=1 /=/+1
у=1 /=”+1
ƒл€ упрощени€ последнего выражени€ выполним следующие преобразовани€:
п =(1+/)^ х
/=7+1
х(1 + ф^' ...(1+,)*--*Ч! =(! + /)*Ђ(1)
”=-1 ' ј-у+1
ет в себ€ рентабельность поставщика {г-норма рентабельности поставщика без учета инфл€ции), и его потери из-за снижени€ покупательной способности денег (Ћ - ожидаемый годовой темп инфл€ции).
Ћ^т
-(! + /)'
;=1
т-2
м
т-1
(1+,√'-1(1+0У'
1=0
=0+0'
т-2
ќ+ќ-ѕ’ќ-ь/√-
=1
т-1
1(1+0'*'+(1+0
Х\*/» ^1
7» *т_]
“огда, с учетом преобразований (1) и (2), выражение дл€ суммы ^ примет вид:
. 1+/ √
I - - ,„
¬се потоки платежей, присутствующие в договоре, приведем к моменту времени совершени€ последней поставки по договору, причем платежи покупател€ рассмотрим как доходные, а поставки товара продавцом - как расходные. ƒл€ этого все платежи, которые имеют место до наступлени€ момента кт, нарастим до него (т.е. до момента времени кт), а все средства, поступающие после совершени€ /и-ой поставки, дисконтируем к моменту времени кт. Ќаращение и дисконтирование будем производить по ставке /.
÷елева€ функци€ дл€ решени€ поставленной задачи представл€ет собой дополнительный доход поставщика, который готов платить покупатель за выполнение предлагаемых условий договора. ѕри анализе поставки с позиции покупател€, мы стремимс€ к некоторому минимальному значению дополнительного дохода поставщика путем нахождени€ оптимальных сроков и объемов поставки. ѕоставленна€ задача относитс€ к задачам нелинейного программировани€ и имеет следующий вид:
(1+ ,/-*Ф у* ≈(,к)гќ,
.м _
у = 1,
/=1
ќ <к<“, к е /.
-> тт,
где ў- величина дополнительного дохода, определ€емого покупателем в размере фиксированного процента от суммы договора;
_1-(1 + /)„ћи+0
дисконтировани€.
коэффициент
ќбъемы ”] и сроки поставок (у = 1 ,т), полученные в результате решени€ этой задачи, будут оптимальными в заданных услови€х.
ѕример
–ассмотрим следующие услови€ заключени€ договора на поставку товаров: срок действи€ договора составл€ет 12 мес., суммадоговора равна 120 тыс. руб., оплата производитс€ ежемес€чно, равными част€ми в течение всего срока действи€ договора. Ќеобходимо определить сроки и объемы поставок таким образом, чтобы после наступлени€ исполнени€ по договору поставщик получил дополнительный доход в размере 5 % от суммы договора. Ќорма рентабельности поставщика составл€ет 30 %, инфл€ци€ составл€ет 10 % (в процентах годовых). –езультат применени€ построенной модели представлены в табл. 1.
“аблица 1. —роки поставки продукции в рассрочку
—роки поставки (номер периода) —тоимость поставки (в тыс. руб.)
–езультат моделировани€ 4 8,8
8 36,8
» 74,4
ƒополнительный доход поставщика 5 % 6 тыс. руб.
ѕостановка задачи 2: ќпределение условий договора с учетом механизма кредитовани€ поставщика
Ќа вышеописанные услови€ накладываетс€ р€д ограничений. ¬ каждый момент ^ поставщик дл€ исполнени€ своих об€зательств по договору может изъ€ть из собственных оборотных средств сумму, не превышающую величины (?, котора€ определ€етс€, исход€ из финансовых возможностей поставщика. ќстальна€ сумма, недостающа€ дл€ осуществлени€ поставки, поставщик берет кредит в размере на срок qj, (/ = 1 ,тп) периодов с кредитной ставкой годовых ÷- однозначно св€заны по длительности с базовыми периодами). ѕогашение кредитов осуществл€етс€ в рассрочку равными срочными уплатами [2, 4, 5]. “огда неизвестными параметрами задачи станов€тс€ не только сроки и объемы со-вершаемых поставок, но также сроки кредитов qJ,{j = \,m).
ѕусть: я - размер разовой выплаты по договору; –,-> 7 = 1:т - объемы поставок; 0-размер суммы собственных средств, которую поставщик может изъ€ть дл€ исполнени€ своих об€зательств по договору. Ёти средства выдел€ютс€ дополнительно, вне зависимости от суммы средств поступивших в счет оплаты договора до рассматриваемого момента времени; - размер кредита, который необходимо вз€ть поставщику в момент времени
–азмер кредита определ€етс€ исход€ из услови€:
¬1 = шах {ќ;  .-я,
т.
где ”] - срочна€ уплата по кредиту в размере ќ', X] - остаток средств у поставщика после совершени€ ;'-ой поставки.
–ассмотрим следующую схему, котора€ описывает все потоки денежных средств, присутствующие при исполнении договора.
+ €

+ 0, -у,
+ €

+ о,
-у,
-V,
їа
< д.
-¬ -≈ч
ќпределим размеры сумм Ѕк,] = \,т, которыми располагает поставщик на моменты поставок кр (у = 1 ,т) с учетом всех предыдущих поступлений и расходов, св€занных с об€зательствами по исполнению договора. Ќа момент времени к},] = \,т -1 сумма Ѕк. включает в себ€ следующие составл€ющие: остаток средств после совершени€ предыдущей поставки, наращенный к моменту времени кр который определ€етс€ как
’м -(1 + г)*7 *н , где /0=0. ¬еличины ’р]~^,т могут быть отрицательными, в этом случае их наращение можно рассматривать как компенсацию упущенной выгоды поставщика; средства, которые поступили в счет оплаты договора за интервал времени [к]_{, наращенные до момента кр
Ћ(1 + /)€кгкм,н где skJ-kJ_vi - коэффициент наращени€; расходы поставщика на интервале времени св€занные с обслуживанием кредитов.
–азмеры этих выплат завис€т от сумм уже вз€тых кредитов. Ёти величины также наращиваютс€ с использованием процентной ставки ѕодобные действи€ объ€сн€ютс€ тем, что расходы по обслуживанию долга непосредственно вли€ют на остаток денежных средств по итогам каждого отдельно вз€того периода времени (мес€ц, квартал, год).
”-1
средств лишь в размере Ѕк. (с учетом собственных средств Ѕк + 0) всю недостающую дл€ совершени€ поставки сумму поставщик берет в кредит.
“аким образом, если ”] - < <2, то брать кре-
дит нет необходимости, и тогда остаток средств после осуществлени€ поставки будет равен ’] = Sk,-”j.Џ противном случае, поставщику необходимо вз€ть кредит в размере = ”/-Ѕк. -() на срок продолжительностью периодов. “огда остаток после поставки будет равен X] =
–ассмотрим состо€ние поставщика к моменту времени кт. –азмер имеющейс€ суммы денег ^ вычисл€етс€ аналогично (у = 1,...,т-\) при ]=т. “о есть,
т-1
/=1
(3)
/=1
где // определ€етс€ как
I, =т\п{к]~км\ц1+к1-км}.
¬еличины равны количеству выплат по кредиту которые совершаютс€ за период времени между двум€ соседними поставками.
“огда, выражение дл€ Ѕ, примет вид:
V
5,. = Ћ√,.,-(1+/)*''*'-' +
ѕо договору поставщик об€зан осуществить поставку в объеме ”р –асполага€ суммой денежных
где //определ€етс€ по формуле
„ ~кт-№я1 +*/ ~кт-\}-
ѕроанализируем потоки денежных средств, которые имеют место после совершени€ последней поставки. ќни представл€ют собой все последующие поступлени€ и расходы, св€занные с исполнением условий договора сторонами, а именно: суммы средств, необходима€ дл€ совершени€ т-ой поставки - ”т; средств, поступающих в качестве оплаты по договору за оставшийс€ период времени [кт; √] (дисконтируютс€ с использованием процентной ставки / к моменту совершени€ последней поставки) Ћ(1 + г)аг_к +1, ; средств на выполнение вз€тых
т-1
кредитных об€зательств (в данном случае
м
√/определ€етс€ как = тах{0;^; +к, -кт}). ¬ыплаты по последнему кредиту, с учетом ограничени€ на его срок, и приведенные к моменту времени кт, составл€ют величину ”та , .
“аким образом, после осуществлени€ последней поставки, все доходы и расходы поставщика могут быть представлены в следующем виде:
  (1 + г) а“^кт+1,, - X , < (4)
1=1
“еперь, с учетом (3), (4), дл€ нахождени€ оптимальных объемов и сроков поставок, а также величин и продолжительности кредитов, задачу можно записать в следующем виде:
( ƒ,,) = (5^- Д) + Ћ(1+0
т
-I
/=1
(1 + г)
“-кт ”,к,ч
“-кт +1, г > тт,
'–(”,к,д)кќ,
”у<л, 7=1, т,
н _
7 = 1,и,
1 г=1
0<qj <T-kj-1, j = 1,т,
ќ <к<“, к^е1.
ѕример
–ассмотрим следующие услови€ заключени€ договора на поставку товаров: срок действи€ составл€ет 12 мес., обща€ сумма договора равна 120 тыс. руб.; оплата производитс€ равными суммами в течение всего срока действи€ договора. Ќеобходимо определить услови€ совершени€ поставок (сроки и объемы) таким образом, чтобы по результатам исполнени€ договора поставщик получил доход в размере 5 % от суммы договора.
Ќорма рентабельности поставщика составл€ет 30 %, инфл€ци€ - 10 % (в процентах годрвых). ѕоставщик устанавливает величину собственных средств, которую он может изъ€ть на уровне
ќ = 10 тыс. руб. ¬сю недостающую дл€ совершени€ поставки сумму поставщик берет в кредит.
–езультат моделировани€ представлен в табл. 2.
ѕостановка задачи 3: ќпределение условий
договора с использованием вексельных расчетов
ѕусть услови€ заключени€ договора поставки имеют следующий вид: срок действи€ составл€ет “ равных по продолжительности периодов времени; оплата по договору производитс€ путем выдачи вексел€. ѕри этом сумма договора N €вл€етс€ номиналом вексел€; поставка товаров по договору осуществл€етс€ ш раз в течение срока действи€ договора в заранее оговоренные сроки времени = 1,т на сумму в объеме ѕоставка производитс€ в начале периода с номером
ѕоскольку сам факт владени€ векселем не приносит поставщику (векселедержателю) никакого дохода, то, будет естественным с его стороны предпри-
н€ть меры по реализации вексел€. ѕусть поставщик учитывает имеющийс€ у него вексель в банке до наступлени€ срока платежа, то есть берет в банке вексельный кредит. ѕри этом он получит от банка сумму, указанную в векселе (јќ, за минусом учетной ставки, комиссионных платежей и других расходов. —умма дисконта, удерживаема€ при учете вексел€, рассчитываетс€ на основе формулы [6-8] с= N-х-п 100-360'
¬ результате учета вексел€ поставщик получит
( х Х 71 Ћ
сумму ћ = џ-— = ћ 1---------------[8].
V 100-360 ^
¬ течение периода времени, оставшегос€ до окончани€ срока действи€ договора, поставщик сможет реинвестировать полученные средства. ѕредположим, что поставщик реинвестирует получаемые средства в свое основное производство и получит с них доход в размере нормы рентабельности своего производства.
«адача состоит в нахождении объемов и сроков осуществлени€ поставок, периода времени до наступлени€ платежа по векселю т, а также момента времени, в который необходимо совершить операцию учета вексел€. ѕри этом после исполнени€ договора поставщик должен получить доход в размере фиксированного процента /от суммы договора, который определ€етс€ покупателем.
ƒл€ корректного анализа всех потоков платежей по договору будем приводить их ко времени окончани€ срока действи€ договора. ѕредположим, что момент совершени€ процедуры учета вексел€ будет совпадать с одним из моментов времени к0 = 1, кх,к2,..., кт, кт+х = “. ƒл€ определени€ момента оформлени€ вексельного кредита, введем в рассмотрение двоичные переменные 1Д которые принимают значени€: 1 - если производитс€ учет вексел€; ќ-в противном случае. ѕри этом на пере-
т+1
менные накладываетс€ ограничение вида X ј =1-
“огда в любой из моментов времени кп
I = 0,т +1 поставщик может получить сумму денежных средств в размере ћ -1г ќпределим размеры сумм Ѕк ,у = 0, їг, которыми располагает поставщик на моменты поставок к,,№,...,к :
1 э 1Т 7 “ѕ
7 = 0, тогда 5^ = ћ /0,
“аблица 2. —роки поставки продукции в услови€х кредитовани€ поставщика
”слови€ осуществлени€ поставок ”слови€ кредитовани€
—роки поставки (номер периода) —тоимость поставки (в тыс. руб.) ¬еличина кредита (в тыс. руб.) —рок кредита (в мес.)
1 14,4 4,4 1
3 12,7 0 0
6 10,3 0 0
9 82,6 24,5 3
ƒополнительный доход поставщика 5 % 6 тыс. руб.
“аблица 3. —роки поставки товаров с использованием вексельных расчетов
”слови€ осуществлени€ поставок
—роки поставок —тоимость поставок
(номер периода) (в тыс. руб.)
1 8,8
2 12
4 41,6
10 57,6
ƒополнительный доход поставщика 5 % 6 тыс. руб.
+ћ-√=ћ±1,(\ + ф-кС - V, (1 + ф-кС t=0 /=1
где  0 = 0.
“огда ко времени окончани€ действи€ договора, в распор€жении поставщика наход€тс€ средства в размере
 -кї)(1+ог'*и+л/-/т+>=
= t[M.I,-Vl](l + i)TkС+M.Im+].
1=0
“еперь, дл€ минимизации дополнительного дохода поставщика, запишем задачу нелинейного программировани€ в следующем виде:
F{k,V,x,I) = {sk^ ~Fwj(l + i)T~km +
+ћ Im+X - Nf -kv-xl-> min,
F(k,V,z,I)>0,
j~ 1 _
0 <Vj<N-Y,Vt, j -1, m, t=1
0 <k<T,
Ij = {ќƒ}, j = 1,m,
m+1
1^ = 1, t>0.
j=0
т ,k-целые
ѕример
–ассмотрим следующие услови€ заключени€ договора на поставку товаров: срок действи€ составл€ет 12 мес.; обща€ сумма договора равна 120 тыс. руб.; выдача вексел€ производитс€ в момент заключени€ договора. Ќеобходимо определить сроки и объемы поставок, период времени до наступлени€ платежа по векселю, а также момент времени, в который необходимо совершить операцию учета вексел€ таким образом, чтобы по результатам исполнени€ договора поставщик получил доход в размере 5 % от суммы договора. Ќорма рентабельности поставщика составл€ет 30 %, инфл€ци€ составл€ет 10 % (в процентах годовых).
–езультат моделировани€ приведен в табл. 3.
ƒл€ исполнени€ описанного выше графика осуществлени€ поставок необходимо: в реквизитах вексел€ поставить срок погашени€ 60 дней (2 мес.); учесть вексель за 30 дней до наступлени€ срока платежа, то есть в начале второго мес€ца.
«аключение
ѕостроенные модели позвол€ют покупателю -плательщику заключать договоры на поставку продукции в соответствии со своими собственными возможност€ми осуществлени€ расчетов. ѕредложенные модели могут примен€тьс€ государственными заказчиками при проведении конкурсов на размещение заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг дл€ государственных нужд.
—ѕ»—ќ  Ћ»“≈–ј“”–џ
1. Ѕалабанов ».“. ќсновы финансового менеджмента:  ак управл€ть капиталом? 2-е издание. - ћ.: ‘инансы и статистика, 1997. - 384 с.
2. ƒомбровский ¬.¬. ћетоды количественного анализа финансовых операций. - “омск: »здательство Ќ“Ћ, 1998. - 104 с.
3. „етыркин ≈.ћ. ћетоды финансовых и коммерческих расчетов. - ћ.: ƒело, 1992. - 320 с.
4. Ѕирман √., Ўмидт —. Ёкономический анализ инвестиционных проектов / ѕеревод с англ. под ред. Ћ.ѕ. Ѕелых. - ћ.: ёЌ»“», 1997. - 631 с.
5. ¬оронцовский A.B. »нвестиции и финансирование: ћетоды оценки и обосновани€. - —ѕб.: »зд-во —анкт-ѕетербургского ун-та, 1998. - 526 с.
6. ¬ексел€, облигации и складские свидетельства: бухучет и налогообложение. - ћ.: Ќалоговый вестник, 2001. - 240 с.
7. ‘ельдман ј.ј., Ћоскутов ј.Ќ. –оссийский рынок ценных бумаг.  нига 1. - ћ.: "јналитика-ѕресс", "јкадеми€", 1997. - 176 с.
8. ‘ельдман A.A. ¬ексельное обращение. –оссийска€ и международна€ практика. ”чебное и справочное пособие. - ћ.: »нфра-ћ, 1995. - 301 с.

пїњ