пїњ

ќѕ“»ћјЋ№Ќќ≈ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»≈ ѕј–јћ≈“–јћ» –ј«Ћјƒ » ¬ «јƒј„≈ ћј —»ћ»«ј÷»» ЁЌ≈–√ќѕ–ќƒ” “»¬Ќќ—“» » –≈«”Ћ№“»–”ёўјя √≈“≈–ќ√≈ЌЌќ—“№ ѕќѕ”Ћя÷»»

1----------------
”ƒ  577.71:519.95
ќѕ“»ћјЋ№Ќќ≈ ”ѕ–јќЋ≈Ќ»≈ ѕј–јћ≈“–јћ» –ј«Ћјƒ » ќ «јƒј„≈ ћј —»ћ»«ј÷»» ЁЌ≈–√ќѕ–ќƒ” “»ќЌќ—“» » –≈«”Ћ№“»–”ёўјя √≈“≈–ќ√≈ЌЌќ—“№ ѕќѕ”Ћя÷»»
ј. ј. Ѕутов, ћ. ј. ¬олков ”ль€новский государственный университет, г. ”ль€новск
–ешена задача оптимального управлени€ параметрами разладки энергопродуктивности. ѕоказана неунимодальность целевой функции при определенных ограничени€х, привод€ща€ к возникновению гетерогенности попул€ции в ходе процессов старени€.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
ќпределение структур попул€ций (выщеление субпопул€ций) и решение обратной задачи Ч идентификации целевой функции на основе анализа структуры Ч оказываетс€ наиболее полезным и актуальным при анализе таких объектов, как системы с разладками. ¬ технических приложени€х момент разладки зачастую интерпретируетс€ как момент перехода прибора или машины в УфорсированнышФ режим работы (например, переход работы двигател€ на бензин с более низким октановым числом), в биологических Ч как момент перехода организма в состо€ние кортизолового стресса, в результате которого может развитьс€ гипертони€ или диабет, и т. п. ¬ качестве момента разладки также может рассматриватьс€ момент дифференцировки тканей, который сопровождаетс€ онтогенетическими событи€ми (например, переходом из личиночной стадии в фазу зрелого организма). ¬о многих таких случа€х после разладки приближаетс€ момент выхода из стро€ или смерти (и, таким образом, мен€етс€ скорость старени€ организмов), но увеличиваетс€ веро€тность выполнени€ основных функций в текущий момент. ¬озможность этого увеличени€ веро€тности и трактуетс€ здесь как исходна€ предпосылка формулировки задачи оптимального управлени€ параметрами разладки (моментом перехода в форсированный режим и его интенсивностью).
«јƒј„ј ќѕ“»ћјЋ№Ќќ√ќ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я ѕј–јћ≈“–јћ» –ј«Ћјƒ »  ј  ћќƒ≈Ћ№ —“ј–≈Ќ»я ќ–√јЌ»«ћќ¬
¬ насто€щей работе предлагаетс€ следующа€ постановка задачи: управление моментом разладки с целью оптимизации целевой функции; при этом целева€ функци€, завис€ща€ от показателей смертности, определ€ет структуру формируемой попул€ции. «адачи в такой по-
становке восход€т к анализу управл€емых моментов остановки (см. работы [1Ч9]). ќсновное отличие заключаетс€ в том, что мы рассматриваем не только управление моментами остановки, но и управление поведением случайных процессов, характерным дл€ систем с разладками.
¬ биологии часто рассматриваютс€ физиологические показатели, которые до момента нарушени€ нормального состо€ни€ (момента разладки) наход€тс€ около своего среднего значени€, а затем начинают расти до пересечени€ критической границы, после чего и наступает смерть организма (либо в иных приложени€х Ч разрушение системы). ¬ попул€ционной биологии естественно возникает задача максимизации средней энергопродуктивности в течение всей жизни организмов. “еоретические результаты в области оптимизации квадратичных стохастических целевых функций были получены в работе [10].
јнализ задачи максимизации энергопродуктивности показал наличие при некоторый параметрах двух локальных максимумов построенной целевой функции, что объ€сн€ет наблюдаемую природную неоднородность (гетерогенность) рассматриваемой попул€ции. »з этого следует, что она делитс€, по крайней мере, на две группы (соответствующие этим экстремумам): особи, у которых аллостатическа€ болезнь развиваетс€ с большой скоростью (но момент заболевани€ наступает в старших возрастах), и особи с рано возникающими (но медленно текущими) хроническими заболевани€ми. ” первой группы момент разладки наступает позже, чем у второй, но скорость развити€ заболевани€ выше после разладки, чем у хронически больных. ” хронических Ч скорость меньше, но момент разладки наступает в начале жизни. ƒанное утверждение может быть биологически обосновано дл€ болезней адаптации. ¬ качестве примера гетерогенности попул€ции можно рассмотреть деление митохондрий на две группы, которые формируютс€ по
541
сотоњ  —≤≈»—≈  Щ 4 Х 2004
стратеги€м выработки энергии в организме (см., например, статью [11]).
¬ случае гибели организмов в момент пересечени€ некоторой границы случайным процессом с разладкой возникает р€д задач, св€занных с выбором такого момента, целевыми функци€ми, определ€емыми такими процессами, эволюционным отбором по стратеги€м разладок и др.
ѕусть процесс с разладкой X = (’)( ќ 0 записываетс€ в классическом виде (см., например, работу [3]):
Ћ’( = а1(? > 9)Ћ? + , (1)
где 9 Ч детерминированный момент разладки, а Ч скорость нарастани€ энергопродуктивности, I Ч индикаторна€ функци€, принимающа€ значени€ 0 или 1, : Ч стандартный винеровский процесс. ѕусть момент смерти (выгхода из стро€) т наступает при выполнении услови€
т = : I ќ 0, X? = 1}. (2)
¬озникает задача нахождени€ максимума целевой функции:
т
ћ = ≈ √ ’Ћ + р≈т о тах, (3)
! 1 а, 9
0
где р Ч неотрицательный коэффициент.
“аким образом, функци€ /(?) = ’( + р представл€ет собой вырабатываемую мощность в момент ?, а ее инте-
т
грал м = √ /(V) Ћ€ Ч совокупную выработанную энергию
0
за все врем€ жизни. «аметим, что целева€ функци€ м €вл€етс€ компромиссной в энергопродуктивности и продолжительности жизни. ≈е оптимизаци€ осуществл€етс€ на основе решени€ задачи управлени€ моментом разладки 9 и скоростью а роста энергопродуктивности.
Ёта задача соответствует эволюционно обусловленному режиму максимальной совокупной (за все врем€ жизни индивидуума) энергопродуктивности. “ака€ постановка задачи также находит экспериментальное подтверждение при изучении уровней плодовитости и продолжительности жизни насекомых [12]. ¬ приведенных обозначени€х справедлива следующа€
“еорема. ƒл€ целевой функции м существует область значений параметра р е (—; 0,5], — < 0,5, в которой существуют два локальных максимума м при 9 е [0; +да). ƒоказательство теоремы см. в ѕриложении. Ќасто€ща€ теорема может служить основанием и дл€ решени€ обратной задачи Ч идентификации целевой функции Упо итогамФ формировани€ неоднородный попул€ций. ѕри этом допускаетс€ следующа€ гипотеза. »сход€ из экспериментально установленных параметров 9, а и линейно го приближени€ целевой функции (3), определ€ютс€ ее максимумы. ѕоложени€ полученных максимумов целевой функции соответствуют положени€м максимумов функции распределени€ индивидуумов в попул€ции. ¬ результате эволюционного отбора в попул€ции будет больше всего индивидуумов, характеристики которых соответствуют этим максимумам; таким образом, определ€етс€ структура попул€ции.
√лавный результат теоремы состоит в том, что полученна€ гетерогенность была вы€влена при абстрактном
рассмотрении попул€ции (не бышо прив€зки к экспериментальным данным).  ажуща€с€ простота и линейность (по параметрам и процессам) в постановке задачи (3) обманчива Ч решение существенно нелинейно и вид целевой функции подтверждает это. “аким образом, этот подход можно применить и при решении других задач, в которых присутствуют процессы с разладкой, и можно предположить, что рассматриваема€ система распадаетс€ на несколько подсистем. Ќапример, при анализе данных по экспрессии генов: до моментов смены онтогенетических фаз в организме (моментов разладки) определ€ютс€ группы генов, вместе экспрессирующиес€ или супрессирующиес€, после моментов разладки Ч гены могут переходить в другие группы или образовывать новые. ѕри этом необратимые нарушени€ (выбывание объекта) в геноме происход€т при пересечении процессом экспрессии некоторой критической нижней или верхней границы. ≈сли гены распредел€ютс€ в соответствии со значени€ми целевой функции, то состав группы может быть определен. ¬озникновению подгрупп (т. е. структуры) соответствует наличие нескольких локальных максимумов целевой функции.
«ј Ћё„≈Ќ»≈
√лавный резулытат насто€щей работы заключаетс€ в выводе (в форме теоремы) о существовании (при определенный ограничени€х) двух локалыных максимумов целевой функции Ч кумул€тивной энергопродуктивности. ѕри этом текуща€ мощносты предполагаетс€ классическим процессом с разладкой.
»з теоремы вытекает следствие, состо€щее в том, что по значению параметра р можно определиты значени€ параметров целевой функции 0 и а. Ёто позвол€ет осу-ществиты идентификацию целевой функции (решение обратной задачи). ¬ случае, когда эволюционное развитие завершено и известно распределение индивидуумов в попул€ции, можно сделаты предположение о соответствии максимумов функции распределени€ и целевой функции. ¬ этом случае, учитыва€ линейное приближение целевой функции (3), можно установиты ее параметры.
ѕ–»Ћќ∆≈Ќ»≈
ƒоказатель ство теоремы. »сследуем с помощью семимартингальных методов распределение т Ч момента пересечени€ границы процессом с разладкой. Ќайдем:
“ /“ј0 “ \
≈|’^ = ≈I √ ’(Ћ + √ ’^1 . (4)
0 ^ 0 т а 9 '
”читыва€ выражени€ (1) и (4), получаем
“ I “ а9 Ћ
≈√’^ = ≈I ’т ј 9(т а 9) - √ sdWs I +
0 ^ 0 '
+ ≈|’““ - X ј 9(т ј 9) - √ €Ћ’5Ћ.
т а9
¬ силу того, что дл€ мартингала : математическое
т а9
ожидание ≈ | = 0, а значение процесса ’( = 1 при
0
ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я є 4 Х 2004
155
а ќ 0 (так как после пересечени€ границы процесс X равен этой границе), запишем (т а 9 означает тш{т, 9})
т
≈ √ = ≈ (’т ј 9(т а 9)) + ≈ (т - ’т ј 9(т а 9)) -
- ≈
≤ t(aI(t O е) dt + dWt
т2 е2)) = |т Ч а ≈(т2 _ е2)+
= ≈т - ≈ [1(т>9)а[2 _ 52^ = ≈т - а ^ 1 2 ц ; . (5)
2
«аметим, что ≈’т = ≈’( = 1, так как ’{ = 1. ¬ свою
очередь, ≈’т2 записываетс€ в виде: ≈’т2 = ≈(а(т - 9)+ +
+ :т)2 = ≈(а2((т - 9)+)2 + 2а(т - 9)+ Х : + ∆т2.
ѕодставим в выражение (1) ? = т и получим, что : = 1 - а(т - 9)+. ¬озьмем математическое ожидание : и получим, что 1 = а≈ (т - 9)+ (≈: = 0, поскольку ≈т < да). ”читыва€ эти преобразовани€, получаем
≈’т2 = ≈ (а2((т - 9)+)2 + 2а(1 - а(т - 9)+)(т - 9)+ +
+ Wj = ≈I 2а(т - е)+ - а2((т - е)+)2 + ≤2 WsdWs + т
= 2 - а2≈ ((т - е)+)2 + ≈т = 2 - а2≈ ((т - 0)+((т + е) -- 2е)) + ≈т = 2 - а2≈((т2 - е2)+ - 20(т - е)+) + ≈т = = 2 Ч а2≈(т2 Ч е2)+ + 2ае + ≈т.
—ледовательно,
≈(т2 _ е2)+ = 1 ^ е ^ ≈т
аЧЧгЧЧ = Ч + е + Ч .
2 2а 2а
(б)
»з выражений (5) и (б) получаем
≈ ≤ = ≈т - 2≥ Ч е Ч е- =
ќ
= ≈т (1 _ 2- Ч 2а Ч 0 (7)
Ќайдем величину ≈ . ѕредставим в виде
т = ((т - е)+ + 0)I(т > е) + т I(т P е) =
= (т - е)+ + OI(т > е) + т I(т P е).
“огда
1 е
≈т = 1 + 0(1 - F(T)) + ≤ xdF(x), (8)
ќ
где F(x) Ч функци€ распределени€ первого момента пересечени€ границы винеровским процессом F(x) =
x l _2L
= P( sup W O 1) = ≤ ^ е Ldv. »сход€ из того, что
ќ dLdx oT2S7
≤ xdF(x) = 0F(0) Ч ≤ F(x)dx, запишем выражение (8) в виде
≈т = - + 0 Ч
0 - 0F(0) + 0F(0) - ≤ F(x)dx =
ќ
1 + f (1 - F(x))dx = 1 + ≤ G (x)dx, (9)
аа
где G (x) = 1 Ч F(x). “аким образом, из выражений (7) и (9) получаем
е ≥ X,dt = ≥ - +
ќ 1 ќ
l
≤ G(x)dxY 1 _ 2-
l
| ^ 2a1 2a
и целева€ функци€ принимает вид
- 0,
м = If xtdt + p≈т = I 1 + ≤ G(x)dx\ ≥ 1 _ 2-

1 Ч 0 + p [ a + f G (x)dx | =
ќбозначим V = 1/а, тогда полученна€ целева€ функци€ записываетс€ как
м = Iv + f G(x)dx| ≥ 1 + p _
ѕриравн€ем нулю частные производные целевой функции м по 9 и V дл€ последующего нахождени€ ее экстремумов:
|о = G(о) (1 + p _ v) - 1 = 0
(10)
I = (1 + p _ 2\ - 1 I v+≤ G(x)dx^ - 1 = 0. (ll)
ќ
¬ыразим v из уравнени€ (11): v = 2 + p Ч 1 f G(x)dx;
подставим в уравнение (10):
G(0*) = 2
l е* -
+ p + Ч f G(x)dx
(12)
¬ соответствии с функцией распределени€ первого момента пересечени€ границы винеровским процессом функци€ — ([) принимает вид (по определению (2) граница дл€ процесса ’ = (’)( ќ 0 равна 1):
о 1 _-
G(0) = 1 - F(0) = ≤ - f Ч1Ч е 2tdt.
0 л/2€“«
¬ыразим p из формулы (l2):
p = 2
« 1
G(0*) 2 2
2 ≤ G(x)dx.
(1«)
(14)
ѕодставим формулу (1«) в выражение (14): Д _ 1 -,_! p = 2 1
/ 9* _1 9* _1 Ћ
- I [о* - 9* ( Че 2СЋ< +√ Че 21Ћ1\. (15) 21 ^ 0 ^ >
ѕодсчет интегралов в формуле (15) производилс€ численным методом. –ассматрива€ поведение целевой
56
CONTROL SCIENCES є а Х 2004
функции м(9, V) при различных значени€х параметра р, приходим к выводу, что при р е (—; 0,5] и ограничении 9 ќ 0 целева€ функци€ м имеет три точки, подозрительные на экстремум. ¬ыполнив численный анализ их окрестностей, получим, что две из них €вл€ютс€ локальными максимумами, а треть€ Ч седлова€ точка.
“аким образом, численно установлено, что целева€ функци€ имеет два локальный максимума при № е (—; 0,5] и значение константы — = 0,445 ± 0,0001. ѕри значени€х р – — единственный локальный максимум целевой функции находитс€ при 9 = 0. ѕри р > 0,5 целева€ функци€ имеет один локальный максимум при 9 ќ 0. “еорема доказана.
Ћ»“≈–ј“”–ј
1. Ўир€ев ј. Ќ. Ќекоторые точные формулы в задаче о разладке // “еори€ веро€тностей и ее применение. Ч 1965. Ч “. 10, вып. 2. Ч —. 380Ч385.
2. Ўир€ев ј. Ќ. ќб оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружени€ // “еори€ веро€тностей и ее применение. Ч 1963. Ч “. 8, вып. 1. Ч —. 26Ч51.
3. Ўир€ев ј. Ќ. —татистический последовательный анализ. Ч ћ.: Ќаука, 1976.
4. ѕресман Ё. Ћ., —онин ». ћ. ѕоследовательное управление по неполным данным. Ч ћ.: Ќаука, 1982.
5. яшин ј. ». “еоретические и прикладные задачи оценивани€ скачкообразных процессов. ѕрепринт. Ч ћ.: »нститут проблем управлени€, 1978.
6. √ихман ». »., —короход ј. ¬. ”правл€емые случайные процессы. Ч  иев: Ќаукова думка, 1977.
7. ƒынкин ≈. Ѕ., ёшкевич ј. ј. ”правл€емые марковские процессы и их приложени€. Ч ћ.: Ќаука, 1975.
8. —евасть€нов Ѕ. ј. ¬етв€щиес€ процессы. Ч ћ.: Ќаука, 1971.
9.  рылов Ќ. ¬. ”правл€емые процессы диффузионного типа. Ч ћ.: Ќаука, 1977.
10. Butov A. A., Kuznetsov N.A., Liptser R.Sh., et al. Generalized observations control in problems of stochastical optimization // IFAC Control Science and Technology (8th Triennial World Congress). Kyoto, Japan, 1981. Ч P. 851Ч856.
11. —кулачев ¬. ѕ. Ёволюци€, митохондрии и кислород // —о-ровский образовательный журнал. Ч 1999. Ч є 9. Ч C. 4Ч10.
12. Carey J. R., Liedo P., Muller H. G., et. al. Dual modes of aging in Mediterranean fruit fly females // Science. Ч 1998. Ч є 281 (5379). Ч P. 996Ч998.
в (8422) 63-66-78
E-mail: butov@mv.ru
”ƒ  577.71:519.95
Ќќ–ћјЋ№Ќќ≈ —“ј–≈Ќ»≈  ј  —Ћ≈ƒ—“¬»≈ –≈ј ÷»» ”ѕ–ј¬Ћяёў»’ —»—“≈ћ ќ–√јЌ»«ћј Ќј ¬Ќ≈ЎЌ»≈ —»√ЌјЋџ, Ќ≈ —ѕќ—ќЅ—“¬”ёў»≈ ≈√ќ ѕќЋЌќћ” —јћќѕќƒƒ≈–∆јЌ»ё I. Ѕиологические предоосылки
ј. ¬. ’ал€вкин1, ј. ». яшин2 1»нститут биохимической физики, ћосква ”ниверситет ƒьюка, г. ƒюрам, —Ўј
ƒан обзор результатов новейших исследований, подтвердивших способность клеток и других компонентов сложных организмов противосто€ть их старению. ѕоставлена задача поиска подходов к пониманию первопричины старени€ особей, состо€щих из потенциально нестареющих клеток. ѕредположено, что старение организма скорее результат определенных сдвигов параметров его управл€ющих систем, чем фатальный изменений составл€ющих его клеток. ѕоказано, что это может быть св€зано с тем, что способность организма к самоподдержанию зависит не только от его структурно-функциональныгх особенностей, но и от внешних условий, индуцирующих различные режимы жизнеде€тельности. ѕриведены факты, совместимые с предложенным подходом.
¬¬≈ƒ≈Ќ»≈
»звестно, что показатель ожидаемой продолжительности жизни людей, построенный по странам Ч текущим рекордсменам по этому параметру Ч растет линейно уже более 160-ти лет (каждые 10 лет на 2,5 года у
женщин и несколько меньше у мужчин) [1]. — успехами в целенаправленном контроле и регулировании процесса старени€ это не св€зано, поскольку до сих пор не пон€ты причины, по которым регул€ци€ и координаци€ жизненных процессов в организме станов€тс€ с возрастом все менее эффективными, а сам стареющий организм все более у€звимым к факторам окружающей сре-
ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–јќЋ≈Ќ»я є а Х 2004
57

пїњ